夯實力學基礎 提升能量境界

陶漢斌

[摘 要]力與能量是貫穿整個高中物理的兩條主線，力是基礎，能量是境界，力與能量也是物理學中的兩大物理觀念。在高考物理選考復習的最后階段，要非常專注物理的深度學習，理解物理的本源——力與能量。功是能量變化的量度，做功是一個過程，通過做功可以實現能量的轉化，做功的過程體現了一個因果關系，體現了狀態與過程的關系，即[W=ΔEk]。每個章節都有個性化的功與能量轉化的一一對應關系，復習中應將這些功能關系形成一個有序的整體，以便知識的存與取，提高復習的效率。

[關鍵詞]兩條主線;基礎;境界;力與能量

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0032-06

在高中階段，從必修到選修的所有物理課程，都涉及力、運動和能量問題。從重力、彈力、摩擦力，到電場中的電場力和磁場中的安培力與洛倫茲力，再到原子物理中的核力，都是從受力分析開始的，力是基礎。而功與能量的學習，也是循序漸進、螺旋上升的。如必修物理中的動能、機械能和摩擦生熱的內能，電場中的電場力做功與電勢能變化的關系，恒定電流中電流做功的本質是使電能轉化為其他形式的能，磁場、電磁感應現象中的能量問題——安培力做功實現機械能與電能的相互轉化，光學中的能量問題——愛因斯坦光電效應方程，原子物理中的能量問題——原子能級躍遷、核能。

高考選考物理一般有4個計算題，約40分，分值非常可觀，這些試題均考查力與能量這兩大觀念。在高考物理選考復習的最后階段，要緊緊圍繞力與能量這兩個基本點，構建力與能量的知識網絡，專注物理的深度學習。從力與能量的角度理解物理的本源，把握物理知識的內在聯系，將所學知識提升到更高的層次，從而提高分析與解決問題的能力，為解決力學、熱學、電磁學等領域的問題提供快捷途徑。

一、兩條主線——力與能量

在解決高中物理問題時，學生必須先明確研究對象，并對其進行正確的受力分析，這是基礎的基礎。離開了受力分析，物理學習（或研究）將寸步難行。這是必修1的核心內容。有了力的基礎，就可通過力的空間積累，通過做功實現能量的轉化。這是必修2的核心內容。在此基礎上，從重力場到電場，最后到磁場，讓學生建立起場的物質概念，抽象分析各種場力做功的特點與相應能量變化的一一對應關系。

在學習高中物理的過程中，隨處可以看到包含能量轉化規律的物理現象，比如：

①力學中的功能問題——摩擦生熱、機械能守恒定律、動能定理。

②熱學中的能量問題——熱力學第一定律。

③電場中的能量問題——電場力做功與電勢能變化的關系。

④恒定電流中的能量問題——電流做功的本質是使電能轉化為其他形式的能。

⑤磁場、電磁感應現象中的能量問題——安培力做功實現機械能與電能的相互轉化。

⑥理想變壓器中的能量問題——變壓器的輸入功率等于輸出功率。

⑦光學中的能量問題——愛因斯坦光電效應方程。

⑧原子物理中的能量問題——原子能級躍遷、核能。

整個高中物理中，有兩條主線。一條是力與運動的關系，另一條就是功與能的關系。各種形式的能可以相互轉化，同一種形式的能可以相互轉移。功是能量轉化的量度，從能量角度分析思考問題是研究物理問題的一個重要而普遍的思路。

在高中物理學習中，以能量觀點為線索構建物理知識結構，能更深入地把握物理知識的內在聯系，將所學知識提升到更高的層次，從而提高分析與解決問題的能力，為解決力學、熱學、電磁學等領域的問題提供快捷途徑。學習要會由此及彼，要會縱橫串聯知識，要善于將關聯的重要知識編織形成網絡，便于知識在大腦中存取。如圖1所示是“功”的聯想知識網絡圖。聯想是記憶的翅膀，聯想意識強，記憶效率就高。

二、力與能量主線例說

（一）傳送帶中的力與能量

生活中的傳送帶問題是最經典的力學問題，涉及的摩擦生熱問題一直是學生最為頭痛的，還有為了維持傳送帶勻速運動電動機需多提供能量的問題，許多學生每做必錯，弄得一些學生一看到傳送帶就害怕。教師有必要針對學生的學習難點，設置恰當的問題組，讓學生通過受力分析和能量分析，找出共性，總結方法，從而克服恐懼心理。

