帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的“四種模型”

楊學(xué)云

[摘 要]文章以帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)[1]的“四種模型”為例，分析探討帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)問題的解答方法——軌跡圓對稱法、軌跡圓放縮法、軌跡圓旋轉(zhuǎn)法、軌跡圓平移法，從而揭示帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]有界勻強(qiáng)磁場;軌跡圓對稱法;軌跡圓放縮法;軌跡圓旋轉(zhuǎn)法;軌跡圓平移法

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0037-04

新一輪高考改革突出對學(xué)科必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)的考查。正確分析帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像的能力、抽象思維能力、形象思維能力、演繹推理能力等關(guān)鍵能力[2]。本文通過“四種模型”，分析帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，具體是抓住題目中的已知條件，如恰好、最大、最高、至少等詞語 [3]，挖掘試題的隱含條件，分析粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的可能情況;突出有界磁場與運(yùn)動(dòng)軌跡間的幾何關(guān)系，使抽象的物理問題更加形象、直觀。

一、軌跡圓對稱法

帶電粒子垂直射入磁場后，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。要計(jì)算粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑、周期等物理量，則應(yīng)結(jié)合題中已知信息，規(guī)范畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，利用軌跡圖像具有對稱性的特點(diǎn)，即粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于入射點(diǎn)[P]與出射點(diǎn)[Q]的中垂線對稱，軌跡圓心[O]位于對稱線上，入射速度、出射速度與[PQ]間的夾角相等，有[φ=α=2θ=ωt]，運(yùn)用以上規(guī)律尋找臨界條件方便快捷。

[例1]如圖2所示，在[0≤x≤2a]的區(qū)域Ⅰ內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場;在[x>2a]的區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為[B]和2[B]。已知質(zhì)量為[m]、帶電荷量為[q]（[q]>0）的粒子沿[x]軸正方向從原點(diǎn)射入?yún)^(qū)域Ⅰ中。

（1）若粒子能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的勻強(qiáng)磁場，求粒子第一次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的可能位置和速度的范圍。

（2）為使粒子能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ且不能返回原點(diǎn)，粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)的速度應(yīng)滿足什么條件？

解析：（1）設(shè)帶電粒子剛好進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場，因?yàn)閰^(qū)域Ⅰ磁場的最大寬度為2a，運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與區(qū)域Ⅱ磁場左邊界相切，半徑為[R0=2a]，所以第一次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場的可能位置為橫坐標(biāo)[x=2a]，縱坐標(biāo)[0<y<2a]的區(qū)域內(nèi)，此時(shí)對應(yīng)的速度為[v1]，因?yàn)槁鍌惼澚μ峁┫蛐牧Γ杂衃qv1B=mv122a]，解得[v1=2qBam]，故有[v>2qBam]。

（2）粒子能返回原點(diǎn)的條件是在區(qū)域Ⅱ磁場中粒子偏轉(zhuǎn)軌跡的圓心必須在[x]軸上，草圖如圖3所示，粒子在區(qū)域Ⅰ磁場和區(qū)域Ⅱ磁場里的偏轉(zhuǎn)半徑和幾何關(guān)系有：[R1=2R2]，[R1R1+R2=2ax]，[x=3a]，[yR1=a3a]，[y=13R1]，[y2+a2=R22]，[R1=655a]。在磁場中，洛倫茲力充當(dāng)向心力，使粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有：[qv2B=mv22R1]，[v2=qBR1m=65qBa5m]，因此粒子能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場且不能返回原點(diǎn)的條件是射入?yún)^(qū)域Ⅰ磁場時(shí)的速度滿足：[v>2qBam]且[v≠65qBa5m]。

[例2]在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)拇艌鰜韺?shí)現(xiàn)對帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制。在如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系[xOy]內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)[O]為圓心，[d]為半徑的圓形區(qū)域外存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為[m]、電荷量為[+q]的粒子從[P0，3d]點(diǎn)沿[y]軸正方向射入磁場，當(dāng)入射速度為[v0]時(shí)，粒子從[a-3d2，3d2]處進(jìn)入無場區(qū)射向原點(diǎn)[O]，不計(jì)粒子重力。求：（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度[B]的大小;（2）粒子離開[P]點(diǎn)后經(jīng)多長時(shí)間第一次回到[P]點(diǎn)。

