第34屆北京市高中力學(xué)競賽預(yù)賽壓軸試題的5種求解方法

婁員俊 方林 許新勝

(1.阜陽市臨泉縣臨泉田家炳實驗中學(xué) 2.合肥市巢湖市第四中學(xué)3.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 )

本文以第34屆北京市高中力學(xué)競賽預(yù)賽的壓軸題為例,運用5種方法分析試題第(2)問,以期拓展學(xué)生的科學(xué)思維,提升其創(chuàng)新能力.

原題物理小組研究小車轉(zhuǎn)彎的情況,在彎道半徑為R的水平路面上.車輛轉(zhuǎn)彎時發(fā)生了橫向滑動的現(xiàn)象.

(1)試分析小車發(fā)生橫向滑動的原因.

(2)他們設(shè)計了一個解決滑動的辦法:將彎道路面的外側(cè)抬高,使彎道路面的橫斷面如圖1 所示,路面與水平方向傾斜角度為α,若車輪胎與路面間橫向的最大靜摩擦力等于它對路面壓力的μ倍,要使小車通過這個半徑為R的彎道不發(fā)生橫向滑動,試分析討論它行駛的速度可能為多少?

圖1

分析(1)小車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時,相當(dāng)于在水平彎道上做圓周運動.當(dāng)小車速度過大,以至于橫向最大靜摩擦力不能提供其做圓周運動的向心力時,便會發(fā)生橫向滑動.

點評

該題情境為小車轉(zhuǎn)彎問題,需要考生在建構(gòu)質(zhì)點做勻速圓周運動模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合臨界狀態(tài)的受力與運動進行分析,解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)向心力公式求出轉(zhuǎn)彎時的最大速度和最小速度.試題源于教材又未拘泥于教材,學(xué)生并不陌生,但設(shè)問具有開放性,且運算量較大,可對學(xué)生模型建構(gòu)、推理論證等能力進行有效甄別.

(2)方法1 分解力

設(shè)當(dāng)小車的行駛速度為v時,它恰好不受斜面的橫向靜摩擦力,此時小車受重力mg和垂直斜面向上的支持力FN.由牛頓第二定律得車與路面間無摩擦力時,支持力的水平分力提供向心力,如圖2-甲所示,根據(jù)向心力公式得FNcosα＝mg,FNsinα＝,解得

若小車行駛速度v＜v0,則車輪受到的橫向靜摩擦力Ff方向沿斜面向上,且速度v越小,Ff越大,當(dāng)Ff達到最大值Ffm時,速度即為不發(fā)生橫向滑動的最小速度vmin,此時小車的受力示意圖如圖2-乙所示.

圖2

由牛頓第二定律得,當(dāng)小車在路面上不做側(cè)向滑動,且沿斜面向上獲得最大靜摩擦力時,有

若小車行駛速度v＞v0,則車輪受到的橫向靜摩擦力Ff方向沿斜面向下,且速度v越大,Ff越大,當(dāng)Ff達到最大值Ffm時,速度即為不發(fā)生側(cè)向滑動的最大速度vmax,這時小車的受力示意圖如圖2-丙所示.由牛頓第二定律得,小車在路面上不做側(cè)向滑動,且沿斜面向下獲得最大靜摩擦力時,有

方法2 分解加速度

當(dāng)小車拐彎時,將加速度沿斜面和垂直斜面方向進行分解,如圖3 所示,則

圖3

當(dāng)拐彎速度最小時,車輪受到的橫向靜摩擦力Ff方向沿斜面向上,對圖2-乙情境,根據(jù)牛頓第二定律有,平行斜面方向

當(dāng)拐彎速度最大時,車輪受到的橫向靜摩擦力Ff方向沿斜面向下,對圖2-丙情境,根據(jù)牛頓第二定律有,平行斜面方向

方法3 力的合成矢量圖

將小車拐彎的情境抽象為質(zhì)點做勻速圓周運動模型,則汽車受重力、支持力、摩擦力的合力恰好指向圓心,充當(dāng)向心力.根據(jù)矢量合成方法,三種情形相應(yīng)的受力及合力圖如圖4、5、6所示.

圖4

圖5

圖6

對圖5情況,豎直方向有

方法4 慣性離心力法

小車轉(zhuǎn)彎過程,引入慣性離心力ma*＝,方向沿半徑方向向外,則汽車始終處于平衡狀態(tài),以圖2-乙情境為例作出受力分析圖如圖7所示,依次根據(jù)水平方向和豎直方向的平衡條件有

圖7

討論下面對圖2 中甲、乙、丙三種情況進行討論.

圖2-甲所示情況,此時靜摩擦力為零,這時的速度是汽車拐彎時剛好受或不受靜摩擦力狀態(tài)的臨界速度.

圖2-乙所示情況,若sinα－μcosα＝0,即μ＝tanα?xí)r,則vmin＝0,即無論小車以多小的速度轉(zhuǎn)彎,都不會相對斜面向下滑動;若sinα－μcosα＜0,即μ＞tanα?xí)r,求解最小速度的式子無意義,因為這種情況下,最大靜摩擦力與慣性離心力沿斜面向上分力的合力大于重力沿斜面的分力,小車沿斜面方向無法平衡,故無論行駛速度是多小,輪胎受到的沿斜面向上的靜摩擦力都不可能達到最大值.

圖2-丙所示情況,若cosα－μsinα→0,即μ→,此時vmax→＋∞,即小車無論以多大速度行駛,都不會相對斜面向上滑動;若cosα－μsinα＜0,即,求解最大速度的式子沒有意義,因為這種情況下,重力與慣性離心力沿斜面向下分力的合力大于最大靜摩擦力,小車沿斜面方向無法平衡,故無論行駛速度是多大,輪胎受到的沿斜面向下的靜摩擦力都不可能達到最大值.

還可以從向心力方向的角度來分析以上兩種無意義的情況.

對圖2-乙所示情況,假設(shè)小車有橫向下滑趨勢,此時小車受力如圖8所示.若sinα－μcosα＜0(即μ＞tanα),則支持力與最大靜摩擦力的合力方向偏向圖中右上方,所有力的合力不可能剛好完全提供水平向左的向心力.

圖8

對圖2-丙所示情況,假設(shè)小車有橫向上滑趨勢,此時小車受力如圖9所示.若cosα－μsinα＜0,即,則支持力和摩擦力的合力偏向圖中左下方,所有力的合力不可能剛好完全提供水平向左的向心力.

圖9

方法5 分析法

小車在傾斜路面的彎道上受重力mg、支持力FN和靜摩擦力Ff,Ff的正方向設(shè)為沿斜面向上,如圖10所示.沿水平方向和豎直方向的分量方程分別為

圖10

上式中若sinα－μcosα＝0,則vmin＝0,若sinα－μcosα＜0,上式無意義,但總有ΔFf＞0,即無論以多小的速度拐彎,小車都不發(fā)生橫向滑動.

如速度由v逐漸增大,靜摩擦力Ff＜0,即方向沿斜面向下,隨著v的繼續(xù)增大,Ff的大小逐漸增大,直至(cosα－μsinα)＝0時,速度為最大,即

上式中若cosα－μsinα→0,此時vmax→＋∞,即汽車的最大速度沒有限制;若cosα－μsinα＜0,此式無意義,而總有＞0,即汽車無論以多大速度行駛,都不會沿斜面向上滑動.

(完)