網(wǎng)絡(luò)畫板在多邊形的內(nèi)角和教學(xué)中的應(yīng)用

盧怡 李玉葉

摘 要：網(wǎng)絡(luò)畫板是我國自主研發(fā)的一款國內(nèi)領(lǐng)先的互聯(lián)網(wǎng)動態(tài)數(shù)學(xué)工具。本文利用網(wǎng)絡(luò)畫板對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)多邊形的內(nèi)角和探究環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計，為學(xué)生提供直觀的認(rèn)識，通俗易懂的知識以及從多重角度拓展學(xué)生對內(nèi)角和的認(rèn)識，借助網(wǎng)絡(luò)畫板加深了學(xué)生對內(nèi)角和的理解。作為動態(tài)數(shù)學(xué)工具的網(wǎng)絡(luò)畫板的合理開發(fā)有助于數(shù)學(xué)教師教學(xué)藝術(shù)的升華，希望本文可以為廣大一線教師提供教學(xué)幫助。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)畫板;中學(xué)教學(xué);多邊形的內(nèi)角和

中圖分類號：G642? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）03-0078-03

1 引言

網(wǎng)絡(luò)畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮著引領(lǐng)教師專業(yè)成長的作用。教師以課程目標(biāo)為出發(fā)點，將數(shù)學(xué)課程與網(wǎng)絡(luò)畫板的整合為課堂帶來新鮮的血液，達(dá)到高效率的教學(xué)，不僅能夠讓自己在專業(yè)領(lǐng)域有進(jìn)一步提升，同時提高自身科研能力。在多媒體領(lǐng)域，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)軟件的身影是隨處可見的。網(wǎng)絡(luò)畫板在眾多網(wǎng)絡(luò)教學(xué)軟件中脫穎而出，是以簡約大方、靈動有趣、方便快捷深深吸引師生關(guān)注，比起呈現(xiàn)靜態(tài)的文字符號，動態(tài)的圖形變化會使教學(xué)表現(xiàn)形式上更具有優(yōu)勢，往往在教學(xué)中帶來強勁的視覺沖擊力和靈巧的節(jié)奏感，起到事半功倍的效果。網(wǎng)絡(luò)畫板也是為探究教學(xué)提供了幾何規(guī)律，有助于幫助廣大教師突破幾何教學(xué)重點與難點。它的出現(xiàn)比起教師一味枯燥地講授更有助于激發(fā)學(xué)生思維的內(nèi)在潛力，豐富其想象力和創(chuàng)造力，更有助于學(xué)生的體驗，促使其善于猜想、分析問題、解決問題、把握問題實質(zhì)與規(guī)律。本文充分利用網(wǎng)絡(luò)畫板的優(yōu)勢對于幾何圖形教學(xué)板塊中多邊形內(nèi)角和的教學(xué)進(jìn)行論述。

2 網(wǎng)絡(luò)畫板簡述

網(wǎng)絡(luò)畫板是張景中院士的團(tuán)隊奉獻(xiàn)給廣大一線數(shù)學(xué)老師的新一代數(shù)學(xué)學(xué)科工具軟件，是讓數(shù)學(xué)更簡單、更有趣的專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)工具軟件。全面繼承超級畫板領(lǐng)先的動態(tài)幾何技術(shù)、智能推理技術(shù)、符號運算和人機交互技術(shù)等核心[1]，是國內(nèi)唯一適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)和移動互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下的數(shù)學(xué)工具軟件平臺。網(wǎng)絡(luò)畫板主要有三個特點：（1）資源共享。基本功能可以實現(xiàn)免費在任何終端和平臺上使用。（2）高效工具。不用自創(chuàng)作課件也能使用的網(wǎng)絡(luò)畫板是方便學(xué)習(xí)、方便傳播、功能全面的一款畫板工具。（3）動態(tài)展示。動態(tài)地進(jìn)行幾何教學(xué)，不僅可呈現(xiàn)可視化效果，創(chuàng)造可視化現(xiàn)象，還能極大吸引學(xué)生的眼球，激發(fā)其內(nèi)在好奇心和驅(qū)動力，去探索幾何知識的發(fā)生發(fā)展過程。

3 網(wǎng)絡(luò)畫板在多邊形內(nèi)角和的應(yīng)用

3.1 多邊形的內(nèi)角和相關(guān)概念

多邊形的定義：一般由n條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形叫作n邊形，又稱多邊形[2]。

多邊形的內(nèi)角：多邊形相領(lǐng)兩邊組成的角是多邊形的內(nèi)角[2]。

多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）×180°，n為多邊形邊數(shù)。

3.2 網(wǎng)絡(luò)畫板在多邊形的內(nèi)角和教學(xué)中的應(yīng)用研究

（1）回顧舊知。

讓學(xué)生簡單的復(fù)習(xí)鞏固三角形的定義后，讓同學(xué)們根據(jù)三角形的定義類比多邊形的定義，引入本節(jié)課需要講解的課題——多邊形的內(nèi)角和。

