基礎實驗試題A-1：水鐘計時

王 槿，文小青，李文華,惠王偉，孔勇發

(南開大學 a.物理科學學院;b基礎物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

在基礎物理實驗教學中，豐富對流體相關現象及流體參量的探究，有助于培養學生的物理思維. 第7屆全國大學生物理實驗競賽(教學賽)基礎實驗試題A為流體的流動. 試題A分三部分：第一部分為水鐘計時，第二部分為毛細管中液體的流動，第三部分為風洞，其中第一和第二部分為“二選一”形式. 基礎實驗試題A涉及液體的靜力學及表面張力現象、動力學(液體流動及黏性)和氣體動力學(空氣在風洞內的流動)等相關知識. 第一部分“水鐘計時”試題從流體力學的基本概念出發，考查學生對物理基本規律的認識和理解，對常用測量儀器的使用方法以及數據處理、誤差分析的掌握情況，從簡單生活現象發現物理問題及解決問題的能力.

1 實驗原理

1.1 雷諾數與伯努利原理

流體具有流動性、黏性和壓縮性. 流體的流動形態分為層流和湍流，可用雷諾數的大小來界定這2種流態. 雷諾數是流體力學中表征黏性影響的無量綱量[1]，記作Re

(1)

其中ρ，v和η分別為流體的密度、流速與黏度(動力黏度)，D為特征長度.

雷諾數表征流體的慣性力與黏性力之比：雷諾數較小時，黏性效應在整個流場中起主要作用，流動為層流；雷諾數較大時，慣性力占主導作用，流動逐步過渡為湍流[2].由層流過渡到湍流的雷諾數稱為臨界雷諾數.實驗表明臨界雷諾數不是固定常量，其下限約為2 000.通過改善實驗條件，其上限可以提高到50 000[1].實驗表明，對內壁光滑的直管而言，Re<1 000時，為層流；Re>2 000時，為湍流；當1 000

無黏性正壓流體在有勢外力作用下做定常流動時，通常用伯努利原理描述總能量沿流線守恒.這里考慮流體從容器側壁開口流出的情況[2].

圖1所示為某同學居家實驗中研究伯努利原理的裝置示意圖.圖2所示為伯努利原理的示意圖，曲線示意流體的流線，由這2條流線所圍成的區域稱為流管.在流體定常、無黏、不可壓縮的假設下，截面A1前進ds1距離時，截面A2前進ds2，則存在以下關系：

A1ds1=A2ds2.

(2)

圖1 居家實驗裝置的示意圖

圖2 伯努利原理的示意圖

如圖2所示，若流管兩端的壓強分別為p1和p2，則流體在這一流動過程中，對流管內兩截面間流體做功為

dW=p1A1ds1-p2A2ds2.

(3)

此功等于流管內流體的能量(動能和勢能)的凈變化量.圖2所示的兩處流速分別為v1和v2，高度為y1和y2，根據能量守恒和質量守恒化簡得：

(4)

假設所有流線都與水的上表面垂直相交，將A1截面設置為容器中液體的上表面，A2截面設置為容器側壁小孔，則由式(4)可得：

(5)

(6)

即托里拆利定律.

水流離開小孔后的運動可看作具有初速度v0的平拋運動，其運動方程為

(7)

其中，x和y為水流軌跡坐標，x0和y0為小孔位置坐標，消去時間t可得軌跡方程為

(8)

由式(8)可知水流軌跡為拋物線.在容器內液面高度近似不變的情況下，通過測量水流離開小孔后的軌跡位置(x,y)，根據式(8)可得到此時流體流出小孔的速度v0.

試題閱讀部分給出了動能項和勢能項的詳細推導過程.由于篇幅限制，此處伯努利方程的推導過程做了簡化.

1.2 水鐘計時原理

古代計時工具有日晷、沙漏、滴漏、燃香、脈搏、水鐘等，現代計時器有秒表、電磁打點計時器、數字毫秒計、攝像機、示波器、石英晶體振蕩器等[4].例如，2020年國際青年物理學家錦標賽中第6題“撒克遜碗”[5-6]的研究內容也是古代計時.

對于圖1所示的流體情況，當對容器中液面高度進行監測時，假設液面面積為A1，小孔面積為A0，則由式(2)可得：

(9)

聯立式(6)，得到液面由距離小孔高度h1下降到h2用時為[7]

(10)

式(10)即為水鐘的計時原理.

