基礎實驗試題A-2和A-3：毛細管中液體的流動及風洞實驗

文小青，王 槿，李文華,張旭華，張春玲，孔勇發

(南開大學 a.物理科學學院;b.基礎物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

伯努利方程中的基本假設是流體無黏性，而實際的流體都具有黏性. 對于液體，形成黏性的主要原因是分子間的引力，同時還受到溫度影響. 而對于氣體，形成黏性的主要原因是分子熱運動引起的動量交換[1]. 測量流體的黏度是基礎物理實驗教學中的重要內容. 第7屆全國大學生物理實驗競賽(教學賽)基礎實驗試題A的研究內容為流體的流動. 試題A共分為三部分：第一部分為水鐘計時，第二部分為毛細管中液體的流動，第三部分為風洞. 其中第一和第二部分為“二選一”形式. 基礎實驗試題A涉及液體的靜力學及表面張力現象、動力學(液體流動及黏性)和氣體動力學(空氣在風洞內的流動)等相關知識. 本文介紹的第二部分和第三部分都與流體的黏性有關.

1 實驗原理

1.1 毛細管中液體的流動

當相鄰2層流體以不同的定向速度運動時，如圖1所示，由于流體分子的相互作用，產生平行于接觸面的切向力，該力被稱為內摩擦力或黏性力[2].經實驗驗證，對于給定的流體，作用于接觸面積為dS的相鄰兩流層上的黏性力f，與垂直于dS方向上的速度梯度du/dy以及接觸面積dS成正比，其方向與運動方向相反，即

(1)

其中，比例系數η為黏度.式(1)是決定流體內摩擦力大小的牛頓黏性定律.

圖1 流層間的黏性力

不同流體具有不同的黏度，同種流體在不同溫度下的黏度也不同，而且流體的黏度還與壓強有關，但不顯著.氣體的黏度很小，且與溫度的平方根θ1/2成比例[1].液體的分子間距比氣體的分子間距的1/1 000還小，層間分子的相互作用力成為產生內摩擦力的主要原因，所以液體黏度是氣體的102～104倍.而且液體黏度隨溫度的升高近似呈指數規律減小，有經驗公式

ηθ=a(b+θ)-c,

(2)

其中，ηθ為流體在θ℃時的黏度，a,b,c為因液體種類或溫度范圍而異的常量[3].對于實驗中的液體，溫度在0～100 ℃范圍內時，式(2)計算結果與理論值的偏差不大于0.40%. 因此，由式(2)計算得到ηθ可以理想化為真值，用來驗證實驗結果.

流體的流動形態分為層流和湍流，可用雷諾數的大小來界定這2種流態.雷諾數是流體力學中表征黏性影響的無量綱量，由物體的特征長度決定，記作Re.

(3)

其中ρ,v和η分別為流體的密度、流速和黏度，D為特征長度[1].

雷諾數的意義是流體的慣性力與黏性力之比.雷諾數較小時，黏性效應在整個流場中起主要作用，流動為層流；雷諾數較大時，紊動混摻起決定作用，流動為湍流.實驗表明，對于內壁光滑的直管而言，Re<1 000時，為層流；Re>2 000時，為湍流；當1 000

測定流體黏度的方法有多種，例如毛細管法、旋轉圓筒法、落球法以及觀察阻尼振動法等[3].毛細管法測量液體的黏度主要依據牛頓黏性定律，如圖2所示，當液體在長度為l、直徑為D的毛細管中做層流運動時，可以證明t時間內流經毛細管任一截面的體積為

圖2 毛細管中液體流動的受力分析

(4)

其中，Δp為毛細管兩端的壓強差.式(4)即為泊肅葉公式.

1.2 風洞

空氣是常見的流體，空氣的流動直接導致風的產生，風速的大小一般由風速計測量，市場上常見的風速計有熱線式(熱球式)、托管式、超聲波式、風杯式等.實驗試題中將乒乓球置于風洞，研究風洞內與空氣流動的相關物理性質.

