一類半線性分數階反應擴散方程解的整體存在性①

彭紅玲，樊明書

西南交通大學 數學學院， 成都 610031

隨著科學的發展， 經典Laplacian方程Δu=0不適合生活中很多復雜的物理問題， 特別是大范圍不規則的擴散現象， 由此人們提出了分數階Laplacian算子． 從概率論的角度看， 分數階Laplacian算子是穩定Lévy過程中的無窮小生成元， 是Lévy飛行過程中的尺度極限[1-2]， 它在金融數學、 概率論、 生物學等領域中有著廣泛的應用[3-5]．

常見分數階Laplacian算子的定義有3種， 根據Riesz位勢給出的定義[6]、 根據傅里葉變換給出的定義[7]以及利用函數延拓給出的等價定義[8]． 本文用文獻[8]中的定義．

文獻[9]研究了半線性拋物方程ut=Δu+V(x)up在Dirchlet條件下的爆破， 其中Ω是RN中的光滑有界凸區域，M≥0，V是Lipschitz連續的，φ>0且φ滿足相容性條件．

(1)

D={(x，y)|(x，y)∈Ω×(0， ∞)}

D的橫向邊界為?LD=?Ω×[0， ∞)， 將方程(1)化為

(2)

(3)

其中

這里

同理方程(1)的能量泛函定義為

(4)

受文獻[13-16]的啟發， 定義

對E(U(t))關于t求導， 得

定義勢井的深度為

本文的主要結果如下：

定理2若U=U(x，y，t；U0)是方程(2)的解， 且U0∈Σ1， 則存在α>0， 使得

1 解的整體存在性

為證明定理1， 先引入引理1、 引理2， 其證明過程與文獻[12]中的相關結論的證明類似， 此處省去證明．

(5)

定理1的證明．

(6)

這也與(6)式矛盾． 所以?t∈[0，T]，un(t)∈Σ1． 由Σ1的定義， 有

(7)

即有

由(7)式， 可得

令

由引理1和I(u0)+ε0

令γ=1-δ∈(0， 1)， 則有

(8)

所以方程(1)存在整體解．

2 漸近行為

在本節中， 為證明定理2和定理3， 先引入引理3， 其證明過程參見文獻[12]．

定理2的證明．

由引理3， 對?t≥0， 有H(U(t))≥0． 則

(9)

由分數階Sobolev跡嵌入不等式， 有

(10)

(11)

在(11)式中， 對任意的T>t0， 由Hardy不等式[18]有

(12)

所以， 當t∈[t0，T)時， 結合(9)式和(12)式有

(13)

由(10)式知， 當t∈[t0， ∞)時， 有

(14)

結合(9)式和(14)式可知， 當t∈[t0，T)時， 有

(15)

由(13)式和(15)式可知

(16)

及

定理3的證明對任意序列tn→∞， 令Un=U(x，y，tn；U0)． 由于自反巴拿赫空間的有界序列都是弱緊的， 所以存在一個序列{Un}和函數U， 使得

令測試函數

(17)

對(17)式等號左邊第二項用分部積分法， 結合ρ(0)=ρ(1)=0， 令δ=t-tn， 得

(18)

‖U(tn+δ)-ωδ‖Lp+1(Ω×{0})→0 ‖U(tn)-ω‖Lp+1(Ω×{0})→0

下證在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω． 結合能量等式和H?lder不等式， 當tn→∞時， 有

因為0≤δ≤1， 當tn→∞時， 有‖U(tn+δ)-U(tn)‖L2(Ω×{0})→0， 即在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω． 重新整理(18)式， 可得

(19)

由勒貝格控制收斂定理可知， 當tn→∞時， (19)式后3項趨近于0． 對第二項， 有

故U(tn)在弱意義上趨近于一個穩定解．