利用懸臂梁測量材料的彈性模量

翦知漸，周艷明，謝 中，周正貴

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 大學(xué)物理實驗中心，湖南 長沙 410082)

彈性模量是彈性材料的重要力學(xué)參量，在工程設(shè)計和應(yīng)用中彈性模量是非常重要的參量，測量彈性模量也是理工科大學(xué)物理實驗中常見的實驗項目. 彈性模量的測量方法有很多種，如動態(tài)的共振法[1-2]、聲速測量法[3]，靜態(tài)的拉伸法[4-7]以及梁彎曲法[8-10]，等等. 在拉伸法和梁彎曲法中，因為形變較小，大多采用技術(shù)與方法相結(jié)合的方式對形變進行測量，如光學(xué)方法測量[4-6,8-9]、應(yīng)變片[7]、霍爾傳感器[10]等，這些方法各有特點，適用于不同場合和要求.

在梁彎曲法中，主要有激光光杠桿測量法[9]、霍爾位置傳感器法[10]、單縫衍射法[11]、光纖布拉格光柵測量法[8]等. 它們共同的特點是：將橫梁的兩端用刀口支撐，在橫梁中間位置用刀口施加作用力使其產(chǎn)生彎曲，通過測量梁的撓度來求得彈性模量. 在采用各類傳感器測量撓度時，傳感器需要定標(biāo)，測量結(jié)果還會受到傳感器的溫度效應(yīng)等干擾，因這種方法產(chǎn)生的形變較小，從而使得測量結(jié)果的重復(fù)性較差，誤差也較大.

為解決上述問題，在懸臂梁自由端上方貼全反射鏡，用固定方向的激光束照射反射鏡，反射光斑投射至標(biāo)尺面. 在懸臂梁上施加載荷使其產(chǎn)生彎曲，反射鏡將會隨載荷的增加而產(chǎn)生轉(zhuǎn)動和下移，反射光斑的位置將會移動較大距離，這個距離可通過標(biāo)尺測出. 光斑移動距離與懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角和撓度有確定的關(guān)系式，根據(jù)該關(guān)系式即可求出材料的彈性模量.

1 測量原理

如圖1(a)所示的矩形截面梁，厚度為d，寬度為l.如果d,l相對于梁的長度小很多，則該矩形梁可看作是1根細長桿.當(dāng)細長桿的彎曲變形較小時，可利用小撓度理論[12]來計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角.

(a)矩形截面梁

(b) 懸臂梁端點施加載荷P后的彎曲圖1 實驗裝置示意圖

將懸臂梁固定在O點，在A點(與固定端距離為L)施加集中載荷P，懸臂梁將產(chǎn)生彎曲(AB段沒有變形)，如圖1(b)所示.自由端轉(zhuǎn)角為

(1)

其中，E為材料的彈性模量，I為懸臂梁繞z軸的慣性矩，其表達式為

(2)

離O點距離為L′處，梁的撓度為

(3)

根據(jù)式(1)～(3)，在小變形條件下梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度與載荷的關(guān)系是線性的,如圖2所示[12].

(a)自由端轉(zhuǎn)角的計算結(jié)果

(b)自由端撓度的計算結(jié)果圖2 小撓度線性解與大撓度精確解的比較

如果形變較大(大撓度)，則轉(zhuǎn)角和撓度的表達式不再是線性的，可由彈性理論給出精確解(見圖2).故小撓度理論(線性關(guān)系)成立的條件是：

1)自由端轉(zhuǎn)角θ<π/10；

2)自由端撓度δ

當(dāng)以上2個條件均得以滿足時，就有θ∝P和δ∝P.這就意味著，在小撓度情形下梁的變形可以根據(jù)載荷直接疊加計算(包括自重引起的形變).

如果測出一定載荷P下懸臂梁的自由端轉(zhuǎn)角θ，則根據(jù)式(1)即可計算出材料的彈性模量E.

