用磁標勢求解正方形邊界區域內外感生電場的分布

姜付錦 鄧 峰

（1.黃陂一中試題研究中心，湖北 武漢 430300；2.北京理工大學附屬中學，北京 100089）

1 參考文獻［1］中的問題

如圖1所示，設想圓弧所在圓周是由同樣導體制成的閉合電路，設整個圓周產生的電動勢為E周，圓弧l產生的電動勢為E弧，則根據法拉第電磁感應定律有

圖1

由于圓周的對稱性，每段等長的圓弧所產生的感應電動勢都必然相等，所以

為了尋求感應電動勢與扇形面積之間的關系，對（2）式作一個等效變換，

所以

（4）式表明，處于變化磁場中的一段圓弧形導體產生的感應電動勢大小等于圓弧所對應的扇形面積與磁感應強度變化率的乘積.當然，需要注意的是：（4）式結論成立的前提是磁場必須是“無限大”的磁場，與磁感應強度是否均勻變化無關.

2 圓柱形邊界形成的感生電場

若磁場的邊界是圓柱形，圓柱半徑為R，磁感應強度隨時間變化率為，則由法拉第電磁感應定律可得周圍空間感生電場強度為［2］

如圖2所示，感生電場線是與圓柱同心的一系列圓周，當r增大時感生電場強度先增大，后變小.當圓弧形導體放在這樣的感生電場中，且圓弧圓心與圓柱的軸重合時，（4）式正確，并且與邊界是否無限大無關，與磁感應強度是否均勻變化無關；若圓弧形導體的圓心與圓柱的軸不重合，即便是無限大邊界磁場，根據參考文獻［3，4］中的方法與思想可以證明（4）式有待商榷.這是因為當扇形的兩個半徑與所處位置的感生電場線不垂直時，電路的有效面積不等于扇形面積.為了使圓弧形導體產生的感應電動勢等于扇形面積與磁感應強度變化率的乘積，則扇形的兩個半徑必須與所處位置的感生電場線垂直.

圖2 圓柱形邊界感生電場線

3 正方形邊界形成的感生電場

圖3

（9）式是對邊界內、外的區域都統一成立.

若已知矩形的邊界和磁感應強度的變化率，利用（9）式可以求出感生電場強度的兩個分量表達式，但是這個積分非常復雜，可以用數學軟件來運算，可以參看參考文獻［5］中的表達式，這里不再贅述.

3.1 感生電場線方程的推導

設感生電場線方程為y=y（x），根據參考文獻［6］的思想與方法得

（11）式是對邊界內、外區域都適用.這表明邊界內、外的電場線方程在形式上是統一的.感生電場線方程可由（11）式確定，但是（11）式的積分非常復雜，這是因為感生電場線方程不是顯函數，而是隱函數.我們可以換一種思路，對整個感生電場，一般不能引入標量勢，但對于對邊界外的區域，由于感生電場強度的旋度處處為0，

類似磁場在無電流分布的區域可以引入磁標勢一樣［7］，可以引入標量勢A，得

正方形邊界內外形成的感生電場線是二維曲線簇，可以根據解析函數的實部函數和虛部函數對應曲線簇在空間處處正交的性質，將A作為解析函數的實部，通過構造一個解析函數而求虛部E，即得電場線方程.

設感生電場線曲線族等值方程為

由解析函數柯西 黎曼條件［8］

（17）式曲線簇等值方程表示邊界外部電場線方程.

正如（9）、（11）兩式的分析，邊界內、外的電場線方程是統一的，因此（17）式也可以表示邊界內部感生電場線方程.

設磁場矩形邊界為-a≤x≤a，-b≤y≤b，則（9）式積分可變為

（20）式曲線簇等值方程為正方形邊界形成的感生電場線方程.

3.2 正方形邊界內外感生電場線

研究發現：（20）式不定積分結果有解析解，但是相當復雜，可以用數學軟件來計算.若k=2πT／s，a=b=1 m，則正方形邊界內外感生電場線如圖4所示.

圖4 正方形邊界內外感生電場線

圖4是由（20）式數值模擬出的正方形邊界內外的感生電場線分布圖（圖4中黑色邊框為磁場的邊界）.可以看出，正方形邊界內部越靠近邊界，感生電場線越類似變形的正方形，靠近中心的感生電場線為圓周，正方形邊界外的感生電場線類似一系列同心圓［5，9］；若圓弧形導體（圖4中虛線部分）的兩個半徑與所處位置的感生電場線垂直，則導體上感應電動勢為扇形面積 與磁感應強度變化率的乘積；若不垂直，則導體上感應電動勢并非正比于扇形的面積，導體上產生的感應電動勢可以用感生電場強度沿導體的定積分來計算［3，4］，限于篇幅這里不再贅述.

4 結語

通過以上分析不難發現，若圓弧形導體處在圓柱形邊界的感生電場中，且圓弧的圓心與圓柱軸重合，則導體上感應電動勢為扇形面積與磁感應強度變化率的乘積；若圓弧形導體處在正方形邊界的感生電場中，且圓弧形導體的兩個半徑與所處位置的感生電場線垂直，則導體上感應電動勢為扇形面積與磁感應強度變化率的乘積；若扇形的兩個半徑與所處位置的感生電場線不垂直，則導體上感應電動勢不等于扇形面積與磁感應強度變化率的乘積，導體上產生的感應電動勢可以用感生電場強度沿導體的定積分來計算.若磁場邊界是正方形，則空間產生的感生電場強度和感生電場線方程都有解析解，電場線方程偏離圓周曲線方程.