（2）探究四邊形的內(nèi)角和。

提出問題：對于一個三角形而言，內(nèi)角和為180°。那么，四邊形呢？常見的四邊形就拿正方形來說，正方形比三角形多了一條邊和一個角，它的內(nèi)角和又是多少呢？學(xué)生討論后由已知的三角形內(nèi)角和為180°，快速推出未知的四邊形的內(nèi)角和。教師可以借助網(wǎng)絡(luò)畫板，畫一個四邊形，然后從一個頂點出發(fā)，作四邊形的對角線，可以得到兩個三角形，因為三角形內(nèi)角和為180°，所以四邊形的內(nèi)角和為2×180°，如圖1所示。

（3）探究五邊形的內(nèi)角和。

提出問題：多邊形的邊數(shù)繼續(xù)增加，從四邊形增加為五邊形，若要求出五邊形的內(nèi)角和，能否采用同樣的方法將它求出來嗎？可以借助網(wǎng)絡(luò)畫板畫出五邊形，然后再從一頂點出發(fā)，五邊形被分成3個三角形，如圖2所示。學(xué)生討論后將未知的五邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為已知的3個三角形的內(nèi)角和，就可得出五邊形內(nèi)角和為3×180°。

（4）探究六邊形的內(nèi)角和。

提出問題：通過上述方法，同學(xué)們算一算六邊形的內(nèi)角和又等于多少呢？在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生選取六邊形上任意一頂點，從該頂點出發(fā)，連接與該頂點不相鄰的點，觀察可得六邊形被分成了4個三角形，因為每個三角形內(nèi)角和都是180°，所以可得出六邊形內(nèi)角和為4×180°，同樣網(wǎng)絡(luò)畫板展示如圖3所示。

傳統(tǒng)式教學(xué)模式與信息技術(shù)的融合較少，通常在黑板上繪圖，側(cè)重于多邊形內(nèi)角和知識的傳授，忽略了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致學(xué)生無法經(jīng)歷、體驗、探索多邊形內(nèi)角和知識的發(fā)生和創(chuàng)造的過程。如果借助網(wǎng)絡(luò)畫板，在一定程度上彌補了幾何教學(xué)中的不足，既不費精力，又節(jié)省了不少寶貴時間，不僅幫助學(xué)生循序漸近認(rèn)識多邊形，探究多邊形的內(nèi)角和，還將學(xué)生的注意力集中在可視化的動畫上。如圖4所示，拖動n的取值條或是按下播放按鍵，當(dāng)n值從3取到n時（n為多邊形邊數(shù)），隨著多邊形邊數(shù)的增加，多邊形被添加的輔助線也在隨之增加，其內(nèi)角和也隨之增大。教師拖動n的值從4到6給復(fù)雜的多邊形知識點注入活力，讓學(xué)生不再用靜止的眼光看待多邊形的內(nèi)角和公式的由來，更加關(guān)注多邊形的內(nèi)角和相關(guān)的概念、求解的思想方法以及公式的理解，升華了學(xué)生對于幾何圖形的感性認(rèn)識，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果。

（5）探究多邊形內(nèi)角和規(guī)律。

提出問題：你能從剛才探究的過程中發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)存在何種關(guān)系嗎？你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？學(xué)生通過前面的探究得到了四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和分別為2×180°、3×180°、4×180°，它能夠順理成章地推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。證明過程：任取n邊形上某一個頂點，從該點出發(fā)可以添加（n-3）條對角線，這些對角線可以將n邊形分割為（n-2）個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。

教師再用網(wǎng)絡(luò)畫板的動態(tài)演示，如圖5所示。利用數(shù)學(xué)思想中的轉(zhuǎn)化思想，即多邊形問題？圳三角形問題，從常規(guī)三角形到非常規(guī)的多邊形的逐步轉(zhuǎn)變，這樣的設(shè)計順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。教師用網(wǎng)絡(luò)畫板觀察推理得出結(jié)果。如表1所示，揭示n邊形內(nèi)角和公式，同步呈現(xiàn)多邊形隨邊數(shù)增加不斷變化的圖形。有一句老話是這樣說的：“我聽見了，我又忘記了;我看見了，我就記住了;我做了，我就理解了。”學(xué)生借助網(wǎng)路畫板對多邊形內(nèi)角和的直觀呈現(xiàn)更容易分析得出，任何一個復(fù)雜的多邊形都是可由幾個或多個三角形構(gòu)成，這是構(gòu)成多邊形的基本元素。在使用網(wǎng)絡(luò)畫板的多邊形的內(nèi)角和的探究性學(xué)習(xí)中，學(xué)生很容易從特殊的例子歸納總結(jié)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

