任意橋梁截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算的快速方法

張 恒

(中鐵十九局集團(tuán)有限公司 北京 100176)

1 引言

目前橋梁設(shè)計(jì)、施工計(jì)算中已經(jīng)普遍采用空間結(jié)構(gòu)分析方法。在空間分析時(shí)，首要是把截面特性計(jì)算準(zhǔn)確，不僅要計(jì)算截面和各主軸的慣性矩，還要包括自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)和約束扭轉(zhuǎn)分析的各種參數(shù)。自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計(jì)算是約束扭轉(zhuǎn)參數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)，對(duì)空間計(jì)算結(jié)果的影響也非常大。

當(dāng)前計(jì)算截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的方法，一是針對(duì)簡(jiǎn)單截面如矩形、圓形截面，使用理論公式計(jì)算。如果可以分割為多個(gè)矩形截面，可對(duì)每個(gè)小塊單獨(dú)計(jì)算再累加，這種簡(jiǎn)化方法可用于對(duì)精度要求不高的情況。對(duì)于薄壁截面，可把截面簡(jiǎn)化為多個(gè)帶厚度的線段，采用薄壁桿件扭轉(zhuǎn)理論進(jìn)行計(jì)算[1－3]，這種方法結(jié)果精度較高但簡(jiǎn)化截面工作量較大，且只對(duì)薄壁桿件有效。對(duì)于薄壁箱型截面，還可以采用空間有限元方法，按細(xì)長(zhǎng)懸臂梁端部受純扭矩來(lái)建模，采用塊體單元計(jì)算[4－6]。由于細(xì)長(zhǎng)桿件箱型截面約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)較弱，此時(shí)計(jì)算出來(lái)的剛度就是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，這種方法計(jì)算量很大。另外一種方法是直接采用國(guó)外大型通用有限元軟件進(jìn)行位移法平面有限元分析[7]，這種方法能計(jì)算任意截面形式，但代價(jià)較高[8－10]。

從這些研究成果可見(jiàn)，計(jì)算任意截面的自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，采用有限元方法，結(jié)果精度較高而且只要在CAD軟件畫(huà)出截面，不用大量的人工處理數(shù)據(jù)。但這種方法存在兩個(gè)問(wèn)題:一個(gè)是位移法有限元計(jì)算的是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的上限，結(jié)果比理論值偏大；另一個(gè)是要計(jì)算滿足精度的結(jié)果，網(wǎng)格劃分要很密，實(shí)際計(jì)算中要從疏到密反復(fù)計(jì)算，計(jì)算量很大，如果一開(kāi)始設(shè)置的網(wǎng)格太密，計(jì)算時(shí)間很長(zhǎng)甚至可能超出軟件計(jì)算能力。

采用位移法有限元，其基本原理是從彈性三維問(wèn)題入手引入假設(shè)，建立微分方程[11]，用翹曲函數(shù)作為未知量，按最小勢(shì)能原理建立有限元方程。還有一個(gè)思路是用應(yīng)力函數(shù)作為未知量，按最小余能原理建立有限元方程，此種方法計(jì)算的結(jié)果是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的下限。綜合最小勢(shì)能原理和最小余能原理這兩種方法，采用二者結(jié)果平均值作為自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，就有可能解決單一方法剛度較大和自動(dòng)選擇網(wǎng)格劃分尺寸的問(wèn)題。

本文模型采用如圖1所示的等截面懸臂梁，坐標(biāo)系沿桿件軸向?yàn)閦軸，截面上為x、y軸，與z軸成右手坐標(biāo)系。柱體一端固定，一端自由，自由端受外力扭矩。

圖1 等截面懸臂梁模型

2 最小勢(shì)能原理

3 最小余能原理

4 算例對(duì)比分析

4.1 矩形截面

如圖2所示，對(duì)于寬為1 m、高為2 m的矩形，其自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值為0.457，用兩種方法分別計(jì)算，取其平均值作為最終結(jié)果。把三個(gè)計(jì)算結(jié)果與理論值對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1，三種方法計(jì)算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線見(jiàn)圖3。

圖2 矩形截面(單位:m)

表1 矩形截面計(jì)算

圖3 三種方法計(jì)算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線

4.2 薄壁開(kāi)口截面一

如圖4所示，針對(duì)寬為1 m、高1 m、壁厚0.04 m的薄壁開(kāi)口截面，用兩種方法分別計(jì)算，取其平均值作為最終結(jié)果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為5.48×10－5。 把三個(gè)計(jì)算結(jié)果與理論值對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表2，計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖5。

圖4 薄壁開(kāi)口截面一(單位:m)

表2 薄壁開(kāi)口截面一計(jì)算結(jié)果

圖5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比(截面一)

4.3 薄壁開(kāi)口截面二

對(duì)于圖6的薄壁開(kāi)口截面，用兩種方法分別計(jì)算，取其平均值作為最終結(jié)果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為0.000 128。把三個(gè)計(jì)算結(jié)果與理論值對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表3，計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖7。

圖6 薄壁開(kāi)口截面二(單位:m)

表3 薄壁開(kāi)口截面二計(jì)算結(jié)果

圖7 計(jì)算結(jié)果對(duì)比(截面二)

5 結(jié)論與展望

(1)通過(guò)計(jì)算值與理論值對(duì)比可以看出，在網(wǎng)格劃分規(guī)模相同、計(jì)算量基本相同的情況下，用本文的計(jì)算方法比只用位移法求解結(jié)果精度大大提高。

(2)采用相同誤差控制結(jié)果精度的情況下，無(wú)論求解時(shí)間和絕對(duì)精度本文所述方法更好，而且在網(wǎng)格劃分較疏、單元個(gè)數(shù)較少的情況下，就表現(xiàn)出較高精度。

(3)用新方法雖然要求解兩次，但二者可以共用同一個(gè)網(wǎng)格，而且單元?jiǎng)偠染仃囅嗤杂?jì)算量與位移法相比略大。

(4)對(duì)于薄壁開(kāi)口截面，使用新方法對(duì)提高精度的效果尤其明顯。

(5)本文采用了三節(jié)點(diǎn)三角形單元，為了能提高計(jì)算精度，更好地適應(yīng)鋼梁截面的計(jì)算，有必要對(duì)本文方法采用高次單元，如八節(jié)點(diǎn)四邊形等參元，展開(kāi)進(jìn)一步的研究。

(6)對(duì)于閉口截面，最小勢(shì)能原理的方法依然可以計(jì)算，但最小余能原理中邊界條件，即公式(5)，只對(duì)非閉口截面有效，因此閉口截面的最小余能原理計(jì)算方法需要進(jìn)一步研究。