三維數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化技術(shù)在石油地質(zhì)勘探中的應(yīng)用研究

張庭姣

摘 要：介紹了三維和大數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視數(shù)字化礦山技術(shù)和三維數(shù)字模擬礦山的基本概念，以“液態(tài)礦產(chǎn)資源儲(chǔ)量估算及三維礦體建模可視化系統(tǒng)”為一范例，闡述了三維品位數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視性優(yōu)化處理技術(shù)在品位礦體的表面模型建模、品位的塊體處理模型和包含品位塊體等值的表面模型生成過(guò)程中的實(shí)際綜合應(yīng)用;概述了三維和大數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視性優(yōu)化分析技術(shù)在我國(guó)石油勘探行業(yè)中的重要應(yīng)用價(jià)值和發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：三維數(shù)據(jù)場(chǎng)可視;石油勘探;三維礦體建模

中圖分類號(hào)：TP391.41;TP399 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1001-5922（2022）03-0182-05

Application of 3D data field visualization technology in

petroleum geological exploration

ZHANG Tingjiao

（Yan’an Vocational and Technical College， Yan’an 716000， Shaanxi China）

Abstract：This paper introduces the visualization technology of 3D data field and the concept of 3D digital simulation mine， takes “l(fā)iquid mineral reserves estimation and 3D optical modeling visualization system” as an example， to illustrate the practical application of 3D data field visualization technology in optical surface modeling， grade block model and grade isosurface generation. Finally， the application value and prospect of 3D data field visualization technology in oil exploration are summarized.

Key words：

3D data field visualization; petroleum exploration; 3D ore body modeling

在石油工業(yè)中，傳統(tǒng)勘探工作的成本很高。在傳統(tǒng)的地質(zhì)勘探工作過(guò)程中，勘探人員需要進(jìn)入地層，通過(guò)勘探設(shè)備進(jìn)行各種勘探活動(dòng)，這在一定程度上增加了地質(zhì)勘探工作的風(fēng)險(xiǎn)，嚴(yán)重危及工人的生命安全，勘探工作質(zhì)量難以得到充分保證。同時(shí)，這種傳統(tǒng)的勘探模式也大大增加了勘探成本，在一定程度上損害了石油企業(yè)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)利益，不利于石油工業(yè)的長(zhǎng)期穩(wěn)定發(fā)展。在實(shí)際地質(zhì)勘探過(guò)程中，石油勘探人員可以依靠地理信息系統(tǒng)技術(shù)提高勘探效率，增強(qiáng)勘探效果。

1 三維數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化技術(shù)和數(shù)字礦山的概念

1.1 三維數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化技術(shù)

三維和大數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視性優(yōu)化研究是信息科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域可視化的一個(gè)核心研究領(lǐng)域，也一直是計(jì)算機(jī)可視化相關(guān)技術(shù)應(yīng)用研究的最新發(fā)展熱點(diǎn)。這學(xué)科是在充分吸收當(dāng)前計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[1]、圖像信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)數(shù)字視覺(jué)等技術(shù)相關(guān)多門(mén)學(xué)科知識(shí)的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)上逐步發(fā)展壯大起來(lái)的，但是研究體系大數(shù)據(jù)的一門(mén)交叉學(xué)科已被淘汰。研究的內(nèi)容一般包括重要的大數(shù)據(jù)表示、處理與數(shù)據(jù)分析、操作、對(duì)象重組及顯示等。與其他傳統(tǒng)的二維計(jì)算機(jī)圖形學(xué)不同，后者主要使用一個(gè)邊界上的元素（即例如邊界面和邊）作用來(lái)精確描述一個(gè)沒(méi)有內(nèi)部邊界信息的二維對(duì)象;而三維模型數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視結(jié)構(gòu)化學(xué)則是使用包含一個(gè)對(duì)象內(nèi)部和外部所有邊界信息的第3個(gè)邊界元素（如立體素），用于描述整個(gè)對(duì)象。因此，利用三維的大數(shù)據(jù)場(chǎng)景和可視的量化分析技術(shù)它就可以很好地準(zhǔn)確表示各種內(nèi)部結(jié)構(gòu)。三維模型數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視圖量化繪制有兩種主要算法：直接表面積的繪制和直接體積的繪制。一個(gè)核心思想主要是研究構(gòu)造中間點(diǎn)的幾何圖形（例如中間曲面、平面等）。在三維空間進(jìn)入數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，然后通過(guò)使用現(xiàn)有的圖形計(jì)算機(jī)學(xué)和圖形處理技術(shù)等來(lái)進(jìn)行圖形繪制。