由于空氣的黏性作用，當空氣流動時會產生與物面相切的摩擦力，全部摩擦力的合力稱為摩擦阻力.摩擦阻力與物面相垂直的氣流壓力的合力稱為壓差阻力.實際流體在黏性作用下不僅會產生摩擦阻力，而且會使物面壓強分布與理想流體中的壓強分布不同，并產生壓差阻力，這2種阻力常同時存在，與物體的形狀、物體的表面粗糙程度和雷諾數有關.阻力的方向與物體相對于流體的速度方向相反，其大小和相對速度大小有關[1].在相對速率v較小時，阻力f與v成正比，即f=kv(比例系數k取決于物體的大小、形狀以及流體的性質)；在相對速率v較大以至于在物體后方出現流體旋渦時，阻力可表示為[4]

(5)

其中,ρA為空氣密度，AB為物體的有效橫截面積，CD為曳力系數(取決于物體形狀和雷諾數).

2 實驗器材

第二部分：毛細管黏度計(圖3)及毛細管小樣一段.

圖3 毛細管黏度計

第三部分：風洞裝置(圖4，含風洞管道主體、計算機風扇和光電傳感器),系有細線的乒乓球1個(質量已標到球體上),雙通道電源1臺,示波器1臺,熱線式風速儀1臺,黑色導線1根.

在設計風洞實驗裝置時借鑒了第14屆亞洲物理奧林匹克競賽試題[5]儀器的外觀設計.數據采集電路、配件等由命題教師設計完成.

如圖4所示，實驗中，將計算機風扇作為風發生器，將風洞中的空氣吸出(排風型風洞)以獲得平緩的氣流.風洞內的風速主要取決于計算機風扇的轉動頻率fM，fM可由風扇上裝有的光電傳感器來獲得.光電傳感器含有1對紅外光發射器和接收器，根據渦輪扇葉上粘貼反光片的反射光信號周期來獲得fM.賽場提供了商用的熱線式風速儀，用來測量風速，以進行比對研究.

圖4 風洞裝置實物圖

共用器材：移測顯微鏡1臺，量程0～100 ℃的溫度計1支，秒表1塊，燒杯1～2個，鐵架臺1個，夾子若干，游標卡尺1把，含待測液體的洗瓶2個，刻度尺2把，透明膠帶1卷，廢液桶1個，LED照明燈1盞，抹布2塊.

3 實驗任務及解答

3.1 毛細管中液體的流動

3.1.1 實驗要求

1)如圖3所示，假設計時開始時，毛細管黏度計量筒內液面高度為h1,計時結束時液面高度為h2，毛細管入口處的高度為h，毛細管出口處的高度為h0.液體流動過程中毛細管內的流量等于量筒內的流量[6]：

(6)

2)將儀器調節到測量模式，通過測量50 mL液體流經毛細管的時間以及其他參量來獲得液體的黏度，進行3次實驗.(20分)

3)對于待測液體，設置式(2)中a=0.600 7，b=43.252，c=1.542 3.根據實驗時的液體溫度，求出3次實驗中黏度的理論值，并與實驗值相比較，計算相對偏差.3組實驗數據中，選出相對偏差最小的1組，計算實驗條件下的雷諾數，分析其是否滿足泊肅葉公式的成立條件.(14分)

4)欲使該裝置準確地測量待測液體50 ℃時的黏度[可通過式(2)求得]，毛細管直徑不得大于多少？(8分)

3.1.2 試題解答

1)此題考查學生對泊肅葉定律的理解和靈活應用.

(7)

具體解答可參考文獻[3].

2)此題要求根據式(4)及式(7)測得液體的黏度，為增加實驗的可重復性和準確性，要求重復進行3次實驗.需要測量的參量和測量次數在答題紙中以表格形式給出.此處給出1組參考數據，如表1所示.

表1 毛細法測量液體黏度的數據記錄

3)由式(2)計算黏度理論值，η01=0.881 1×10-3Pa·s；η02=0.883 1×10-3Pa·s；η03=0.883 1×10-3Pa·s. 相對偏差分別為：3.4%，8.4%，5.7%. 流速v可定義為體積流量除以毛細管橫截面積，結合式(4)得雷諾數為

(8)

代入表1中相關數據，可得Re=100.8<1 000，滿足泊肅葉公式成立的條件.