[例1]水平傳送帶以速度[v=2 m/s]逆時針運轉，兩傳動輪MN之間的距離為[L=12 m]，若在[M]輪的正上方，將一質量為[m=3 kg]的物體從傳送帶的左端以[v0=4 m/s]的速度向右沖上傳送帶，已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數[μ=0.5]，[g=10 m/s2]。

（1）試分析物體的運動情況。

（2）傳送帶對物體的摩擦力做了多少功？

（3）摩擦力對傳送帶做了多少功？

（4）摩擦力對物體和傳送帶所做功的總和是多少？

（5）在這個過程中，摩擦生熱是多少？

（6）為傳送物體，電動機需額外做多少功？

解析：這道題設置六個問題，循序漸進地將力與能量的觀點“植入”學生的腦中。在第一個問題中，通過受力分析可知，物體先向右以初速度[v0=4 m/s]勻減速到0，然后向左勻加速返回，到速度[v=2 m/s]，與傳送帶相對靜止時，與傳送帶一起向左勻速運動。而在第二個問題中，研究對象是物體，應對物體應用動能定理。第三個問題中的研究對象是傳送帶，摩擦力對傳送帶做負功。而后面三個問題的研究對象是系統，摩擦力對物體和傳送帶所做功的總和是負值，其絕對值就是摩擦生熱產生的內能。下面具體解析最后一個問題。

1.能量的觀點——整體運用能的轉化與守恒定律

利用能的轉化與守恒定律從宏觀上把握物體在運動過程中所消耗的能量，突出運用能量觀點從整體上把握問題的思維方式。在物體運動的過程中有哪些能量發生了變化？一是物體增加的動能減小了;二是物體在與傳送帶相對運動的過程中產生了內能——“摩擦生熱”。具體解答如下：

整個過程中對物體應用動能定理，其動能減小了[ΔEk]，有：

[ΔEk=12mv2-12mv02=-18 J]

在這個過程中，物體向右運動的時間為：

[t1=v0μg=0.8 s]

這個過程中傳送帶與物體摩擦產生的熱量為：

[Q1=Ff·vt1+12v0t1=48 J]

物體向左運動到[v=2 m/s]的時間為：

[t2=vμg=0.4 s]

這個過程中傳送帶與物體摩擦產生的熱量為：

[Q2=Ff·vt2-12vt2=6 J]

所有這些能量都是電動機提供的，為傳送物體電動機需額外做的功為：

[W=ΔEk+Q1+Q2=36 J]

2.力的觀點——以傳送帶為研究對象，從力的角度進行剖析

當物體放到傳送帶上后，物體與傳送帶之間增加了彈力與摩擦力。以傳送帶為研究對象，它額外增加了一個與速度[v]方向相反的摩擦力[Ff]，如圖3所示。而傳送帶還是要保持勻速運動，電動機必須克服摩擦力[Ff]做功，這樣就把電動機的能量成功輸送出來了。具體解答如下：

以傳送帶為研究對象，傳送帶一直受到向右的摩擦力而做勻速運動，電動機克服摩擦力所做的功為：

[W=Ff·s=Ff·v（t1+t2）=36 J]

電動機需額外做36 J的功。

（二）電場中的力與能量

帶電粒子在電場中運動的基調是“電場搭臺，力學唱戲”。電場中力與運動、力與能量的關系是高考的熱點，常考常新，精彩紛呈。復習時應從物理的本源出發，領悟物理學中的兩大觀念——力與能量。從力與能量兩個視角觀察物體運動的表象，提煉解題方法，活化物理知識，探究物理的本質。當然，電場的知識確實非常抽象，教學中曾借助檢驗電荷，從力與能的角度研究電場，從力的角度引入了電場強度[E]的概念，用來描述電場;利用電勢[φ]與電勢差[U]的關系，從做功與能量的角度描述電場。

[例2]在一柱形區域內有勻強電場，柱的橫截面積是以[O]為圓心，半徑為[R]的圓，[AB]為圓的直徑，如圖4所示。質量為[m]，電荷量為[q（q>0）]的帶電粒子在紙面內自[A]點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直。已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的[C]點以速率[v0]穿出電場，[AC]與[AB]的夾角[θ=60°]。運動中粒子僅受電場力作用。

（1）求電場強度的大小;

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應為多大？

（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為[mv0]，該粒子進入電場時的速度應為多大？

解析：（1）粒子的初速度為零，由[C]點穿出電場，故電場方向與[AC]平行，由[A]指向[C]。由幾何關系和電場強度的定義知：[AC=R]， [F=qE]，

由動能定理有：[F·AC=12mv20]，解得：[E=mv202qR] 。

（2）如圖5所示，由幾何關系知[AC⊥BC]，故電場中的等勢線與[BC]平行。作與[BC]平行的直線與圓相切于[D]點，與[AC]的延長線交于[P]點，則自[D]點從圓周上穿出的粒子的動能增量最大。由幾何關系知：

