深入本質、辨析模型
——電磁感應現象中微觀問題的整合梳理

趙佳 宋金萍 吳愛兄

(1.北京市育英學校 2.北京市陳經綸中學)

由微觀視角分析宏觀現象產生的本質原因是高中階段學生應該掌握的重要思想方法中難度較大的一個,其難點在于微觀模型的構建.微觀模型構建的基本思路是根據宏觀現象推測微觀圖景,進而深入分析微觀本質.許多同學由于沒有從本質上建立宏觀與微觀之間的關系而盲目套用一些已知結論,從而形成知識的負遷移.本文以兩道北京高考題為例,從微觀本質出發辨析易混模型,幫助同學們深入理解電磁感應中微觀粒子的受力問題與能量轉化問題.

1 從微觀角度分析電磁感應中導體棒內部電子的受力問題

【原題呈現】(2014年北京24題(3))導體切割磁感線的運動可以從宏觀和微觀兩個角度來認識.如圖1所示,固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中,金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F作用下,在導線框上以速度v做勻速運動,速度v與恒力F方向相同;導線MN始終與導線框形成閉合電路.已知導線MN電阻為R,其長度L恰好等于平行軌道間距,磁場的磁感應強度為B.忽略摩擦阻力和導線框的電阻.

圖1

經典物理學認為,金屬的電阻源于定向運動的自由電子和金屬離子(即金屬原子失去電子后的剩余部分)的碰撞.展開你想象的翅膀,給出一個合理的自由電子的運動模型;在此基礎上,求出導線MN中金屬離子對一個自由電子沿導線長度方向的平均作用力f的表達式.

【深入分析】本題考查的是微觀粒子的受力問題,解題的突破口是建立自由電子的運動模型,運用動力學規律解決問題.而要準確建立微觀模型必須結合宏觀現象.本題所描述的宏觀現象是:導體棒在與其垂直的水平恒力F作用下,在導線框上以速度v做勻速運動,使得回路中的磁通量發生變化,進而在回路中產生了感應電流,由法拉第電磁感應定律可知,此時的感應電動勢E＝Blv.由于導線框的電阻忽略不計,所以感應電流I＝.從微觀本質上看是宏觀導線的運動引起其內部微觀帶電粒子(電子e)相對磁場(B)的運動(v),粒子受到如圖2 所示的向下的洛倫茲力作用,產生定向運動,使其從導體棒的M端運動到N端,形成電流.所以在這個回路中導體棒相當于電源,洛倫茲力為“非靜電力”.再從宏觀上觀察本電路的特點:由于導線框為理想線框,無電阻,相當于直接把正負極相連,電源短路.在微觀本質上就是這些從M端移過來的負電荷經外電路又流回M端,如圖2所示.金屬桿兩端沒有電荷積累,整個電路上各點的電勢相同.理想導線框僅僅提供了一個理想化的“通路”,所以嚴格意義上的宏觀電場并沒有建立起來.因而從微觀角度看,自由電子僅受兩個力,一個是由于和導體棒一起向右運動而受到的向下的洛倫茲力,一個是由于在回路中定向移動和金屬離子碰撞受到的向上的阻力.分析清楚了自由電子的受力情況后,我們可以從以下三個方面來解決問題.

圖2

解析

(1)從受力平衡的角度出發.因為電流不變,所以假設電子以速度ve相對導線做勻速直線運動.因為導線MN的運動,電子受到沿導線方向的洛倫茲力f洛＝evB,沿導線方向,電子只受到金屬離子的平均作用力f和f洛作用,二力平衡,即f＝f洛＝evB.

(2)從能量守恒的角度出發.所有自由電子(簡稱電子,下同)以同一方式運動.電子從導線的一端到達另一端經歷的時間為t,在這段時間內,通過導線一端的電子總數.電阻上產生的焦耳熱是由于克服金屬離子對電子的平均作用力f做功產生的.

在時間t內,總的焦耳熱Q＝NfL.根據能量守恒定律,有Q＝I2Rt.聯立上述三式得到f＝evB.

(3)從動量的角度出發.設電子在上一次碰撞結束至下一次碰撞結束之間的運動都相同,經歷的時間為Δt,電子的動量變化為零.因為導線MN的運動,電子受到沿導線方向的洛倫茲力f洛＝evB,沿導線方向,電子只受到金屬離子的作用力和f洛作用,所以If－f洛Δt＝0,其中If為金屬離子對電子作用力的沖量,其平均作用力為f,則If＝fΔt,得f＝f洛＝evB.