4)由式(2)可求出50 ℃時液體的黏度η02=0.550 6×10-3Pa·s.式(8)可改寫為

(9)

要保持液體流動形態是層流，根據經驗Re取值應小于1 000，由式(9)計算可知，此時毛細管直徑D≤1.15 mm.

3.2 風洞

3.2.1 實驗要求

1)如圖5所示，密度為ρA、速度為v0的空氣流過橫截面積為A0的管道,空氣流具有的功率為

通過推導確定n的數值.(5分)

圖5 管狀風流示意圖

2)風洞內的風速與風扇的轉動頻率直接相關，而風扇的轉動頻率可由風扇的工作電壓進行調節，請參考圖6連接光電傳感器及風扇電路，通過改變風扇工作電壓測量風洞中心位置的風速與風扇轉動頻率的關系數據，以表格形式記錄數據，并繪制關系曲線，通過數據擬合得到風速v0與風扇轉動頻率fM的關系表達式.(15分)

(a)傳感器電路 (b)風扇電路 圖6 風洞工作電路圖

3)如圖7所示，在探究空氣流動的物理性質時，可將乒乓球懸掛于風洞中測量風速的大小.風扇打開時，小球在風的作用下會偏向一邊，假設此時絲線與豎直方向夾角為α，分析此時小球的受力并畫出受力圖.根據小球在流動空氣中的受力與相關參量的關系，推導出風速v與小球偏移角α的函數關系(可申請提示卡).(10分)

(a)風洞上的刻度

(b)小球懸于風洞中 (c)標有質量的小球

(d)風洞整體圖圖7 風洞

4)改變風速，測量乒乓球偏移角α，以表格形式記錄實驗數據.計算不同風速下的曳力系數CD及雷諾數Re.畫出雷諾數與曳力系數的關系曲線，并分析該曲線圖.(20分)

3.2.2 試題解答

1)設空氣在管道內的速度不變.則

2)此題考查學生的動手實踐能力.根據風洞工作電路圖連接實驗儀器，風扇轉動頻率可通過示波器直接讀出.根據測量數據，可得到風扇轉動頻率與風速呈線性關系.因每個風扇的電機性能不同，風扇轉動頻率與風速的線性系數不是定值.經測試，競賽中所用風扇轉動頻率與風速的線性系數在0.500～0.900之間.

3)乒乓球在風洞中的受力如圖8所示，結合式(5)，風速v與小球偏移角α的函數關系為

圖8 風洞中小球的受力圖

圖9 雷諾數與曳力系數的關系曲線

因風扇的電機性能不同及懸掛乒乓球的位置略有不同，通過對每臺風洞儀器測試，CD的值在0.40～0.90之間，Re的值在1 000～5 000之間，根據球體的曳力系數與雷諾數的變化關系[4，6],此雷諾數區間阻力系數曲線為整體趨于平穩或略有下降，實驗結果與理論相符.

3.3 試卷附錄信息

附錄1：不同溫度下的空氣動力黏度及密度.

附錄2：移測顯微鏡使用說明(JC-10，上光學儀器五廠).

附錄3：熱線式風速儀使用說明.

附錄4：示波器使用說明.

附錄5：雙通道電源使用說明.

4 考試結果及評析

4.1 毛細管中液體的流動

4.1.1 得分分布

基礎實驗試題A第二部分共4道題，總分50分. 參加考試的55名學生中有12人選擇了第二部分. 總分分布如圖10所示. 具體各題得分分布如圖11所示.

圖10 第二部分的總分分布

(a)第一題 (b)第二題

(c) 第三題 (d)第四題圖11 第二部分各題得分分布

第一題涉及泊肅葉定律的理解，考查學生對泊肅葉公式適用條件的靈活應用，得分率較低，但不影響后面實驗的進行. 5人申請了提示卡. 第二題是基礎物理量的測量，得分率較高，學生得分都在10分以上. 第三題得分率較高，學生得分都在8分以上. 第四題屬于實驗拓展部分，得分率較低，學生得分都在3分以下.