[∠PAD=30°]，[AP=32R]，[DP=32R]

設粒子以速度[v1]進入電場時動能增量最大，在電場中運動的時間為[t1]。粒子在[AC]方向做加速度為[a]的勻加速運動，運動的距離等于[AP];在垂直于[AC]的方向上做勻速運動，運動的距離等于[DP]。由牛頓第二定律和運動學公式有：

[F=ma] [AP=12at21] [DP=v1t1]

解得：[v1=24v0]

（3）設粒子以速度[v]進入電場時，在電場中運動的時間為[t]。以[A]為原點，粒子進入電場的方向為[x]軸正方向，電場方向為[y]軸正方向建立直角坐標系。由運動學公式有：

[y=12at2] [x=vt]

粒子離開電場的位置在圓周上，有：

[x-32R2+y-12R2=R2]

粒子在電場中運動時，其[x]方向的動量不變，[y]方向的初始動量為零。設穿過電場前后動量變化量的大小為[mv0]的粒子，離開電場時其[y]方向的速度分量為[v2]，由題給條件及運動學公式有：

[mv2=mv0=mat] 解得[v=0]和[v=32v0]

此題中的第三問還有另外一種解法：由題意知，初速為0時，動量增量的大小為[mv0]，此即問題的一個解。自[A]點以不同的速率垂直于電場方向射入電場的粒子，沿[y]方向位移相等時，所用時間都相同。因此，不同粒子運動到線段[CB]上時，動量變化都相同，自[B]點射出電場的粒子，其動量變化也為[mv0]，由幾何關系及運動學規律可得，此時入射速率[v=32v0]。

點評：此題考查了帶電粒子在電場中的運動問題，可運用運動的獨立性和力的獨立作用原理進行分析，第三問的解答運用了等效的思維方法。

（三）磁場中的力與能量

1.洛倫茲力實現能量的中轉

從微觀上看洛倫茲力的作用并不提供能量，而只是傳遞能量。可以說，洛倫茲力在能量傳遞中將起到一個“中轉站”的作用。

[例3]在豎直平面內放置一長為[L]、內壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的[a]端放置一個直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為[-q]、質量為[m]。玻璃管右邊的空間有勻強磁場與勻強電場。勻強磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度為[B];勻強電場方向豎直向下，電場強度大小為[E=mgq]。如圖6所示，場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠。玻璃管帶著小球以水平速度[v0]垂直于左邊界進入場中向右運動，由于水平外力[F]的作用，玻璃管進入場中速度保持不變，一段時間后小球從玻璃管[b]端滑出，運動過程中小球電荷量保持不變，不計空氣阻力。

（1）求小球從玻璃管[b]端滑出時的速度大小;

（2）從玻璃管進入磁場至小球從[b]端滑出的過程中，外力[F]所做的功。

解析：（1）由[E=mgq] 可得[Eq=mg]，即重力與電場力平衡，根據運動的獨立性原理，小球隨管以水平速度[v0]向右運動產生向上的洛倫茲力[Fy=Bqv0]，小球豎直向上運動的加速度為：[a=Fym=Bqv0m] 。

設小球運動至[b]端時[y]方向速度分量為[vy]，則：[v2y=2aL]

所以小球運動至[b]端時速度大小為：

[v=2Bv0qLm+v20]

（2）小球在豎直方向的速度[vy]產生水平向左的洛倫茲力[Fx=Bqvy]，

因此小球向左擠壓玻璃管，而玻璃管水平方向要保持勻速直線運動，由平衡條件可知，玻璃管必須加一個水平外力[F=Fx=Bqvy]。

而[vy=at=Bqv0mt] [L=12at2]

解得：[t=2mLBqv0]

解得外力隨時間變化關系為：[F=B2q2v0mt]

水平方向位移為[x=v0t]，故有：[F=B2q2xm]

可見外力[F]是變力，而且大小隨玻璃管位移的增大而均勻變化，則[F]所做的功為：

[W=Fx=120+B2q2v0m2mLBqv0·v02mLBqv0=BqLv0]

