一類具有線性和非線性耦合項的Kirchhoff型方程組的基態解①

李振輝，許麗萍

河南科技大學 數學與統計學院， 洛陽 471023

本文研究如下一類Kirchhoff型方程組：

(1)

其中Ω是RN中的光滑區域，N≤3，V(x)是位勢函數，ai，bi，λi，μi(i=1，2)是正數，k，β是耦合項系數． 為了研究方程組(1)解的存在性， 假定位勢函數V(x)連續且滿足如下條件：

方程組(1)中u和v表示位移，bi是初始張力， 而ai與彈性弦的固有性質有關[1]． 如果V≡0， 那么方程組(1)變為

(2)

如果v≡0，k=0，β=0， 那么方程組(2)可以化簡為如下Kirchhoff型方程：

(3)

方程(3)是文獻[2]首次提出的， 用來描述彈性弦的自由振蕩問題． 隨后， 文獻[3]用變分法研究了Kirchhoff型方程， 很多學者也對此產生興趣， 獲得了一些重要成果[4-7]． 對于不含非局部項的相關結果可參見文獻[8-10]．

(4)

文獻[11]用Nehari流形證明了方程組(4)基態解的存在性．k=0時的一些成果見文獻[12-16]．

1 預備知識

(5)

和范數

(6)

2 定理1的證明

若Ω=RN， 設

H=H1(RN)×H1(RN)

定義H上的內積如(5)式， 范數如(6)式． 對?(u，v)∈H， 設方程組(2)的能量泛函為

令

N={(u，v)∈H {(0， 0)}： J(u，v)=0}

易知， 方程組(2)的非平凡解(u，v)∈N． 下面先證明方程組(2)存在一個半平凡解， 從而可得N≠?．

如果Ω=RN，a1=1，b1=0， 則方程(3)可以簡化為

-Δu+λ1u=μ1u3u>0，u∈H1(RN)

(7)

注1若|Ω|<∞， 由引理1知方程組(2)存在一個半平凡解； 若Ω=RN， 由引理2知方程組(2)存在一個半平凡解． 無論哪種情形， 方程組(2)都存在一個半平凡解， 于是得到N≠?．

引理3N是H的一個光滑子流形．

證對?(u，v)∈N，

(8)

易見， 引理3成立．

證若(u，v)∈N， 那么

J(u，v)=0

(9)

即

因此， 對?(u，v)∈N，

由Sobolev嵌入定理得

既然‖(u，v)‖≠0， 那么存在C1>0， 使得對?(u，v)∈N， ‖(u，v)‖≥C1>0．

引理5若(u，v)是I|N的臨界點， 那么(u，v)也是I的臨界點．

證若(u，v)是I|N的臨界點， 那么I′(u，v)=ηJ′(u，v)， 其中η∈R是一個Lagrange乘子． 于是

〈I′(u，v)， (u，v)〉=η〈J′(u，v)， (u，v)〉

由(8)式和(9)式得η=0． 引理5成立．

引理6若{(un，vn)}?H是I|N的PS序列， 那么{(un，vn)}是I的PS序列． 而且， 若Ω有界， 那么存在(u，v)∈N， 使得{(un，vn)}在H上有一個收斂于(u，v) 的子列．

I|′N(un，vn)=I′(un，vn)-ηnJ′(un，vn)

那么

o(1)=〈I′(un，vn)， (un，vn)〉-ηn〈J′(un，vn)， (un，vn)〉=-ηn〈J′(un，vn)， (un，vn)〉

I′(un，vn)=ηnJ′(un，vn)+o(1)=o(1)

設

(10)

(11)

(12)

若Ω有界， 由Sobolev緊嵌入定理，c1和c2是存在的． 或者若Ω=RN， 由集中緊性原理可得c1和c2是存在的． 由引理4得

(13)

定理1的證明由c>0和文獻[11]的引理2.2， 存在某個序列{(un，vn)}?N， 使得{(un，vn)}是I|N的(PS)c序列． 因此， 由引理6得{(un，vn)}是I的(PS)c序列． 根據對Ω的假定， 擬分兩種情形討論方程組(2)解的存在性．

(14)

由引理4有

故有I(u，v)=c． 綜上所述， 在兩種情形下都有(u，v)∈N，I(u，v)=c，I′(u，v)=0． 因此，u≠0 和v≠0． 接下來， 討論k取不同范圍值時，u和v的符號．

首先， 設k<0． 則

由J(u，v)=0得

對t≥0， 定義一個C1函數φ(t)=I(t|u|，t|v|)， 即

(15)

因此， ‖(|u|， |v|)‖2=‖(u，v)‖2， (|u|， |v|)∈N，I(|u|， |v|)=c． 不失一般性， 可假設u≥0，v≥0． 由引理5知， (u，v)是I的一個臨界點． 因此(u，v)是方程組(2)的一個基態解．

由橢圓正則性定理知， ‖u‖L∞<+∞， ‖v‖L∞<+∞． 由于(u，v)是方程組(2)的解， 即

那么， 由最大值原理知

u>0v>0

(16)

再者， 設k>0． 由上述類似的討論， 易知‖(|u|，-|v|)‖2=‖(u，v)‖2， (|u|，-|v|)∈N，I(|u|，-|v|)=c． 因此， 不妨設u≥0 和v≤0． 由引理6知， (u，v)是I的一個臨界點． 因此， (u，v)是方程組(2)的一個基態解． 與(16)式的證明類似， 由橢圓正則原理和最大值原理得u>0，v<0．

證由注1知， 存在u1>0和v1>0， 使得(u1， 0)，(0，v1)∈N，c1=I(u1， 0)，c2=I(0，v1)． 因此

設g(t，s)=J(tu1，tsv1)． 顯然

g(1， 0)=J(u， 0)= 0

t′(s)=α(1+o(1))t(s)=1+αs(1+o(1))

t2(s)=1+2αs(1+o(1))

因此， 對?s∈(-s0，s0)， 有

3 定理2的證明

方程組(1)的極限情形是

(17)

設方程組(1)的能量泛函為

類似地， 定義方程組(17)的能量泛函為

設

定義Nehari流形

NV={(u，v)∈H1(RN)×H1(RN){(0， 0)}： JV(u，v)=0}≠?

引理7假定V(x)滿足條件(V1)-(V2)， 那么cV

Γ={γ∈C([0， 1]，X)：γ(0)=(0， 0)，IV(γ(1))<0}

故有cV

接下來， 我們將用集中緊性原理和引理7證明定理2．