解析：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示，由題目條件可求得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為[R=d]。在磁場中，粒子所受洛倫茲力充當(dāng)向心力，使粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有[qv0B=mv20R]，解得[B=mv0qd]。

（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t1=3×23T=2T]，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為[T=2πRv0]，粒子在無場區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t2=3×23dv0]。粒子再次回到[P]點(diǎn)的時(shí)間[t=t1+t2]，聯(lián)立方程解得：

[t=4πdv0+63dv0]

二、軌跡圓放縮法

帶電的相同粒子從某點(diǎn)沿同一方向以不同速率發(fā)射，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑[R]與速率[v]成正比，即速度[v0]越大，運(yùn)動(dòng)軌跡半徑[R]越大，根據(jù)半徑從小到大的順序，畫出不同速率粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圓，如圖7所示，軌跡圓的圓心在垂直速度方向的直線[PP′]上，將半徑放縮畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，從而尋找臨界條件。

[例3]（2020年全國高考課標(biāo)Ⅰ卷）一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖8中虛線所示，[ab]為半圓，[ac]、[bd]與直徑[ab]共線，[ac]間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為[m]、電荷量為[q（q>0）]的粒子，在紙面內(nèi)從[c]點(diǎn)垂直于[ac]射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間。

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：[qBv=mv2r]，[T=2πrv]，可求得粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為[T=2πmqB]，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為[t=θ2π·T=θmqB]。

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān)，軌跡對應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長。畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像如圖9，采用放縮圓解決該問題，粒子垂直[ac]邊射入磁場，則軌跡圓的圓心必在[ac]直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大。設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為[r]。

（1）當(dāng)半徑[r≤0.5 R]和[r≥1.5 R]時(shí)，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期。

（2）當(dāng)[0.5 R<r<1.5 R]時(shí)，粒子從半圓邊界射出，將軌跡半徑從[0.5 R]逐漸放大，粒子射出磁場的位置從半圓頂端向下移動(dòng)，軌跡圓的圓心角從[π]逐漸增大，當(dāng)軌跡半徑為[R]時(shí)，軌跡圓的圓心角最大，然后再增大軌跡半徑，軌跡圓的圓心角減小，因此當(dāng)軌跡半徑等于[R]時(shí)軌跡圓的圓心角最大，即軌跡對應(yīng)的最大圓心角為[θ=π+π3=43π]。粒子運(yùn)動(dòng)最長時(shí)間為[t=θ2πT=43π2π×2πmqB=4πm3qB]。

[例4]如圖10所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，[ab=l]，[Oa=0.4 l]，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度[v0]射入磁場，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為[m]，電荷量為[q]，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]，[sin37°=0.6]，[cos37°=0.8]。

（1）求帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間;

（2）若帶電粒子從ad邊離開磁場，求[v0]的取值范圍。

解析：（1）粒子從ab邊離開磁場時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，如圖11所示，有[qBv0=mv20R]，又[T=2πRv0]，解得[T=2πmBq]。

又由幾何關(guān)系得[θ=74°]，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間[t=360°-θ360°T=143πm90qB]。

（2）當(dāng)粒子軌跡與[ad]邊相切時(shí)，如圖12所示，設(shè)此時(shí)初速度為[v01]，軌道半徑為[R1]，由幾何關(guān)系可得[R1+R1sin37°=0.4 l]，又[qBv01=mv201R1]，解得[v01=qBl4m]。

當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與cd邊相切時(shí)，如圖13所示，設(shè)此時(shí)初速度為[v02]，軌道半徑為[R2]，由幾何關(guān)系可得[R2+R2cos37°=l]，又[qBv02=mv202R2]，解得[v02=5qBl9m]。