點評：本例中，向上的洛倫茲力[Fy=Bqv0]對小球做正功，向左的洛倫茲力[Fx=Bqvy]對小球做負功，總功還是零。在這個過程中正是因為小球受到了向左的洛倫茲力[Fx=Bqvy]才“迫使”有等大向右的外力[F=Fx]施加在玻璃管上，這樣外力[F]做功將外界的能量成功地輸入這個系統，從而增大了小球的動能。可見，洛倫茲力是有功勞的，洛倫茲力在能量傳遞中起到了“中轉站”的作用，如果沒有洛倫茲力的參與，就不能實現能量的轉化。

2.動生電動勢中的非靜電力做功

在電磁感應現象中，當導體在外力作用下運動時，整個回路將產生感應電流，使導體棒的機械能向電能的轉化，從宏觀上看是克服安培力做功使其他形式能向電能轉化。同樣可以從微觀的角度分析能量轉化的具體過程。如圖7所示，當金屬導體棒處在垂直紙面向里的磁場中向右運動時，金屬導體棒中產生自下而上的電流，在金屬導體棒兩端產生一個感應電場，感應電場力[F電]對運動電荷做負功，即運動電荷克服電場力做功，電能增加，外力提供的機械能轉化為電能。每個電荷所受的電場力為：

[F電=f2=Bqv0]

導體內所有[N]個電荷克服電場力的總功率為：

[P電=NF電u=NBqv0u]

而[f1]的宏觀表現就是安培力，導體棒克服安培力做功的功率為：[P安=F安v0=Nf1v0=NBquv0]

所以有：[P電=P安]

點評：從上面的解析可以看出，宏觀上外力克服安培力做功時，微觀上則是運動電荷克服電場力做功。外力克服洛倫茲力的一個分量[f1]所做的功通過另一個分量[f2]轉化為感應電流的能量，實現了機械能向電能的轉化。

3.電磁感應中的綜合問題

電磁感應問題在高考物理中備受矚目。學生解答相關問題時，需要在電路分析與受力分析方面下足功夫，才可以搭建起力與運動、功與能、沖量與動量的橋梁。要多角度思考，做到邏輯自洽、結論一致。

[例4]如圖8所示，一對光滑的平行金屬導軌固定在同一水平面內，導軌間距[L=1.0 m]，兩導軌中間通過一間距可不計的絕緣隔層分開，左端接有電阻和電容器，阻值[R1=1.0 Ω]，電容[C=0.1 F]，右端接有阻值[R2=0.25 Ω]的電阻。一質量[m=0.1 kg]，阻值不計的金屬棒[MN]放置在導軌上，整個裝置置于豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度[B=1.0 T]。棒在水平向右的外力[F]作用下，由靜止開始以[2 m/s2]的加速度向右運動。當棒運動[0.09 m]時到達絕緣層，同時撤去外力。假設導軌足夠長且電阻不計，棒在運動過程中始終與導軌垂直，且兩端與導軌保持良好接觸。求：

（1）棒在勻加速運動過程中，外力[F]隨時間[t]變化的表達式;

（2）棒在勻加速運動過程中，通過導體棒的電荷量[q];

（3）已知撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱相等。電容器儲存的電能[EC=12CU2]（[U]為電容器兩極板的電壓）。求外力做的功[WF] 。

解析：（1）棒由靜止開始勻加速運動至絕緣層，

由 [x=12at2]得[t=0.3 s]，

由[v=at]得[v=0.6 m/s]，

畫出圖9所示的等效電路。

導體棒為電源，[E=BLv]，[I=IC+IR] ①

導體棒電阻不計，電容器充電電流為：

[IC=ΔqCΔt=CBLΔvΔt=CBLa] ②

流過電阻[R1]的電流為：[IR=ER1=BLvR1] ③

聯立①②③得 [I=2t+0.2（A）（0≤t≤0.3 s）]? ④

對棒，由牛頓第二定律得：

[F-FA=ma] ⑤

又[FA=BLI] ? ?⑥

聯立④⑤⑥得[F=2t+0.4（N）（0≤t≤0.3 s）]? ? ⑦

（2） 解法一：利用平均值直接求解。

由④式知導體棒中的電流[I]是隨時間[t]線性變化的，可得平均電流為：

[I=0.2+0.82A=0.5 A] [q=It=0.15 C]

解法二：利用并聯電路規律分析求解，由電量守恒可知：[q=qC+qR] ⑧

[qC=ICt=0.06 C]

[qR=IRt=BLvR1t=BLxR1=0.09 C]

也可以將數據代入③式得：[IR=2t（A）]

由電流平均值求得：

[qR=IRt=0+0.62×0.3 C=0.09 C]

最終可解得：[q=qC+qR=0.15 C]

解法三：利用動量定理求解。

設在加速過程中，力[F]對時間[t]的平均值為[F]，導體棒中電流的平均值為[I]。

對導體棒用動量定理得：[Ft-BLIt=mv-0]? ? ⑨

由⑦式知：[F=0.7 N]

