文/尹雪蔓
數學題目很多,看似變化莫測,難以招架,其實不然。縱觀歷年的中考題,雖然年年有新題出現,但萬變不離其宗,這個“宗”便是教材。

原題呈現(蘇科版數學教材九年級上冊第92頁第10題)如圖1,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,∠ACB的平分線交⊙O于點D。若AB=10,AC=6,求BC、BD的長。

圖1
【解析】連接AD。因為AB是⊙O的直徑,所以∠ACB=∠ADB=90°。在Rt△ABC中,根據勾股定理可得BC=8。因為CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=45°。由圓周角性質可知∠ABD=∠ACD=45°,故∠BAD=45°,△ABD為等腰直角三角形,進而求得BD=5。
【點評】本題中的一個關鍵條件是CD為∠ACB的平分線,也成為我們嘗試變式、拓展探究的條件。
【變式1】如圖2,⊙O的直徑AB為10,弦AC為6,∠ACB的平分線交⊙O于點D,求弦CD的長。

圖2
【解析】直接求CD有難度,可利用∠ACB的平分線這一條件,構造等腰直角三角形進行求解。
如圖3,過點A作AE⊥CD于點E,易證∠ACD=45°,∴∠CAE=45°,∴AE=CE。

圖3
在Rt△AEC中,AC=6,∴CE=AE=3。
在Rt△AED中,AD=5,∴DE=4。
∴CD=CE+DE=7。
【變式2】如圖4,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,∠ACB的平分線交⊙O于點D,且AE⊥CD,BF⊥CD,求證:BF=AE+EF。

圖4
【解析】易發現△BCF和△ACE都是等腰直角三角形,
可證BF=CF,AE=CE。
又∵CF=CE+EF,
∴BF=AE+EF。
【點評】在遇到線段間的和差關系問題時,我們常通過尋找相等的線段,將分散的線段轉化到同一直線上求解。
【變式3】如圖5,⊙O的直徑AB為10,弦AC為6,∠ACB的平分線交⊙O于點D,過點D作DE⊥BC于點E,求線段DE的長。

圖5
【解析】易得∠DCE=45°,則△CED是等腰直角三角形。由【變式1】可知CD=7,在等腰直角△CED中,借助勾股定理得DE=7。
【點評】以上幾種變式的推演主要是利用了角平分線的定義。而如果過點D作角的一邊或兩邊的垂線,則可利用角平分線的性質,進行如下的探究嘗試。
【變式4】如圖5,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,∠ACB的平分線交⊙O于點D,過點D作DE⊥BC于點E。猜想線段AC、BC、CE之間的數量關系,并加以證明。
【解析】由【變式3】可作一般猜想:AC+BC=2CE。
證明:如圖6,過點D作DF⊥CA,交CA的延長線于點F。

圖6
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,
∴AD=BD。
又∵DE⊥BC,DF⊥CA,∴DE=DF,
∴Rt△AFD≌Rt△BED,
∴AF=BE。
易證四邊形CEDF為正方形,
∴CF=CE,
∴AC+BC=AC+BE+CE=AC+AF+CE=CF+CE=2CE。
【變式5】如圖5,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,∠ACB的平分線交⊙O于點D,過點D作DE⊥BC于點E,猜想線段AC、BC、CD之間的數量關系,并加以證明。
【解析】從【變式1】的計算結果得知,AC+BC=14,而CD=7,可猜想AC+BC=CD。證明過程可依據【變式4】繼續推演,在此不再贅述。