（6）多邊形內(nèi)角和的拓展。

提出問題：除了選取在多邊形的頂點上來分割多邊形，推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和的探究方法外，從選取分割多邊形出發(fā)點的位置，是否還存在其他分割多邊形的方法呢？師生在互相保持沉默的深度思考后，進(jìn)行小組之間的交流互動，講解各自的思路，教師再用網(wǎng)絡(luò)畫板對學(xué)生探討的情況進(jìn)行展示。

由圖6和圖7可見，多邊形內(nèi)角和公式的證明方法除了本文最初探究的“多邊形內(nèi)角和”的證明方法以外，還存在其他證明方法。

方法一：從n邊形內(nèi)的一個點出發(fā)，可以作出n條線，將n邊形分成n個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×n-360°，即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。

方法二：從n邊形外的一個點出發(fā)，可以作出n條線，將n邊形分成（n-1）個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×（n-1）-180°，即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。

相比讓學(xué)生死記硬背記憶公式，不如借助網(wǎng)絡(luò)畫板設(shè)置開放性、探索性的拓展環(huán)節(jié)，由學(xué)生自己去通過其他途徑尋求多邊形內(nèi)角和的解答，體驗知識的形成過程，記憶才會更加清晰不易忘記。這種將網(wǎng)絡(luò)畫板與教學(xué)相融合的開放式創(chuàng)新型教學(xué)模式，不僅有利于教師成為創(chuàng)造型教師，不再是墨守陳規(guī)的教書匠，還有利于調(diào)動學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動機，敢于提出獨樹一幟的新見解、學(xué)會創(chuàng)造性地思考，培養(yǎng)其發(fā)散性思維。可見網(wǎng)絡(luò)畫板不僅僅是老師的得力助手，更是學(xué)生的良師益友[4]。

4 結(jié)論

現(xiàn)代信息技術(shù)隨著時代的前進(jìn)和社會發(fā)展，對數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的機遇和挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)教育成為一個開放的系統(tǒng)，這是個難得的機遇。為了培養(yǎng)在德、智、體、美全面發(fā)展的中國特色社會主義現(xiàn)代化的接班人和建設(shè)者，數(shù)學(xué)教育需要與時俱進(jìn)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化。網(wǎng)絡(luò)畫板對墨守陳規(guī)式教學(xué)和教師使用信息工具的能力發(fā)起了挑戰(zhàn)。網(wǎng)絡(luò)畫板的使用有待于廣大的教師積極探索[5]。

多邊形的內(nèi)角和具有一定的規(guī)律，多邊形內(nèi)角和隨著圖形的變化而發(fā)生變化的問題，研究多邊形內(nèi)角和的問題為網(wǎng)絡(luò)畫板提供了用武之地，讓學(xué)生通過猜想和探索進(jìn)行驗證，一步一個腳印地踏入更深層次的學(xué)習(xí)中，最終構(gòu)建知識體系得出結(jié)論。網(wǎng)絡(luò)畫板雖不能代替幾何教學(xué)，但它能夠在幾何教學(xué)過程中起到透過現(xiàn)象看本質(zhì)的輔助作用，能夠揭示多邊形內(nèi)角和的內(nèi)在性質(zhì)。網(wǎng)絡(luò)畫板的使用更多是以學(xué)生為本，讓學(xué)生注意到事物的局部還不忘整體，將相關(guān)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系呈現(xiàn)出來。它將公式、表格、圖像在一起呈現(xiàn)，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的多種表達(dá)，更有利于操作過程中發(fā)現(xiàn)其相關(guān)性，加強學(xué)生對多邊形內(nèi)角和知識的深層次加工。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕劉重慶.網(wǎng)絡(luò)畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合與創(chuàng)新[J].中小學(xué)數(shù)字化教學(xué)，2022，6（02）：48-52.

〔2〕王瓊.基于網(wǎng)絡(luò)畫板的初中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].新課程教學(xué)（電子版），2021，9（15）：146-147.

〔3〕章劍，邵虹.深度學(xué)習(xí)：培養(yǎng)學(xué)生的審辯式思維——以《多邊形的內(nèi)角和》一課為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2021，22（14）：10-12.

〔4〕李健.優(yōu)化問題結(jié)構(gòu) 引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)——《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2020，21（17）：42-43.

〔5〕李雁.交往：助力學(xué)生數(shù)學(xué)力生長——以“多邊形內(nèi)角和”交往課堂為例[J].教育觀察，2019，8（25）：115-118.