如果施加的載荷不是作用在某一點的集中載荷，而是在某一區(qū)域施加均勻載荷Q，如圖3所示，相應(yīng)的計算公式為

(4)

圖3 懸臂梁施加均勻載荷后的彎曲

2 測量裝置

對θ的測量可利用光杠桿對小角度進行放大來進行.實驗裝置如圖4所示，在梁的自由端上方貼1面全反射鏡，激光被反射至標(biāo)尺面形成細小光斑.隨著載荷的增加，鏡面發(fā)生轉(zhuǎn)動，光斑將會沿標(biāo)尺面向左移動，測出光斑移動的距離即可得出θ的變化.為了獲得較大的放大倍數(shù)，同時使得儀器占用空間小、觀察方便，本文采用了折疊光路.下面分別討論轉(zhuǎn)角和撓度變化對光斑移動的影響.

2.1 自由端轉(zhuǎn)角變化對光斑移動的影響

如圖4所示，考慮自重及貼上反射鏡的關(guān)系，懸臂梁未加其他載荷前，自由端鏡面初始位置沿紅色虛線(懸臂梁撓曲線自由端的切線)方向，此時反射光與豎直方向的夾角為α，經(jīng)上方反射鏡反射后光斑位于x1處.若原點設(shè)為O，可知x1=(H1+H2)tanα.

圖4 光斑位置與梁自由端轉(zhuǎn)角的關(guān)系(α ≈ 45°)

加上小載荷P后，懸臂梁彎曲，鏡面轉(zhuǎn)動θ角到了藍色虛線方向，反射光斑移到了x2處.鏡面轉(zhuǎn)動θ角，則反射光方向轉(zhuǎn)動2θ角，即β=α-2θ.因此，光斑移動距離為

Δx=x2-x1=(H1+H2)(tanβ-tanα)=

-2(H1+H2)(1+tan2α)θ+O(θ2).

(5)

當(dāng)載荷增加時，光斑將向左移動，即x的讀數(shù)減小.

2.2 撓度變化對光斑移動的影響

仔細檢查光路會發(fā)現(xiàn)，施加載荷后，梁的撓度增加了δ，即鏡面向下移動了δ，所以光的反射點實際上是D而不是C，如圖5所示，這導(dǎo)致光斑向右移動了一段距離，即x的讀數(shù)增加.

圖5 光斑位置與梁自由端撓度的關(guān)系

考慮到懸臂梁基本是水平的(θ很小)，所以光斑移動距離的修正項為2δtanα(近似帶來的偏差屬于θ的高階項)，如圖5所示.經(jīng)過修正后，式(5)可改寫為

Δx=-2(H1+H2)(1+tan2α)θ+2δtanα=

(6)

式(6)為光斑移動距離Δx與懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系式.因?qū)嶒炛兴虞d荷P很小，所以懸臂梁的形變也很小(一般最大轉(zhuǎn)角θmax≤5°),且θ的高階項影響也非常小，故式(6)是線性度較好的表達式.實際測量結(jié)果也證明了這一點.

2.3 測量方法

調(diào)試好實驗裝置后，在距端點L處加上載荷P，測出其對應(yīng)的Δx.根據(jù)式(1)和式(6)可得

(7)

其中，慣性矩I的值由式(2)得出.

采用等量增重的方法進行多次測量以改善結(jié)果，同時該測量方法可以檢驗載荷與形變的線性關(guān)系，并用線性擬合來處理數(shù)據(jù).假設(shè)進行n次測量，每次加的載荷分別為P，2P，…，nP，相應(yīng)的反射光斑位于x1，x2，…，xn，線性擬合式為

xn=A-kn,

(8)

其中，A為常量(與原點選擇有關(guān))，斜率k即為施加載荷P時的Δx.將Δx代入式(7)，即可得到待測試件的彈性模量.

