在歸類中梳理提煉

華板玉

[摘 要]解題是鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識的重要途徑，教師要善于將做過的題進(jìn)行歸類，在歸類中梳理解題中所用到的知識點(diǎn)，提煉其中蘊(yùn)含的思想方法，體會“變中不變”的辯證思想，這樣才能提升解題質(zhì)量。在歸類中梳理提煉，尤在中考階段性復(fù)習(xí)中，效果會更為明顯。

[關(guān)鍵詞]解題;歸類;梳理提煉;面積模型圖

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0026-03

數(shù)學(xué)知識是明確的、可列舉的，但對應(yīng)的題又是大量的，是做不完的，這一點(diǎn)師生都深有感觸。有的學(xué)生雖然做了很多題目，可是題目稍微一變，就不知從何下手了，時常伴有迷茫、困惑、受挫的情緒，久而久之也就失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。那么如何應(yīng)對這種現(xiàn)象，處理好量和質(zhì)的辯證關(guān)系呢？筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，深感解題是鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識的重要途徑，做一定數(shù)量的題目是必要的，除此之外，還要做一個解題有心人，善于將做過的題進(jìn)行歸類，在歸類中梳理解題中所用到的知識點(diǎn)，提煉其中蘊(yùn)含的思想方法。在歸類中梳理提煉，特別在中考階段性復(fù)習(xí)中，效果更為明顯。現(xiàn)以人教版教材中的一個面積模型圖的應(yīng)用為例，就如何在歸類中梳理知識點(diǎn)、提煉思想方法進(jìn)行探討。

一、面積模型圖的呈現(xiàn)

如圖1，直線[l1]∥[l2]，[△ABC]與[△DBC]的面積相等嗎？為什么？你還能畫出一些與[△ABC]面積相等的三角形嗎？

分析：此題是在學(xué)生學(xué)過平行四邊形的性質(zhì)和兩條平行線之間的距離定義等知識之后給出的，它是三角形面積性質(zhì)的延續(xù)。如圖2，根據(jù)“兩條平行線之間距離處處相等”的性質(zhì)，可知[△ABC]的[BC]邊上的高[AS]與[△DBC]的[BC]邊上的高[DT]相等。根據(jù)“同底等高的三角形面積相等的性質(zhì)，可得[S△ABC]=[S△DBC]。以此類推，可知當(dāng)點(diǎn)[E]在直線[l1]上時，可得[S△EBC]=[S△DBC]=[S△ABC]。同理，可得[△ADB]與[△ADC]的面積相等（角度的切換）。

推論：如圖3，直線[l1∥l2]，點(diǎn)[A]，[D]在直線[l1]上，點(diǎn)[B]，[C]在直線[l2]上，[AC]，[BD]相交于點(diǎn)[O]，則[△ABO]與[△CDO]的面積相等。

證明：∵直線[l1∥l2]，點(diǎn)[A]，[D]在直線[l1]上，點(diǎn)[B]，[C]在直線[l2]上，∴[S△ABC]=[S△DBC]，∴[S△ABC]-[S△BOC]=[S△DBC]-[S△BOC]，∴[S△ABO]=[S△CDO]。

點(diǎn)評：[△ABO]與[△CDO]面積相等，是兩條平行線間三角形面積的相等性與等式性質(zhì)的“合力”。

從題設(shè)和證明中，我們可得到這樣的一個結(jié)論：兩條平行線間同底三角形的面積相等。它是兩條平行線性質(zhì)的應(yīng)用，是同底等高三角形面積相等性質(zhì)的“衍生”。

二、面積模型圖的應(yīng)用

兩條平行線間同底三角形的面積相等的圖形，可作為一個面積的模型圖，這一模型圖是隱藏在圖形中的，需要師生觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)這一模型圖，它為解決面積問題提供了一個巧妙的思路。在中考面積問題中，涉及這一模型圖的題目比較多，現(xiàn)列舉幾例。

（一）以網(wǎng)格為背景

[例1]如圖4所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，[A]，[B]，[C]，[D]是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則[△ABC]的面積與△[ABD]的面積的大小關(guān)系為：[S△ABC] ? ? [S△ABD]（填“>”“=”或“<”）。

分析：網(wǎng)格邊長為1，網(wǎng)格中三角形的邊長都是可求的，同時網(wǎng)格線間還有垂直、平行的位置關(guān)系，充分利用網(wǎng)格的度量性和位置關(guān)系可求兩個三角形的面積。

解法1：根據(jù)網(wǎng)格邊長的度量性、垂直性可求得[S△ABC];[S△ABD]雖不能直接求得，但可用兩邊分別為2、5的矩形的面積減去3個直角三角形的面積求得。綜上，可求得[△ABC]和[△ABD]兩個三角形的面積均為4，故填“=”。