4.1.2 結果分析

第二部分主要是利用傾斜的毛細管測量液體的黏度，通過毛細管中液體流動的物理狀態與雷諾數的關系進行實驗拓展. 在第5屆全國大學生物理實驗競賽教師交流會上調查的40所高校中，21所高校采用落球法測量液體黏度，1所高校采用轉筒法測量液體黏度. 選擇第二部分的學生人數為12人，占比21.82%，這與大部分學校沒有開設毛細管法測量液體黏度有關，學生沒有相關內容的知識儲備. 教材上一般給出水平毛細管兩端的壓強差公式，而此題要求計算傾斜毛細管兩端的壓強差，涉及對泊肅葉公式的理解和靈活運用，大部分學生不能推導出此公式. 實驗背景中已經明確給出此裝置適用于層流狀態下黏度的測量，層流的臨界雷諾數值和雷諾數公式也已給出，但大部分學生不能從實驗背景中提取有用信息，第四題得分較低.

在儀器操作方面，大部分學生能利用提供的實驗器材進行第二題中基礎物理量的測量，這是此題的主要得分點，但學生使用儀器不夠熟練，不能快速、有效地開展測量，導致做第三部分實驗題的時間較少. 此外，學生也會犯原理性的錯誤，例如實驗時未取下毛細管黏度計量筒上的橡膠塞.

4.2 風洞

4.2.1 得分分布

基礎實驗試題A第三部分共4道題，總分50分. 第三部分為必做題目，總分分布如圖12所示，平均分33.3分. 各題得分分布如圖13所示.

第一題考查學生對基礎物理概念的掌握和靈活運用，題目相對簡單，得分率較高，55名學生全部得滿分. 第二題考查學生的實驗動手能力，根據電路原理圖連接實物并進行測量，一半學生的成績在5分以下，僅有5名學生的成績在12～15分，得分率不高. 第三題考查學生理論聯系實際的實踐能力，此題設計有提示卡，雖然得分率較低但不影響后面實驗的進行. 第四題屬于實驗拔高部分，是試題的難點部分，得分率較低.

圖12 第三部分的總分分布

(a)第一題 (b)第二題

(c) 第三題 (d)第四題 圖13 第三部分各題得分分布

4.2.2 結果分析

第三部分得分率較低的原因如下：

1)第三部分主要考查乒乓球在風洞內受到的摩擦阻力及相關物理性質，屬于氣體流動的知識范疇，在大學物理實驗教學中涉及較少，大部分學生的知識儲備不足.

2)盡管賽前已經公布了使用的直流電源及示波器型號，題目中也給出了風洞的工作原理圖，但大部分學生并沒有正確連接實物電路，因而無法進行后續的測量. 學生遇到的主要問題是：測量頻率時如何連接示波器；用多路直流電源分別給風扇和光電傳感器供電時，分不清楚是2路獨立的電路系統.

3)試題中已給出風速儀的插口位置，但部分學生還是在風扇端或風洞的尾端測量風速，沒有仔細閱讀試題資料，未抓住實驗原理的關鍵點.

4.3 基礎實驗試題A總成績分布

基礎實驗試題A總成績分布如圖14所示，基本滿足高斯分布，區分度較高.

圖14 基礎實驗試題A的總成績分布

5 結束語

第7屆全國大學生物理實驗競賽基礎實驗試題A“流體的流動”的內容豐富、知識連貫，涵蓋了從流動的液體到流動的氣體，從無黏性流體理論到黏性流體性質的研究. 試題中給出約3 600字的背景知識介紹，考查了學生的閱讀能力和分析理解能力. 毛細管中流體的流動和風洞實驗是南開大學基礎物理實驗中的常規實驗，競賽過程中學生遇到的問題和實驗教學中存在的問題高度契合，即學生基本實驗能力的培養亟需提高. 競賽中實驗器材包括礦泉水瓶、高度臺、量筒、坐標紙、PVC管、計算機風扇等，風洞實驗中的頻率采集電路由教師和助教焊接完成，南開大學基礎物理實驗中心組裝的“積木式”儀器，器材成本低，實驗中也充分考查了學生的動手實踐能力. 物理實驗在科學教育中占有重要地位. 在物理實驗教學中，教師應豐富實驗內容，加強實驗原理的深入講解和實驗內容的創新，加強對學生實踐動手能力、分析理解能力的培養，才能培養出新時代需要的高質量人才.