1.2 數(shù)字礦山

數(shù)字礦山[2]是數(shù)字地球的重要結(jié)構(gòu)組成的一部分。以實(shí)際應(yīng)用礦山信息系統(tǒng)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)原型，以礦山地理坐標(biāo)為基礎(chǔ)參考數(shù)據(jù)系統(tǒng)，以現(xiàn)代礦山信息科學(xué)管理技術(shù)、信息科學(xué)和數(shù)字計(jì)算機(jī)科學(xué)為基礎(chǔ)理論研究，支持先進(jìn)的現(xiàn)代礦山空間觀測(cè)和信息網(wǎng)絡(luò)管理技術(shù)，綜合利用礦山GIS、RS、GPS、多媒體管理網(wǎng)絡(luò)、虛擬現(xiàn)實(shí)仿真等先進(jìn)技術(shù)，開(kāi)發(fā)礦產(chǎn)資源和礦山基礎(chǔ)配套設(shè)施，以實(shí)現(xiàn)礦山管理數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化、虛擬現(xiàn)實(shí)仿真、決策流程優(yōu)化和礦山可視性優(yōu)化為技術(shù)目標(biāo)，以構(gòu)建礦山空間信息數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)為技術(shù)基礎(chǔ)，充分利用礦山空間數(shù)據(jù)分析、知識(shí)數(shù)據(jù)挖掘、虛擬增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)、可視化、網(wǎng)絡(luò)、多媒體和信息科學(xué)計(jì)算機(jī)等技術(shù)，進(jìn)行石油資源評(píng)價(jià)和石油開(kāi)采。

2 三維數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化技術(shù)在數(shù)字礦山中石油開(kāi)采的應(yīng)用

三維數(shù)字建模技術(shù)是數(shù)字模型礦山的重要核心技術(shù)之一，是實(shí)現(xiàn)三維數(shù)字模型礦山的重要基礎(chǔ)。三維建模數(shù)據(jù)場(chǎng)礦體的可視性建模技術(shù)的不斷出現(xiàn)和快速發(fā)展為工業(yè)礦體三維數(shù)據(jù)建模研究提供了強(qiáng)有力的建模理論數(shù)據(jù)基礎(chǔ)和良好的礦體可視化建模。與目前傳統(tǒng)描述二維礦床場(chǎng)景幾何數(shù)據(jù)信息和礦床屬性數(shù)據(jù)信息的處理方法相比，三維礦床數(shù)據(jù)場(chǎng)景的可視化處理方法分析具有明顯的技術(shù)優(yōu)勢(shì)。建立礦床品位構(gòu)成數(shù)據(jù)場(chǎng)的品位剖面構(gòu)成模型、品位反演構(gòu)成模型和礦床品位塊構(gòu)成模型，揭示我國(guó)礦床品位內(nèi)部結(jié)構(gòu)和品位屬性，可視化分析礦床的內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)形態(tài)、空間地理位置和礦床品位數(shù)據(jù)分布。