解法2：網(wǎng)格中的網(wǎng)格線不僅平行或垂直，而且所構(gòu)成的矩形的對角線平行或垂直，所構(gòu)成的正方形的對角線平行或垂直， 基于此，連接[CD]，會發(fā)現(xiàn)[CD]是邊長為3的正方形的一條對角線，而[AB]又是邊長為2的正方形的一條對角線，于是[AB∥CD]，而[△ABC]與[△ABD]恰是這兩條平行線之間底同為[AB]的三角形，所以這兩個三角形的面積相等。

點(diǎn)評：此題以網(wǎng)格為載體，比較兩個三角形面積的大小。對比兩種方法，前一種重計算，而后一種重觀察、重發(fā)現(xiàn)，省去了計算環(huán)節(jié)，顯然，后者更簡捷。而網(wǎng)格中兩條平行線之間的等積三角形的獲取不是顯現(xiàn)的，而是隱藏其間的，要連接[CD]這條輔助線才能顯現(xiàn)，這需要學(xué)生留心觀察、聯(lián)想思考。細(xì)品解法2，從中可梳理出的知識點(diǎn)有：兩條平行線間同底三角形面積相等，可提煉的思想方法有轉(zhuǎn)化思想，而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的途徑就是留心觀察。

類比應(yīng)用：如圖5，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)[A]，[B]，[C]均在格點(diǎn)上，點(diǎn)[D]為小正方形一邊的中點(diǎn)。

（1）[AD]的長等于? ? ? ? ? ?;

（2）請在網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出一個點(diǎn)[P]，使其滿足[S△PAD=S四邊形ABCD]，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：求[AD]長，需將[AD]“圈”在一個直角三角形中，用勾股定理求解;[AC]是四邊形[ABCD]的一條對角線，且這條對角線是直角邊都為4的等腰直角三角形的斜邊，根據(jù)這一條件信息，可考慮作[AC]的平行線，構(gòu)造平行線間的同底三角形。

解：如圖6，連接[AC]。取格點(diǎn)[G]，連接[BG]，交[DC]的延長線于點(diǎn)[P]，則點(diǎn)[P]為所求點(diǎn)。

點(diǎn)評：求四邊形的面積，常需借助對角線將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積之和。觀察網(wǎng)格，可知對角線[AC]是直角邊都為4的等腰直角三角形的斜邊，根據(jù)這一特性，過點(diǎn)[B]作[AC]的平行線，將[△ABC]的面積轉(zhuǎn)化為[△PAC]的面積，而這一過程體現(xiàn)了平行線間同底三角形面積相等的性質(zhì)，其間彰顯轉(zhuǎn)化思想的魅力。

例1及“類比應(yīng)用”的求解，都是依靠觀察，并尋找網(wǎng)格中的平行關(guān)系，從而提煉出等面積三角形。

（二）以圓為背景

[例2]如圖7，點(diǎn)[O]是半圓的圓心，[BE]是半圓的直徑，點(diǎn)[A]，[D]在半圓上，且[AD∥BO]，[∠ABO=60°]，[AB=8]，過點(diǎn)[D]作[DC⊥BE]于點(diǎn)[C]，則陰影部分的面積是 ? ? ? 。

分析：本題的各部分陰影圖形是分散的，如何將所求圖形和待求圖形的面積有機(jī)組合在一起，如何將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為可求的規(guī)則圖形的面積，是兩個思考點(diǎn)。

思考：根據(jù)[AD∥BO]這一條件，[△ABD]的面積可用哪一個三角形的面積等量替換呢？它體現(xiàn)了什么思想？

解：如圖8，連接[OA ]。[∵∠ ABO=60°]，[OA=OB]，[∴△AOB]是等邊三角形，[∴OA=AB=8]，[∠AOB=60°]，[∴∠AOE=120°]。∵[AD∥OB]，∴[∠OAD=∠AOB=60°]。∵[OA=OD]，∴[△AOD]是等邊三角形，∴[∠AOD=60°]， [∠COD=60°]。∵[DC⊥BE]，∴[∠OCD=90°]，∴[∠CDO=30°]，∴[OC=12OD=4]，[CD=OD2-OC2=] [82-42=43]。∵[AD∥OB]，∴[S△ABD=S△AOD]，∴[S△ABD+S弓形AD=S△AOD+S弓形AD]，∴[S△ABD+S弓形AD=S扇形AOD]。[∴S陰影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△COD=S扇形AOE-S△COD=] [120π×82360-12×4×43=64π3-83]。

點(diǎn)評：此例以圓為背景，以平行為線索，根據(jù)“兩條平行線間的同底三角形面積相等”的性質(zhì)，用[△AOD]的面積代替[△ABD]的面積，從而將不規(guī)則的[△ABD]與弓形[AD]的組合圖形面積轉(zhuǎn)換為可求的扇形[AOD]的面積，再進(jìn)一步將陰影部分和[△COD]聯(lián)系在一起，通過面積的和差化得到所求。

