圓中有“法” 線段可“度”

文／張亞男

在圓中求線段的長度是常見的考查方式。常用的解決方法有構造直角三角形，利用勾股定理；證明相似，利用相似比；銳角三角函數等。

例1（2021·北京）如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E。

圖1

（1）求證：∠BAD=∠CAD；

（2）連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC。若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長。

【解析】（1）根據垂徑定理得到，根據圓周角定理證明結論。（2）根據勾股定理求出BE=4，由垂徑定理求出BC=8，由圓周角定理得到∠BCG=90°，再次根據勾股定理求出GC=6，利用AD∥GC，證明△AFO∽△CFG，利用相似三角形的性質求出

【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、垂徑定理是解題的關鍵。

例2（2021·湖北鄂州）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB長為半徑的⊙O與AC邊相切于點D，交BC于點E。

圖2

（1）求證：AB=AD；

（2）連接DE，若tan∠EDC=，DE=2，求線段EC的長。

【解析】（1）根據題意，先得出AB與⊙O相切于點B，⊙O與AC邊相切于點D，根據切線長定理即可得出AB=AD。

（2）如圖3，根據題意連接BD，根據角之間的互余關系推出∠EBD=∠EDC，則又因為∠BDE=90°，DE=2，根據正切的定義，可得到BD=4，再由勾股定理，可得BE=2。易證△CDE∽△CBD，從而可得，再據此列出方程求解，即可得到線段EC的長為

圖3

【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理和解直角三角形，此類型題目通常利用相關的輔助線構造相似三角形求解。