2.1 品位塊體模型在儲(chǔ)量估算和品位分布可視化中的應(yīng)用

目前國(guó)外礦業(yè)采礦分析軟件一般應(yīng)用做法主要是塊物理模型與采礦地質(zhì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)相互的結(jié)合。利用各種數(shù)學(xué)方法對(duì)各種品位儲(chǔ)量分布數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值建模[3]，然后綜合利用各種品位約束塊計(jì)算模型對(duì)品位儲(chǔ)量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值估算和儲(chǔ)量可視化。塊體地質(zhì)模型結(jié)構(gòu)是研究礦山礦產(chǎn)地質(zhì)體的重要基礎(chǔ)建模模型，廣泛應(yīng)用于煤山礦產(chǎn)地質(zhì)儲(chǔ)量建模計(jì)算、礦床結(jié)構(gòu)模擬、采礦結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程優(yōu)化等多個(gè)領(lǐng)域。被用來(lái)建模的二維空間可以分成普通的三維或者長(zhǎng)方體或是單元塊或者集合。每個(gè)存儲(chǔ)單元塊的存儲(chǔ)計(jì)算機(jī)址和存儲(chǔ)文件地址分別對(duì)應(yīng)于一個(gè)自然界和沉積物在塊中的特定位置，一致性被認(rèn)為是舊的。為了大大減少系統(tǒng)數(shù)據(jù)量，公共塊每個(gè)單元位置只能實(shí)時(shí)記錄每個(gè)起始?jí)K的一個(gè)空間長(zhǎng)度坐標(biāo)，其他塊的空間坐標(biāo)參數(shù)可以通過(guò)該單元位置的空間索引、塊每個(gè)單元的空間長(zhǎng)寬距離參數(shù)和其他起始?jí)K的空間坐標(biāo)參數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。這樣你就可以大大減少塊的數(shù)據(jù)量，因?yàn)槊總€(gè)塊只有你需要手動(dòng)記錄它的所有屬性和數(shù)值。大塊單元模型的尺寸局限性主要在于對(duì)礦體邊界部分約束不規(guī)則的大塊礦體進(jìn)行建模時(shí)，為了更好適應(yīng)不規(guī)則的礦體邊界約束部分，必須不斷增加減小大塊單元尺寸。這就會(huì)導(dǎo)致用戶數(shù)據(jù)迅速過(guò)度膨脹。解決問(wèn)題方案通常是僅在一個(gè)邊界定義區(qū)域上，同時(shí)執(zhí)行一個(gè)局部定義單元格的細(xì)化。例如，邊界塊體積可以每次重復(fù)進(jìn)行細(xì)分8次，直到每個(gè)邊界塊體積足夠小，但必須準(zhǔn)確記錄每個(gè)塊的邊界坐標(biāo)。

建立一個(gè)坡度塊屬性模型的第一步驟就是首先建立關(guān)于坡度模型屬性數(shù)據(jù)庫(kù)的字段。生成原始礦山的地理屬性數(shù)據(jù)采礦場(chǎng)所必需的地理數(shù)據(jù)，主要都是來(lái)自于應(yīng)用地球?qū)W和光學(xué)探測(cè)工程的原始礦山樣品的屬性分析數(shù)據(jù)，包括礦山探坑、槽探等。包括一個(gè)樣本的平均長(zhǎng)度、空間內(nèi)的位置和平均高度等級(jí)等數(shù)值。這些原始數(shù)據(jù)采樣后的數(shù)據(jù)往往通常是不連續(xù)和稀疏的。為了獲得規(guī)則的、結(jié)構(gòu)化的三維空間數(shù)據(jù)，首先必須對(duì)空間數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。也就是說(shuō)，其他每個(gè)未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣空間值通過(guò)計(jì)算，已知的每個(gè)采樣空間數(shù)據(jù)值來(lái)進(jìn)行一個(gè)數(shù)學(xué)上的估計(jì)。常用的泰森地質(zhì)測(cè)量空間插值組合算法主要有泰森平方反比法[4]、泰森多邊形反比法[5]和著名的rrgram等方法團(tuán)合算法等。選擇合適的礦體空間插值[6]分析方法也正是準(zhǔn)確描述一個(gè)礦體實(shí)際使用情況，揭示一個(gè)礦體內(nèi)部礦質(zhì)屬性特征及其變化規(guī)律的關(guān)鍵問(wèn)題。插值前必須插入合并樣本級(jí)別的數(shù)據(jù)，也就是說(shuō)，不同長(zhǎng)度的具體樣本和質(zhì)量等級(jí)都需要用一種離散的標(biāo)點(diǎn)方法來(lái)進(jìn)行量化。除了三維立體坐標(biāo)，每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)還必須具有最好的坐標(biāo)等級(jí)和數(shù)值相關(guān)信息。有了這些新的離散屬性點(diǎn)，就等于可以用各種插值計(jì)算方法對(duì)其進(jìn)行插值，從而可以得到符合規(guī)則的屬性坡度場(chǎng)和屬性數(shù)據(jù)場(chǎng)。