回顧解題過程，用[△AOD]的面積替換[△ABD]的面積是開啟解題思路的一把鑰匙，也是平行線間同底三角形面積性質(zhì)的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了將不規(guī)則的圖形面積化為規(guī)則可求的圖形的面積的思想。此題涉及的知識點(diǎn)有：平行線間的等積三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、扇形面積公式，所涉及的思想方法有：等積轉(zhuǎn)換思想、整體思想、和差法等，實(shí)現(xiàn)這些思想方法的途徑為：觀察、聯(lián)想和整體性思維。

類比應(yīng)用：如圖9，半圓的直徑[AB=10]，[P]為[AB]上一點(diǎn)，點(diǎn)[C]，[D]為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于? ? ? ? ? ? ? ? ? &nbsp; ? ? 。

解：如圖10，連接[C][D]，[OC]，[OD]，

∵點(diǎn)[C]，[D]為半圓的三等分點(diǎn)，∴[∠AOC=∠COD=∠BOD=60°]，∴[△COD]為等邊三角形，∴[∠OCD=60°]，∴[∠OCD=∠AOC]，∴[CD∥AB]，∴[S△PCD=S△COD]， ∴[S陰影=S扇形OCD=25π6]。

點(diǎn)評：證[CD∥AB]，進(jìn)而得到[S△PCD=S△COD]是問題解答的關(guān)鍵所在，這又歸結(jié)到兩平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)。

（三）以正方形為背景

[例3]如圖11，正方形[ABCD]的邊長為2，點(diǎn)[E]在[AB]邊上。四邊形[EFGB]也為正方形，設(shè)[△AFC]的面積為[S]，則[S=]? ? ? ? ? 。

分析：所求三角形的面積只能計算出[AC]長，無法用三角形面積公式直接求得，能否用與其面積相等的三角形來直接替換呢？若不能直接替換，圖中的哪條線與[AC]平行呢？

解：如圖12，連接[BF]。∵四邊形[ABCD]為正方形，∴[∠ACB=45°]。∵四邊形[BGFE]為正方形，∴[∠FBG=45°]，∴[∠FBG=∠ACB]，∴[BF∥AC]。根據(jù)“兩平行線間同底三角形面積相等”的性質(zhì)，得[S△AFC=S△ABC=2]。

點(diǎn)評：此例以正方形為背景，連接正方形[BGFE]的對角線[BF]，會發(fā)現(xiàn)[BF∥AC]，根據(jù)“兩平行線間同底三角形面積相等”的性質(zhì)，將[△AFC]的面積用[△ABC]的面積替換，從而將看似不可求的[△AFC]的面積求得。此題中的知識點(diǎn)有：正方形對角線的性質(zhì)，兩平行線間同底三角形面積相等的性質(zhì)，所蘊(yùn)含的思想有轉(zhuǎn)化思想。

類比應(yīng)用：正方形[ABCD]，正方形[BEFG]和正方形[RKPF]的位置如圖13所示，點(diǎn)[G]在線段[DK]上，正方形[BEFG]的邊長為4，求[△DEK]的面積。

分析：三角形的面積不能直接求得，需要轉(zhuǎn)化。如何轉(zhuǎn)化呢？圖13與圖11都是“連體”正方形（有公共頂點(diǎn)，有公共邊），但圖13中多出了一個小正方形。能否類比例3的思路呢？

解：如圖14，連接[BD]，[EG]，[FK]，易證[BD∥EG∥] [FK]，

由[BD∥EG]，得[S△DEG=S△BEG]，

由[EG∥FK]，得[S△KEG=S△FEG]，

∴[S△DEG+S△KEG=S△BEG+S△FEG]，即[S△DEK=S正方形BEFG=42=16]。

點(diǎn)評：結(jié)果很“驚奇”（所求三角形的面積正好是圖13中間正方形的面積），此例的解答類比了例3的解題思路，注重正方形對角線的平行位置關(guān)系的提取和應(yīng)用，以及兩條平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)的應(yīng)用。注重與基礎(chǔ)題（例3）的類比，有助于開啟學(xué)生的解題思路。

三道例題及其變式應(yīng)用題都分別從不同“背景”展示了兩條平行線之間同底三角形面積相等的性質(zhì)，也就是說，拋開背景的因素，可歸為一類題。通過對三道題中知識點(diǎn)的梳理，得到了它們中所含有的相同知識點(diǎn)：兩條平行線之間同底三角形面積相等。解完題后若草草了事，則這個知識點(diǎn)的價值就得不到充分體現(xiàn)，更談不上解題中蘊(yùn)含的思想方法（側(cè)重轉(zhuǎn)化思想）的挖掘，以及思想方法實(shí)現(xiàn)的途徑（觀察與聯(lián)想）的體驗(yàn)。

題是解不完的，解題之后不僅要梳理出相關(guān)知識點(diǎn)，還要去體驗(yàn)題目背后蘊(yùn)含的思想方法，并進(jìn)行挖掘、提煉與遷移，這樣才能提升解題質(zhì)量，取得事半功倍的效果。

（責(zé)任編輯 黃春香）