浙江高考力學(xué)綜合題中的臨界條件分析及備考啟示

周紅衛(wèi)

(寧波諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué))

高考中的力學(xué)綜合問題具有運動過程多、考查知識點豐富、臨界條件多變、數(shù)學(xué)知識要求熟練、物理能力要求高等特點,是高考檢測學(xué)生物理學(xué)習(xí)水平和區(qū)分學(xué)生物理學(xué)習(xí)能力的必考題.總結(jié)浙江省高考發(fā)現(xiàn),力學(xué)綜合題中的臨界問題大致從以下幾個方面進(jìn)行考查.

1 突出斜面傾角與摩擦因數(shù)關(guān)系的直軌道臨界條件的考查

例1(2017年浙江11月選考,有刪減)如圖1-甲所示是游樂園的過山車,其局部可簡化為如圖1-乙的示意圖,傾角θ＝37°的兩平行傾斜軌道BC、DE的下端與水平半圓形軌道CD順滑連接,傾斜軌道BC的B端高度h＝24m,傾斜軌道DE與圓弧EF相切于E點,圓弧EF的圓心O1、水平半圓軌道CD的圓心O2與A點在同一水平面上,DO1的距離L＝20m.質(zhì)量m＝1000kg的過山車(包括乘客)從B點自靜止滑下,經(jīng)過水平半圓軌道后,滑上另一傾斜軌道,到達(dá)圓弧頂端F時乘客對座椅的壓力為自身重力的0.25倍.已知過山車在BCDE段運動時所受的摩擦力與軌道對過山車的支持力成正比,比例系數(shù)μ＝,EF段摩擦力不計,整個運動過程空氣阻力不計.(g取10m·s－2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8)

圖1

(3)如果過D點時發(fā)現(xiàn)圓軌道EF段有故障,為保證乘客的安全,立即觸發(fā)制動裝置,使過山車不能到達(dá)EF段并保證不再下滑,則過山車受到的摩擦力至少應(yīng)多大?

解析

(3)在沒有故障時,過山車到達(dá)D點的速度為vD,根據(jù)動能定理得

發(fā)現(xiàn)故障之后,過山車不能到達(dá)EF段,設(shè)剎車后恰好到達(dá)E點速度為零,在此過程中,過山車受到的摩擦力為Ff1,根據(jù)動能定理得

聯(lián)立各式解得Ff1＝4.6×103N.

使過山車能停在傾斜軌道上的摩擦力至少為Ff2,則有Ff2－mgsinθ＝0,解得Ff2＝6×103N.

綜上可知,過山車受到的摩擦力至少應(yīng)為6×103N.

點評

運用動能定理計算摩擦力很容易,但是存在一個陷阱:斜面問題中物體會有什么樣的運動狀態(tài),取決于重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力大小的關(guān)系.如果不注意這一點,很容易出問題.

例2(2020年浙江1月選考,有刪減)如圖2所示,一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、豎直圓軌道(在最低點E分別與水平軌道EO和EA相連)、高度h可調(diào)的斜軌道AB組成.游戲時滑塊從O點彈出,經(jīng)過圓軌道并滑上斜軌道.全程不脫離軌道且恰好停在B端則視為游戲成功.

圖2

已知圓軌道半徑r＝0.1 m,OE長L1＝0.2 m,AC長L2＝0.4 m,圓軌道和AE光滑,滑塊與AB、OE之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.滑塊質(zhì)量m＝2g且可視為質(zhì)點,彈射時從靜止釋放且彈簧的彈性勢能完全轉(zhuǎn)化為滑塊動能.忽略空氣阻力,各部分平滑連接.求:(g取10m·s－2)

(3)要使游戲成功,彈簧的彈性勢能Ep與高度h之間滿足的關(guān)系.

點評

解答本題首先要明確滑塊必須過圓最高點F的臨界條件,其次分析滑塊在斜面上的運動狀態(tài),本質(zhì)是討論tanθ與μ的關(guān)系,對應(yīng)h所要滿足的條件.

備考啟示要理解斜面上物塊運動狀態(tài)是由重力沿斜面的分力和摩擦力大小來決定的,討論μ和tanθ的關(guān)系,從而確定兩個力的大小關(guān)系.

2 突出不同運動過程的“拐點”信息考查

例3(2022年浙江1月選考,有刪減)如圖3所示,處于豎直平面內(nèi)的一探究裝置,由傾角α＝37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細(xì)圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成,B、D和F為軌道間的相切點,彈性板垂直軌道固定在G點(與B點等高),B、O1、D、O2和F點處于同一直線上.

圖3

已知可視為質(zhì)點的滑塊質(zhì)量m＝0.1kg,軌道BCD和DEF半徑R＝0.15m,軌道AB長度lAB＝3 m,滑塊與軌道FG間的動摩擦因數(shù)μ＝,滑塊與彈性板作用后,以等大速度彈回,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,滑塊開始時均從軌道AB上某點靜止釋放.

(2)設(shè)釋放點距B點的長度為lx,滑塊第1次經(jīng)F點時的速度v與lx之間的關(guān)系式;

(3)若滑塊最終靜止在軌道FG的中點,求釋放點距B點長度lx的值.

點評

“管道”的最高點臨界速度剛好為0,利用動能定理解出lx≥0.85 m.這就是物體運動中的“拐點”條件.題給條件滿足tanθ＜μ,滑塊具備停在斜面上的條件,以經(jīng)過FG長度的一半摩擦力做功Wf為參考,停在FG中點的含義就是摩擦力做功為Wf的奇數(shù)倍,解出lx的表達(dá)式lx＝,在最后的取值時lx不能超出題目給定的3m 即可.