【易混模型辨析】從微觀的角度來分析宏觀問題是電磁學中的常見問題,學生并不是第一次遇到,在高中階段我們常見的分析微觀粒子受力的情境就有以下4種(如圖3).

圖3

由于每一種情境的宏觀表現不同,其微觀粒子受力也不相同,具體差別如表1所示.

表1 電磁感應中不同情境下微觀粒子的受力分析

續表

通過列表分析我們發現,宏觀導體棒的運動引起其內微觀帶電粒子(e)相對磁場(B)的運動(v),粒子受到洛倫茲力(非靜電力)作用,微觀電子定向移動形成宏觀電流的過程中會與晶格碰撞而受到阻力作用,而微觀電子所受的電場力是導體棒兩端存在電場的結果.因此導體棒內電子的受力與導體棒宏觀現象存在著如圖4所示的一一對應關系.所以分析微觀粒子的受力問題一定要從宏觀現象出發,由宏觀現象來推測微觀本質,而不能盲目套用結果,形成知識的負遷移.

圖4

2 從微觀角度分析電磁感應中的能量轉化問題

【原題呈現】(2017年北京24題(2))發電機和電動機具有裝置上的類似性,源于它們機理上的類似性.直流發電機和直流電動機的工作原理可以簡化為如圖5、圖6所示的情景.

圖5

圖6

在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中,兩根光滑平行金屬軌道MN、PQ固定在水平面內,相距為L,電阻不計.電阻為R的金屬導體棒ab垂直于MN、PQ放在軌道上,與軌道接觸良好,以速度v(v平行于MN)向右做勻速運動.圖5軌道端點M、P間接有阻值為r的電阻,導體棒ab受到水平向右的外力作用.圖6軌道端點M、P間接有直流電源,導體棒ab通過滑輪勻速提升重物,電路中的電流為I.

從微觀角度看,導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉化中起著重要作用.為了方便,可認為導體棒中的自由電荷為正電荷.我們知道,洛倫茲力對運動電荷不做功.那么,導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉化過程中起作用的呢? 請以圖6“電動機”為例,通過計算分析說明.

【深入分析】本題考查的是從微觀本質出發分析宏觀現象中的能量轉化問題.圖6所描述的宏觀現象是:直流電源給導體棒供電,產生安培力,安培力對導體棒做功,從而實現了將電源的電能轉化為導體棒與重物的機械能.從微觀角度看導體棒內部自由電子受洛倫茲力如圖7所示,安培力是水平洛倫茲力f′2的宏觀表現.而是由于自由電荷向下定向移動而產生的.由于導體棒宏觀向右移動,所以其內部電荷受到一個向上的洛倫茲力,阻礙自由電荷的定向移動,宏觀上表現為“反電動勢”,從而將電能轉化為機械能.

圖7

解析

設自由電荷所帶電荷量為q,沿導體棒定向移動的速度為u.如圖7所示,沿棒方向的洛倫茲力＝qvB,做 負功W1＝－·uΔt＝－qvBuΔt.垂直于棒方向的洛倫茲力＝quB,做正功W2＝·vΔt＝quBvΔt.所以W1＝－W2,即導體棒中單個自由電荷所受的洛倫茲力所做的功為零.

做負功,阻礙自由電荷的定向移動,宏觀上表現為“反電動勢”,消耗電源的電能做正功,宏觀上表現為安培力做正功,使機械能增加.大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現是將電能轉化為等量的機械能,在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞”能量的作用.

【易混模型辨析】“發電機”和“電動機”具有裝置上的類似性,但因為它們的宏觀現象不同,所以微觀上受到的洛倫茲力也有差別,從而使得其在能量的轉化上也不一樣.其具體差別如表2所示.

表2 “發電機”與“電動機”的微觀機理辨析

通過列表分析發現這兩個裝置雖有類似性,但其宏觀現象的因果關系不同使其微觀本質不同.

電磁感應中的“宏觀”與“微觀”問題,主要是圍繞“安培力”和“洛倫茲力”展開的,而安培力源于電荷的定向移動,在電荷定向移動的過程中又涉及電場力與阻力,而這些力的存在方式和能量轉化方向是由其宏觀現象來決定的.處理“宏觀”與“微觀”問題一定不能脫離宏觀現象主觀臆斷.

(完)