1.3 表面張力系數

液體的表面張力與液體表面相切.如果在液體表面畫1條假設直線，則表面張力的作用表現為線段兩端的液面存在一定的拉力，并且力的方向與線段垂直，力的大小與該線段的長度成正比[3]，即

Fα=αL,

(11)

其中，比例系數α為液體的表面張力系數，表示單位長度的線段兩側液面的相互拉力.

在觀察流體流動時發現，容器中液面在下降到距離小孔一定高度h時不再下降，此時由楊-拉普拉斯公式得到：

(12)

其中，R為小孔處液體表面的曲率半徑，g為重力加速度.水流停止時小孔處的液面示意圖如圖3所示.

圖3 水流停止時小孔開口處的液面示意圖

2 實驗器材

第一部分的器材有：

a.貼有標號的側壁開孔空水瓶5個；

b.塑料水槽1個；

c.高度臺1個；

d.細木棍2根；

e.橡皮筋4條；

f.記號筆1支.

共用器材有：

a.移測顯微鏡1臺；

b.量程0～100.0 ℃溫度計1支；

c.秒表1塊；

d.燒杯1～2個；

e.鐵架臺1個，夾子若干；

f.游標卡尺1把；

g.含待測液體的洗瓶2個；

h.刻度尺2把；

i.透明膠帶1卷；

j.廢液桶1個；

k.LED照明燈1盞；

l.抹布2塊.

3 實驗任務

1)根據水鐘計時原理，當水瓶側壁開孔孔徑分別為1，2，3，4，5 mm時，計算液面由距孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所需時間. (10分)

2)從1～3號瓶子中選擇1個，重復多次實驗，觀察并記錄液面從距離開孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所需的時間，是否有明顯變化？計算測量結果的A類不確定度. 記錄水瓶編號(已標注在瓶身)，置信概率取P=0.683，t分布關系見附錄2. (5分)

3)用提供的5個開孔大小不同的瓶子，探究液面由距孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所用時間與孔徑大小的關系(粗測小孔孔徑，只測1次)，相關數據記錄到答題紙上. 分析實驗結果是否與1.1中理論計算得到的規律相符？從精度和準確度方面簡要分析水瓶計時裝置. (15分)

4)在液面下降實驗中，水流停止流出時，容器內液面距小孔還有一定高度. 試分析該現象產生的原因. 測量此時液面距小孔高度h，試計算此時小孔處液面的曲率半徑. 將其與小孔直徑對比，分析兩者是否在同一數量級上. 從附錄中查取所需常量. (10分)

5)假設待測液體在室溫下的黏度η=1.00×10-3Pa·s，任意選擇1個水瓶，在液面距離小孔10 cm時，計算理論出口流速及理論雷諾數. 設計實驗方案，根據平拋運動規律，測量所需要的數據，計算實際出口流速及實驗雷諾數. 分析液體的流動是否滿足層流條件. (10分)

試卷附錄信息：

附錄1：所提供的液體在不同溫度下的密度.

附錄2：不同置信概率時,t分布的置信系數與自由度的關系.

附錄3：所提供液體在不同溫度時與液相分界面的表面張力系數α.

附錄4：移測顯微鏡使用說明(JC-10，上海光學儀器五廠).

4 試題解答

1)題設要求清晰，根據式(10)進行計算. 要求測量的水瓶直徑在參考值附近，能夠使用50分度游標卡尺進行測量，有效數字正確. 根據實際測量值，要求理論計算結果及表示正確. 由于制造工藝，水瓶的直徑略有差別，此處給出參考答案. 水瓶直徑D在60.8 mm附近，加工精度造成的直徑測量偏差為0.5 mm. 不同開孔直徑時液面下降時間的理論計算值如表1所示.

表1 不同開孔直徑時液面下降時間的理論計算值

2)此部分內容主要考查了學生對移測顯微鏡的操作以及數據處理知識，包括隨機誤差、A類不確定度的計算.

學生根據選擇和實際測量填寫瓶子的編號和小孔的直徑，測量工具為移測顯微鏡和(或者)米尺. 實驗中給出的移測顯微鏡量程為4 mm，當孔徑超過4 mm時用米尺或者游標卡尺進行測量.