由于各種礦體的品位約束分布直接受各種地質(zhì)環(huán)境因素直接控制，制作品位塊處理模型的第二步驟就是在上面分析得到的離散品位字段數(shù)據(jù)中，對(duì)于字段分別引入各種品位約束，通過(guò)各種塊的數(shù)學(xué)計(jì)算可以得到這些約束內(nèi)的各個(gè)離散品位點(diǎn)，最后用塊模型表示計(jì)算出來(lái)。每個(gè)塊的等級(jí)顏色由每個(gè)等級(jí)塊和顏色塊的表示所決定。設(shè)置采礦坡度約束的主要形式包括對(duì)采礦體坡度邊界控制約束、坡度范圍閾的數(shù)值控制約束、深度閾值[7]約束等。并且我們可以同時(shí)進(jìn)行應(yīng)用各種條件約束。

礦體塊有邊界的塊約束模型是一種使用作為礦體曲面模型或者作為塊約束模型的方法約束礦體曲面，生成的塊都在一個(gè)礦體塊的邊界內(nèi)。這種多孔四面體礦塊混合采礦模型不僅能夠準(zhǔn)確性地描述整個(gè)礦體的內(nèi)部表面，而且很好地準(zhǔn)確表達(dá)整個(gè)礦體的內(nèi)部邊界屬性，并用于對(duì)礦體的內(nèi)部邊界進(jìn)行約束形成品位塊混合模型，能夠準(zhǔn)確性地計(jì)算整個(gè)礦體的結(jié)晶體積、礦石礦含量和其他金屬礦含量，是目前采礦管理軟件中最常用的礦體建模計(jì)算方法。礦體節(jié)點(diǎn)邊界關(guān)系約束處理算法的一個(gè)核心功能是通過(guò)判斷塊與其他礦體之間表面（多面體）的節(jié)點(diǎn)位置邊界關(guān)系。主要應(yīng)用有兩種運(yùn)算方法：一個(gè)交叉的代數(shù)法[8]和一種向量代數(shù)運(yùn)算?；驹O(shè)計(jì)思想上就是在兩個(gè)估計(jì)的交點(diǎn)任意空間釋放一個(gè)L射線，用obb或者sbsp樹(shù)形來(lái)計(jì)算其外射線與多面體的兩個(gè)交點(diǎn)的函數(shù)，多面體外射線為一個(gè)偶數(shù);單面體為奇數(shù)。在實(shí)際設(shè)計(jì)應(yīng)用中，一般可以選擇不在礦體估計(jì)包圍外的點(diǎn)與礦體估計(jì)點(diǎn)直接相連，而不是與任何相連。矢量發(fā)射運(yùn)算的基本設(shè)計(jì)思想也就是首先利用一個(gè)obbsp樹(shù)或者obsp樹(shù)可，然后找到最小的接近多面體某個(gè)期望點(diǎn)的三角形，從這個(gè)期望點(diǎn)向接近三角形上方發(fā)射一個(gè)L型的射線，計(jì)算出在射線上的矢量和接近三角形發(fā)射向量期望點(diǎn)的乘積。如果正頂點(diǎn)積為正，則說(shuō)明該正頂點(diǎn)在多面體中，反之亦然。品位值和閾限定值分析約束根據(jù)分級(jí)礦物提取和分析顯示各種具有一定濃度范圍內(nèi)不同品位值的不同類型礦物集。這樣我們可以快速的觀測(cè)整個(gè)鉆石礦區(qū)的空氣品位變化分布，如圖1就是帶礦體邊界約束的塊體模型圖，石油礦的邊界線也是如此生成的。