3 實測結(jié)果及分析

利用圖6所示的儀器對幾種常見材料進行測試. 首先用等量增重的方法測試了形變與載荷的線性關(guān)系，結(jié)果如表1所示. 表中P為單個砝碼的重力. 已知單個自制砝碼的質(zhì)量為9.28 g，本地重力加速度為9.79 m/s2，故P=0.090 85 N；Δx為各組數(shù)據(jù)按照式(8)進行線性擬合的斜率. 對表1中的數(shù)據(jù)做線性擬合，其擬合度R2均在0.999 8以上，充分說明二者有良好的線性關(guān)系. 由于實驗使用的自制砝碼，每個砝碼約有0.02 g的偏差，這可能是影響線性擬合度的因素.

圖6 測量儀器實物圖

不同測試者在不同時間下對寬度為l=25.00 mm的鋁合金試件進行多次測量，結(jié)果見表2. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到鋁合金的彈性模量E=(7.056±0.052)×1010N/m2.

作為對比，在本校材料實驗室用電測法對所測試件進行了測量. 將該方法所用的試件制作成如圖7所示的形狀，測得其彈性模量分別為7.49×1010N/m2和7.05×1010N/m2，二者均在誤差范圍內(nèi). 但電測的結(jié)果離散性很大，而使用本文方法進行測量，結(jié)果的重復(fù)性較好(見表2)：7次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為0.08，相對偏差約為0.1%.

表1 光斑移動距離與載荷的關(guān)系(鋁合金)

表2 鋁合金的彈性模量實測結(jié)果

圖7 電測試件

對不銹鋼試件的測量過程與對鋁合金的測量過程相似. 多次測量的結(jié)果為E=(2.072±0.010)×1011N/m2. 一般鋼材的彈性模量在1.95×1011～2.10×1011N/m2之間，因合金的彈性模量與其成分、工藝甚至生產(chǎn)批次均有關(guān)系，試件在加工時的應(yīng)力殘留(硬化)也會影響其彈性模量. 實驗采用的試樣是經(jīng)剪板機裁剪加工而成的，殘余應(yīng)力較大，測量結(jié)果應(yīng)大于沒有殘余應(yīng)力的材料.

通過以上的實測結(jié)果，可以看到使用本方法測量材料的彈性模量，其結(jié)果的重復(fù)性較好，不確定度也較小，充分說明了本實驗方法及測量裝置的穩(wěn)定性較好，測量結(jié)果的精確度較高.

4 結(jié)束語

設(shè)計的彈性模量測量裝置不需要使用刀口支撐橫梁，也不需要使用刀口施加載荷. 采用懸臂梁結(jié)構(gòu)，小載荷也能使得樣品產(chǎn)生較大的形變，經(jīng)估算，懸臂梁自由端的撓度要比兩端支撐梁的中部撓度大1個數(shù)量級以上. 光斑移動距離因自由端撓度和轉(zhuǎn)角的改變將會變得較大，因此測量精度較高. 通過選擇試件的厚度能將測量數(shù)據(jù)控制在預(yù)定的標(biāo)尺讀數(shù)區(qū)內(nèi)，從而能夠在同一裝置上方便地測量彈性模量相差很大的固體材料. 只要預(yù)估待測材料彈性模量的數(shù)量級，大致確定試件的厚度，例如高強度材料樣品厚度稍薄，低強度材料樣稍厚，就能控制形變大小(與樣品厚度的三次方成反比). 因光斑移動距離與形變成正比，所以很容易做到在合適的標(biāo)尺區(qū)內(nèi)進行讀數(shù). 該方法不使用傳感器加力，也不采用各類測位移的傳感器，避免了傳感器定標(biāo)、溫度漂移等問題. 實驗結(jié)果的重復(fù)性好，具有良好的實用性. 該實驗裝置小巧，結(jié)構(gòu)簡單，操作方便，特別是樣品易于加工，適用于測量彈性模量跨度值很大的各種材料.