又根據[q=It]代入能量守恒方程可得：

[q=0.15 C]

（3）求外力做的功[W]，可從力與能量的角度分析求解。

解法一：利用動能定理求解。

在棒加速階段，有：[WF-Q1-EC=12mv2]? ? ? ⑩

解得：[EC=12C（BLv）2]

撤去[F]后，電容器中的電能轉化為[R1]的焦耳熱，導體棒的動能轉化為[R2]的焦耳熱。

[Q2=EC+12mv2]? ?且[Q1=Q2]

綜合可得：[WF=0.072 J]

解法二：利用能的轉化與守恒定律求解。

從能量轉化來看，導體棒克服安培力做的功等于電路中的電能。一部分通過[R1]轉化為焦耳熱，一部分通過電容器儲存起來。由①式得 [BLI=BLIC+BLIR]，將導體棒的安培力分解為兩個力，它們做的功可以代數和相加。

克服[BLIC]做功轉化成電容器中的電能[EC]：

[EC=BLICx=0.018 J]

克服[BLIR]做功在電阻[R1]中產生焦耳熱[Q1]：

[Q1=00.3IR2R1dt=00.34t2dt=0.036 J]

代入⑩式可得：[WF=0.072 J]

解法三：利用功的本源定義求解。

導體棒由靜止開始勻加速運動位移[x]所需時間為：[t=2xa=x]

功是力[F]在位移上的累積，結合⑦式得：

[WF=00.09Fdx=00.09（2x+0.4）dx=0.072 J]

從上面的求解可以看出，解法二與解法三是從能量轉化與功的定義角度求解的，從結論上看是殊途同歸的。在第（3）小題中，“若已知撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱相等。電容器儲存的電能[EC=12CU2]（[U]為電容器兩極板的電壓）”其實是多余的，只是為了降低數學能力要求而提供的信息。可見如果撤去外力前、后整個裝置中產生的焦耳熱不相等，就會讓題目不能自洽，這是命題時要注意的。

點評：習題講評時，教師要展示解題最基本的操作環節，比如畫軌跡圖、受力圖、等效電路圖等，讓思維的痕跡明顯一點，更有利于思維的種子在學生的頭腦中生根發芽。

三、運籌帷幄——復習策略

力是基礎，能量是境界，抓住基礎就抓住了高考，而追尋能量守恒是我們永恒的話題。從高一到高三的教學過程中，廣大物理教師有責任使每一個學生掌握受力分析這把“金鑰匙”，學會運用能量觀去觀察分析自然現象和社會現象，真正提高學生的科學素養。在常規訓練中，要把能量的常規題做好，掌握受力分析和過程分析的基本方法，抓住物理情景中出現的狀態、過程與系統，夯實基礎，以不變應萬變。同時注重以下兩點：

（一）深思勤練——運用能量觀點，提煉“過程模型”

有了能量觀點，就為解決力學問題開辟了新的途徑，同時也要求思維達到新的高度。對一個力學問題，可以用動力學觀點，也可以用能量觀點來分析求解，而能夠自覺熟練地運用能量觀點來分析，并提煉出相應的物理過程模型，則標志著思考問題達到了一種新的高度。其實，本板塊問題中的過程用動力學觀點分析應當屬于“力的作用產生加速度，從而改變物體速度”這樣的過程模型，用能量觀點則可提煉成“力做功，引起能量轉化”這樣一個更抽象的過程模型。不少學生雖然能運用能量觀點，但還談不上自覺和熟練，為此需要強化練習以使他們真正掌握。

（二）注重方法——加強思維方法的訓練

習題講評時，教師要展示解題最基本的操作環節，比如畫軌跡圖、受力圖、等效電路圖等，讓思維的痕跡明顯一點，更有利于思維的種子在學生的頭腦中生根發芽。因為能量問題的考查往往與其他物理概念規律結合起來，故以綜合問題出現的概率很大，那么解決綜合問題的關鍵是要正確分析物理過程，選擇合適的物理方法和規律解題。綜合題除考查高考要求的五種能力（理解能力、推理能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力和實驗能力）之外，往往還會考查空間想象能力，物理情境的抽象與建模能力，逆向思維與對稱思維以及語言文字表達和數學表達能力等，力求思維的創新性和嚴密性。因此，必須加強思維能力的訓練。可讓學生通過做適量的習題，多思考，多研究，多整理，在做題的過程中掌握研究物理問題的基本方法。

（責任編輯 易志毅）