2.2 品位等值面

等值面[9]生成的算法一般說(shuō)來(lái)可以大致分為以下兩類。第一種我們是在二維素線剖面上自動(dòng)跟蹤每個(gè)素線，然后通過(guò)素線輪廓圖像連接處理算法自動(dòng)連接圖像到每個(gè)素線輪廓表面。第二種方法是提取等值面，如移動(dòng)立方體、移動(dòng)四面體和分割立方體。其中，移動(dòng)高度立方體運(yùn)算是目前應(yīng)用最廣泛的等高度平面運(yùn)動(dòng)跟蹤分析算法。首先根據(jù)給定的閾的數(shù)值對(duì)每個(gè)作為主題頂點(diǎn)元素的8個(gè)主題頂點(diǎn)的值進(jìn)行一個(gè)數(shù)值上的二值化，然后對(duì)8個(gè)主題頂點(diǎn)的值進(jìn)行參數(shù)二值化。然后根據(jù)它們的實(shí)際拓?fù)淇臻g關(guān)系又再分為15種實(shí)際情況，進(jìn)行等價(jià)式和匹配式的處理。這種操作方法讓你可以快速自動(dòng)生成一個(gè)等值面，但在合成等值面時(shí)會(huì)出現(xiàn)對(duì)偶問(wèn)題，于是尼爾森和HKON在1991年提出了解決漸近線的問(wèn)題。利用等值面追蹤算法[10]，可以提取出與等級(jí)數(shù)據(jù)字段的等級(jí)值對(duì)應(yīng)的表面，并在等級(jí)調(diào)色板中以相應(yīng)的顏色顯示，從而直觀地顯示數(shù)據(jù)字段的等級(jí)分布。圖2便是經(jīng)過(guò)品位閾值約束的石油礦各層的集合;圖3是生成的等值面。

2.3 體繪制技術(shù)在數(shù)字礦山中的應(yīng)用

通過(guò)數(shù)據(jù)斷面切割等數(shù)據(jù)繪制技術(shù)，可以在一定量的程度上準(zhǔn)確觀察整個(gè)數(shù)據(jù)場(chǎng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化，但不能準(zhǔn)確地揭示整個(gè)數(shù)據(jù)場(chǎng)的內(nèi)部變化情況。相比之下，體積圖繪制成像技術(shù)無(wú)疑是推動(dòng)可視化成像技術(shù)快速發(fā)展的重要技術(shù)突破。該計(jì)算技術(shù)將三維圖形數(shù)據(jù)的每個(gè)體素函數(shù)視為半透明狀的物質(zhì)，根據(jù)每個(gè)體的透明函數(shù)的取值來(lái)計(jì)算體的透明度和整體顏色。然后，通過(guò)整個(gè)顏色數(shù)據(jù)場(chǎng)圖像進(jìn)行三維顏色圖像合成，從而可以獲得三維顏色數(shù)據(jù)場(chǎng)的一個(gè)全局顏色圖像。體積式繪制圖的方法使它能夠直觀而準(zhǔn)確表示整個(gè)虛擬數(shù)據(jù)場(chǎng)的各個(gè)細(xì)節(jié)。常用的投射算法主要有短波射線變形投射轉(zhuǎn)換法、全線性變形投射法和頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換法。通過(guò)體驗(yàn)式繪制圖的技術(shù)，顯示整個(gè)礦物品位圖和數(shù)據(jù)場(chǎng)的詳細(xì)信息內(nèi)容，使中國(guó)地質(zhì)學(xué)家隨時(shí)可以清楚看到整個(gè)礦物群的分布（例如確定礦物群的大小、位置等）。在數(shù)據(jù)位置所表示的空間區(qū)域中一覽無(wú)余。正確指導(dǎo)實(shí)施階段性的加密采礦工程，在階段采礦勘探設(shè)計(jì)階段采礦勘探工程的加密位置合理布置和階段采礦工程設(shè)計(jì)方案的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)有很大的幫助。然而，與圖形表面上的渲染過(guò)程相比，體積在繪制過(guò)程得到的圖形視圖通常包含了大量的圖形信息，因此通常視圖是模糊的。因此，為了更好而深入了解這個(gè)數(shù)據(jù)場(chǎng)，需要從不同的角度實(shí)時(shí)性地觀察一個(gè)全局?jǐn)?shù)據(jù)地圖。目前各種體感噴繪制作的算法無(wú)法在國(guó)內(nèi)主流工業(yè)微機(jī)上直接實(shí)現(xiàn)。與傳統(tǒng)軟件繪制實(shí)現(xiàn)方法相比，利用基于圖形紋理硬件的3D圖形紋理著色加速和圖形碎片化的著色加速功能等來(lái)進(jìn)行體感的繪制實(shí)現(xiàn)是目前最有效的，它是直接多媒體圖像繪制實(shí)現(xiàn)方法。隨著現(xiàn)代圖形顯卡加速處理技術(shù)的逐步發(fā)展和不斷普及，很多主要的圖形顯卡已經(jīng)開(kāi)始具備了這些加速功能。因此，研究如何在一種可編程軟件GPU上設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)最大實(shí)時(shí)體積的繪制技術(shù)是一種發(fā)展趨勢(shì)，也是可行的。