如表2所示，實驗測5組數據，時間基本保持不變. 孔徑對應1～5 mm范圍，時間在155.08～6.20 s范圍.

表2 某組下降時間的實驗數據

本題需要學生根據自己的測量結果正確計算出不確定度，有效數字位數正確，并得出實驗結論，即時間基本保持不變，隨機誤差較小.

表3 某組實驗的小孔直徑和下降時間數據

分析結果主要包括：

a.某組實驗下降時間隨孔徑的變化如圖4所示，下降時間主要取決于孔徑大小. 孔徑越大，下降時間越短，與理論變化趨勢相同.

b.下降時間t的實驗數據普遍比理論數據大，可能是孔口不規則、黏滯作用等因素導致.

c.理論下降時間和實驗下降時間差別較大，結合上一題的分析，得出結論：水瓶計時裝置的精度較高，準確度較低.

圖4 某組實驗下降時間隨孔徑的變化

4)要求學生分析出該現象由表面張力產生；能夠讀出液面高度，記錄液體溫度，查表獲得相應的表面張力系數值，查表獲得對應的密度值. 由式(12)計算小孔處液面的曲率半徑，得出結論：小孔處液面的曲率半徑和小孔直徑在同一數量級.

5)理論計算：將h=10 cm,g=9.8 m/s2代入式(6)，出口處理想流速v=1.4 m/s. 測量液體溫度，查表得到液體密度. 例如,水溫24 ℃,ρ=997.32 kg/m3,液體的黏度η=1.00×10-3Pa·s，當特征長度取管口直徑D=0.002 14 m，代入式(1)得到理論雷諾數為2 998，液體不滿足層流假設. 學生需要結合自己實驗中選擇的孔徑進行計算，對是否符合層流情況做出分析.

實驗測量：水流離開小孔后的運動看作平拋運動，其運動方程由式(7)給出.要求學生能夠描述測量方案，測量小孔到瓶底的距離y和水平距離x.由y得到時間t，并根據測量值計算得出實際的流速和雷諾數.

表4給出了某組3個不同孔徑水瓶的實驗結果，水溫為18 ℃，ρ=997.62 kg/m3. 將實驗結果與理論分析對比，可以發現：在較大孔徑下，液體均不滿足層流假設；當孔徑較小時，液體呈現向層流過渡的趨勢.

表4 某組水瓶的出口流速及雷諾數的計算結果

5 考試結果及評析

5.1 得分分布

基礎實驗試題A第一部分共計5道題，總分50分. 參加考試的55名考生中有43人選擇了第一部分，占比78.18%. 總分得分情況如圖5所示，具體題目得分分布如圖6所示.

圖5 總分得分情況

(a)第一題 (b)第二題

(c)第三題 (d)第四題

(e) 第五題 圖6 各題目得分情況

5.2 結果分析

基礎實驗試題A的閱讀材料共計15頁，其中與第一部分相關的背景知識約占7頁. 試卷給出了大量關于伯努利方程的閱讀內容，可應用于第五題中的實驗設計. 大部分考查的內容是基本儀器和數據處理相關知識，例如精度與準確度分析，誤差與不確定度評定，誤差的來源與分類. 試卷結果顯示部分考生對基本的測量常識掌握得不夠準確，存在概念混淆，例如精度與準確度.

在儀器的使用方面，大部分考生會使用移測顯微鏡，但是部分考生測量時沒有使用光源，可能導致讀數不準確. 實驗中需要固定圓瓶，考生利用木棍、橡皮筋、膠帶和高度臺，在較短時間內給出了不同的固定方案.

水鐘計時實驗是南開大學基礎物理實驗中的常規實驗，在2020年春季疫情期間開始進行該內容的線上教學，后期拓展為課堂實踐. 實驗器材包括礦泉水瓶、高度臺和攝影支架，實驗成本較低. 實驗教學內容比本次競賽考核內容豐富，課上學生使用手機進行攝像錄制，使用Tracker提取液面，開展托里拆利定律的驗證和理論模型的修正等內容. 此實驗的拓展研究包括對黏滯和表面張力影響的進一步討論. 由于實驗競賽現場并沒有配備電腦，不具備實時液面下降高度數據采集和數據擬合的功能，并未進一步考查能量耗散情況下托里拆利定律的修正. 這部分內容可以參考文獻[8-9].