綜上可得[qBl4m<v0≤5qBl9m]。

三、軌跡圓旋轉(zhuǎn)法

大量帶相同電量的粒子從[O]點(diǎn)以相同速率沿不同方向發(fā)射進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中（如圖14所示），由圓周運(yùn)動(dòng)可得，軌道半徑[R]與速率[v]成正比。速率相同，軌道半徑相等，速度方向不同，運(yùn)動(dòng)軌跡圓大小一樣，但圓心在改變。因此，畫出某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)軌跡圓，以[O]點(diǎn)所在垂直軸為軸旋轉(zhuǎn)畫出圓心軌跡，利用題中所給條件，尋找臨界條件。

[例5]（2017年全國高考課標(biāo)Ⅱ卷）如圖15虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，[P]為磁場邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過[P]點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場。若粒子射入磁場時(shí)速率為[v1]，這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上。若粒子射入磁場時(shí)的速率為[v2]，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則速度大小[v2]∶[v1]之比為多少？

解析：相同的帶電粒子垂直勻強(qiáng)磁場入射，粒子均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子以[v1]入射，一端為入射點(diǎn)[P]，對應(yīng)圓心角為60°（對應(yīng)六分之一圓周）的弦[PP′]必為垂直該弦入射粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的直徑[2r1]，如圖16所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為[R]，由幾何關(guān)系知：[r1=12R]。

其他不同方向以[v1]入射的粒子的出射點(diǎn)在[PP′]對應(yīng)的圓弧內(nèi)。

同理可知，粒子以[v2]入射及出射情況，如圖17所示。由幾何關(guān)系知[r2=R2-R22=32R]，可得[r2]∶[r1=3]∶1。

因?yàn)閇m]、[q]、[B]均相同，由公式[r=mvqB]可得[v∝r]，所以[v2]∶[v1=3]∶1。

[例6]如圖18，在[0≤x≤a]區(qū)域內(nèi)存在與[xOy]平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為[B]。在[t=0]時(shí)刻，一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xOy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿[y]軸正方向發(fā)射的粒子在[t=t0]時(shí)刻剛好從磁場邊界上[P（a， a）]點(diǎn)離開磁場。（不計(jì)重力）求：

（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑;

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，所經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積。

解析：（1）因?yàn)檠豙y]軸正方向發(fā)射的粒子在[t=t0]時(shí)刻剛好從磁場邊界上[P（a， a）]點(diǎn)離開磁場，連接[OP]，作[OP]的垂直平分線交[x]軸于[O1]，[O1]就是圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，其軌跡如圖19中①所示，恰好是四分之一圓周，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑[r=a]，并且[t0=14T]。

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中的弧長最短，弦最短，弦長等于a，其軌跡如圖19中②所示，其圓心為[O2]，因?yàn)橄议L等于半徑，則[OO1O2]是等邊三角形的頂點(diǎn)，圓心角為60°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為[tmin=16T]，解得[tmin=23t0]。

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，沿[x]軸正方向發(fā)射的粒子剛好從磁場邊界上[P'（a，-a）]點(diǎn)離開磁場，其軌跡恰好與磁場邊界相切，也是四分之一圓周，如圖19中③所示，粒子所經(jīng)過的磁場區(qū)域?yàn)檐壽E①③和磁場邊界所圍的面積：[S=14πa2+a2-14πa2=a2]。

四、軌跡圓平移法

大量相同的帶電粒子從不同點(diǎn)以相同速率向同一方向發(fā)射進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，因?yàn)閹щ娏Ｗ拥乃俣却笮∠嗤\(yùn)動(dòng)軌跡半徑相等，運(yùn)動(dòng)軌跡圓大小相同，速度方向相同，所以畫出某個(gè)方向帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圓，然后將該圓平移，可找到臨界條件。

[例7]如圖20所示，長方形ABCD長[AD=0.4 m]，寬[AB=0.2 m]，O、E分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，以E為圓心EB為半徑的圓弧和以O(shè)為圓心、OD為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度[B=0.5 T]。一群帶電粒子以速率[v=3×103 m/s]沿垂直AD方向射入磁場區(qū)域，粒子質(zhì)量[m=2×10-7 kg]、電量[q=-6×10-3 C]，不計(jì)粒子重力。判斷帶電粒子將從什么位置離開磁場。