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)字礦山技術(shù)是實(shí)現(xiàn)我國(guó)礦業(yè)經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的必由之路。三維數(shù)據(jù)場(chǎng)整體可視自動(dòng)化處理技術(shù)可以實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù)礦體坡度表面面積模型、坡度塊面積模型、坡度背面、數(shù)據(jù)場(chǎng)整體切割后的平面坡度模型等。它不僅能很好地準(zhǔn)確表達(dá)出采礦體內(nèi)外紋理細(xì)節(jié)，可視化采礦品位分布，而且還在立體礦床動(dòng)態(tài)模擬、儲(chǔ)量資源估算、采礦工程輔助設(shè)計(jì)等諸多方面都具有很好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 張亮.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的三維圖形技術(shù)在飛行器實(shí)時(shí)顯示上的應(yīng)用[D].廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)，2014.

[2] 武強(qiáng)，徐華.數(shù)字礦山中三維地質(zhì)建模方法與應(yīng)用[J].中國(guó)科學(xué)（地球科學(xué)），2013，43（12）：1 996-2 006.

[3] 孫文潔，楊文凱，王子超，等.三維數(shù)值建模在地質(zhì)工程綜合設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].煤炭工程，2019，51（11）：120-122.

[4] 郭藝歌.基于GIS的小流域產(chǎn)流計(jì)算方法研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2005.

[5] 馬亞麗，敖天其，王漢濤.泰森多邊形距離反比加權(quán)法在BTOPMC模型中的應(yīng)用分析[J].水利規(guī)劃與設(shè)計(jì)，2019（11）：58-63.

[6] 趙廣帥，李發(fā)東，李運(yùn)生，等.GIS空間插值模擬法與土壤類型法估算比較土壤碳儲(chǔ)[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2014，30（20）：155-162.

[7] 雷雨萌，陳祖煜，于沭，等.基于深度閾值卷積模型的土石料級(jí)配智能檢測(cè)方法研究[J].水利學(xué)報(bào)，2021，52（3）：369-380.

[8] Serge Vasilach.Algebraic Method for Solving Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients.PartI：BasicTheory[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis，2012，10（3）：283-290.

[9] 沈占鋒，夏列鋼，程熙，等.等值線追蹤生成等值面過(guò)程中的算法策略[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（信息科學(xué)版），2015，40（9）：1 201-1 208.

[10] 榮光李，黃尉.基于子空間追蹤算法的稀疏子空間聚類[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019， 42（7）：999-1 004.