例4(2019年浙江4月選考,有刪減)某砂場為提高運輸效率,研究砂粒下滑的高度與砂粒在傳送帶上運動的關(guān)系,建立如圖4所示的物理模型.豎直平面內(nèi)有一傾角θ＝37°的直軌道AB,其下方右側(cè)放置一水平傳送帶,直軌道末端B與傳送帶間距可近似為零,但允許砂粒通過.轉(zhuǎn)輪半徑R＝0.4 m、轉(zhuǎn)軸間距L＝2m 的傳送帶以恒定的線速度逆時針轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)輪最低點離地面的高度H＝2.2 m.現(xiàn)將一小物塊放在距離傳送帶高h(yuǎn)處靜止釋放,假設(shè)小物塊從直軌道B端運動到達(dá)傳送帶上C點時,速度大小不變,方向變?yōu)樗较蛴?已知小物塊與直軌道和傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5.(sin37°＝0.6,g取10m·s－2)

圖4

(2)若小物塊落到傳送帶左側(cè)地面,求h需要滿足的條件;

(3)改變小物塊釋放的高度h,小物塊從傳送帶的D點水平向右拋出,求小物塊落地點到D點的水平距離x與h的關(guān)系式及h需要滿足的條件.

解析

(2)若小物塊落到傳送帶左側(cè)地面,則應(yīng)使小物塊到達(dá)D點之前速度減為零.

點評

物塊剛好到達(dá)D點速度為零是直線運動的“拐點”.滑塊要能夠從D點“拋出”,臨界條件為mg＝,解出h≥3.6 m.本題中后兩問在D點設(shè)置了不同的“拐點”條件,使得試題的區(qū)分度增強(qiáng).

備考啟示解答此類“拐點”問題,首先要非常熟悉各種運動的力學(xué)規(guī)律,善于分析各種運動特殊點的特征,準(zhǔn)確理解“拐點”的含義,挖掘隱藏的條件,進(jìn)而成功避開命題者埋下的條件之“雷”.

3 突出對“管道類”問題的往復(fù)性運動臨界條件的考查

例5(2021年浙江1月選考,有刪減)如圖5所示,豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細(xì)圓管軌道BCDE和圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面,B、E兩處軌道平滑連接,軌道所在平面與豎直墻面垂直.軌道出口處G和圓心O2的連線,以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°,G點與豎直墻面的距離.現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放.小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞,不計小球大小和所受阻力.

圖5

(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點,高度h應(yīng)該滿足什么條件?

解析

(3)第1種情況:不滑離軌道原路返回,條件是h≤2.5R.

點評

管道模型中,第一種情況只要上到管道最高點G之前速度減為零即可,這個值是h≤2.5R.第二種情況是球從G點斜拋出之后,通過豎直面的撞擊反向彈回,貌似斜拋運動,有點超綱,但是反向彈回是一個平拋運動,很好地化解了可能超綱的問題.

備考啟示管道類問題中,小物塊不存在脫軌的現(xiàn)象,相對比較容易,但要注意對平拋運動的逆向考查,注重訓(xùn)練.

4 突出對“軌道類”往復(fù)性問題臨界條件的考查

例6(2016年浙江4月選考,有刪減)如圖6所示,裝置由一理想彈簧發(fā)射器及兩個軌道組成.其中軌道Ⅰ由光滑軌道AB與粗糙直軌道BC平滑連接,高度差分別是h1＝0.20m、h2＝0.10m,BC水平距離L＝1.00m.軌道Ⅱ由AE、螺旋圓形EFG和GB三段光滑軌道平滑連接而成,且A點與F點等高.當(dāng)彈簧壓縮量為d時,恰能使質(zhì)量m＝0.05kg的滑塊沿軌道Ⅰ上升到B點;當(dāng)彈簧壓縮量為2d時,恰能使滑塊沿軌道Ⅰ上升到C點.(已知彈簧彈性勢能與壓縮量的平方成正比)

圖6

(3)當(dāng)彈簧壓縮量為d時,若沿軌道Ⅱ運動,滑塊能否上升到B點? 請通過計算說明理由.

解析

(3)當(dāng)彈簧壓縮量為d時,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得＝mgh1,解得＝2m·s－1.滑塊恰能通過圓環(huán)最高點須滿足的條件是,由機(jī)械能守恒定律可知v＝v0＝2 m·s－1,得Rm＝0.4m.當(dāng)R＞Rm＝0.4m 時,滑塊會脫離螺旋軌道,不能上升到B點.

點評

滑塊恰通過豎直圓軌道最高點時有mg＝m.最高點F的速度易求,只要半徑足夠小,滑塊就一定能夠順利通過圓軌道,然后成功到達(dá)B點,所以本題的隱形求解結(jié)果其實是圓半徑的大小.

備考啟示注重豎直面內(nèi)圓軌道模型和管道模型的特殊點臨界條件的理解和熟練應(yīng)用.

力學(xué)綜合問題考查內(nèi)容豐富,涵蓋整個高中力學(xué)的主體知識,難度從低到高,是一道可以從細(xì)微處區(qū)分學(xué)生水平的具有梯度的好題.在備考中,我們必須立足于力學(xué)三大思想方法——力、能量、動量,完備力學(xué)知識體系,健全思維體系.

(完)