解析：帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)入射點(diǎn)均在DOA線上，由圓周運(yùn)動(dòng)半徑公式[R=mvqB]，代入數(shù)據(jù)可求出[R=0.2 m]，即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑[R]等于磁場寬度AB。現(xiàn)將磁場曲線OB平行向上平移一個(gè)半徑后得到曲線OAF，如圖21所示。帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)它們的圓心均在曲線OAF上，如圖22所示，在該曲線上從[F]到[O]取點(diǎn)作為圓心，以[R=mvqB]為半徑作一系列軌跡圓，從D、O之間入射磁場，帶電粒子在磁場中轉(zhuǎn)過1/4 圓周后沿EB邊界向上做直線運(yùn)動(dòng)最終經(jīng)過B點(diǎn)，從O、A之間入射的粒子先做直線運(yùn)動(dòng)，后再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)，由作圖可知帶電粒子也經(jīng)過B點(diǎn)。故從AOD邊進(jìn)入磁場的帶電粒子，最后離開磁場時(shí)均通過B點(diǎn)位置。

[例8]如圖23所示，[xOy]為平面直角坐標(biāo)系，在[x]軸上、下方空間都分布著垂直[xOy]平面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B、3B（未畫出）。一質(zhì)量為m、電荷量為[-q]的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以與[x]軸正方向成30°角的速度[v]射入第一象限，不計(jì)重力。求：

（1）小球從離開[O]點(diǎn)（記為第0次）到第4次經(jīng)過[x]軸過程的平均速度;

（2）小球從離開O點(diǎn)后[58T]（T為粒子的運(yùn)動(dòng)周期）時(shí)刻的位置坐標(biāo)。

解析：（1）小球在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有[qvB=mv2r1]，所以軌道半徑[r1=mvqB]，又因?yàn)閇T1=2πr1v]，所以[T1=2πmqB]。

同理，在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

[r2=mv3qB]，[T2=2πm3qB]。

畫出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖24所示，小球從離開O點(diǎn)到第4次經(jīng)過[x]軸時(shí)前進(jìn)的位移[x=OP4=2r1-r2=4mv3qB]，小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t=2T16+5T26=16πm9qB]，小球的平均速度[v=xt=3v4π]，即平均速度大小為[3v4π]，方向沿[x]軸正方向。

（2）小球運(yùn)動(dòng)的周期[T=T16+5T26=8πm9qB]，因[5T8=5πm9qB=T16+2T26]，即此時(shí)小球位于圖24中的[P5]，故橫坐標(biāo)為[x=2r1sin30°=mvqB]，縱坐標(biāo)為[y=-2r2sin60°=-3mv3qB]，即位置坐標(biāo)為[mvqB，-3mv3qB] 。

因外界勻強(qiáng)磁場空間范圍大小的限定，以及帶電粒子初速度大小和方向的不確定性，導(dǎo)致帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，因而產(chǎn)生了大量的邊界極值問題[4]。教師在授課時(shí)應(yīng)依據(jù)實(shí)際物理情境，尋求不同過程中相互聯(lián)系的物理量，如半徑、周期、圓心角、時(shí)間等，規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，計(jì)算運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑、周期等。厘清有界磁場與運(yùn)動(dòng)軌跡圓的幾何關(guān)系[5]，是解決該類問題的關(guān)鍵。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 李秀明.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題探析[J].新課程（中），2019（2）：96-97.

[2]? 卜凡軍.淺議高中物理教學(xué)中如何提高學(xué)生的抽象思維能力[J].考試周刊，2020（A4）：125-126.

[3]? 胡衛(wèi)雄.從幾道高考題談?dòng)薪绱艌龅呐R界與極值問題的數(shù)理方法[J].數(shù)理化解題研究，2021（1）：88-90.

[4]? 彭長禮.帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的極值問題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2015（4）：21-22.

[5]? 蔡輝.利用“圓心軌跡”與邊界的長度關(guān)系求解磁場中的復(fù)雜問題[J].物理通報(bào)，2021（S1）：67-70.

（責(zé)任編輯 易志毅）