淺談以發展認識力為目標的教學設計

潘正剛 周艷

[摘 ?要] 數學教學除了要引導學生掌握數學知識、數學技能和數學思想方法，還應著重發展學生的認識力. 文章以“乘法公式（1）”這一節課為例，從科學性、哲學性、方法性三個維度對數學公式教學進行闡述和分析. 教師以數學史為依據，激發學生科學探究精神;豐富習題類型，培養學生哲學思辨精神;上位思考，整體設計，促成學生習得數學研究的基本方法，從而培養學生的思維品質和思維能力，促進數學教育的可持續發展，發揮數學育人的核心功能.

[關鍵詞] 認識力;科學探究性;哲學思辨性;基本方法性

近日，筆者在一次線上教研活動中觀摩了一節“乘法公式（1）”的網絡展示課. 本節課選自浙教版教材七年級下冊第三章，課中授課教師對公式教學進行了積極的探索. 本節課以學生已有經驗為出發點，引導學生觀察數學對象，大膽進行數學猜想，并運用幾何直觀來解釋代數抽象;習題設計層次分明，針對性較強;教學組織形式多樣，學生主體地位突出;數形結合、一般到特殊等數學思想方法貫穿整個課堂教學中. 以下為本節課的教學簡述.

教學片段回顧

片段1 上課伊始，學生先完成學習單上的4道題并觀察運算結果，再在教師的引導下猜想規律，并用字母來表示規律：（a+b）（a-b）=a2-b2. 隨后學生相互合作，利用提前準備好的兩張長方形紙片（如圖1），用拼圖的方式來驗證猜想.

學生獨立思考，相互交流，在教師的指導下展示了兩種拼圖方式（如圖2），第一種拼圖陰影部分的面積為（a+b）（a-b），第二種拼圖陰影部分的面積為（a2-b2）.

緊接著，教師讓學生閱讀課本，并提出以下問題：（1）平方差公式的文字表述是什么？（2）平方差公式中字母a，b可以表示什么？

經過簡短的思考，學生代表回答：平方差公式可以理解為兩數和與兩數差的積等于兩數平方差. 最后，經過師生反復交流探討，歸納出：平方差公式中的a，b還可以表示任意的單項式、多項式.

片段2 學生獨立思考，辨析6個算式能否運用平方差公式計算，并說出自己的想法. 在該教學環節中，對于第（6）題（m+n+p）（m+n-p）能否運用平方差公式計算，學生提出了不同的觀點. 教師進行啟發式提問：既然第（6）題可以用平方差公式計算，那么a，b在這里分別指什么？引導學生運用“整體思想”來進一步認識平方差公式的結構特征，并總結歸納：判斷一個多項式乘以多項式能否運用平方差公式計算，關鍵要看它是否符合平方差公式的結構，其中公式中的a，b可以表示多項式.

片段3 學生自學課本例題.

教師通過“問題串”的形式，層層推進，使得學生在運用平方差公式時“有跡可循”“有法可依”.

問題1：第（1）題中的100是怎樣找到的？

問題2：寫成103×97=（110-7）（90+7）是否可行？

問題3：100和103、97之間有什么聯系？

問題4：在運用平方差公式進行簡便計算時，你覺得應該分哪些步驟進行？

通過師生互動、生生互動，總結方法：先計算出兩個乘數的平均數，從而確定a，進一步用減法確定b，再化成平方差公式的形式.

通過以下兩組練習進行平方差公式運用的強化與鞏固.

練習1：運用平方差公式計算下面各題.

（1）102×98 ;

（2）50.5×49.5;

（3）20172-2016×2018 .

練習2：運用平方差公式計算下面各題.

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1;

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）.

探究與分析

數學教育肩負著提升學生智育水平的責任與使命. 除了要引導學生掌握數學知識、數學技能和數學思想方法，數學教學還應該著重發展學生的認識力. 所謂認識力，就是人們對世界（客觀世界和主觀世界）各種事物的認識能力. 具體地說，就是科學的視角、創造力、想象力、洞察力、判斷力、預見力，這些能力綜合起來就是認識力[1]. 鑒于此，數學教學設計應兼具科學探究性、哲學思辨性和基本方法性.

數學公式是對數學對象的數量關系和空間形式的規律與結構的高度概括，它表現為數學符號建立的代數結構. 數學公式貫穿于整個數學學習過程中，是建構數學知識體系的基礎內容，是數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養的有機融合體. 平方差公式是初中學生所學的第一個代數公式，其重要地位在于平方差公式的研究方法對學習完全平方公式起著引導作用. 平方差公式和完全平方公式這兩個乘法公式則是因式分解、分式運算和解一元二次方程的重要工具. 筆者以本節課為例，從科學探究性、哲學思辨性和基本方法性淺談如何以發展認識力為目標進行數學教學設計.

1. 以史為據，培養科學探究精神

本課用二項式乘二項式的運算作為平方差公式的引入，考慮了學生的最近發展區，體現了數學知識的內在聯系;在隨后的幾何操作環節，教師鼓勵學生從形的角度對平方差公式做出幾何解釋. 但在課堂實踐中，這兩個環節相對獨立，沒能激發學生的好奇心. 究其原因，可能有以下幾點：多項式的運算難度低，無法激發學生對于觀察運算結果的興趣，因此無法發現或提出有意義的數學問題;組合圖形的出現比較突兀，數形結合不自然，且因為道具的限制，學生思維受限，分析和解決問題的能力未得到有效提升. 綜上，學生學習平方差公式的好奇心、主觀能動性均有所不足. 根據筆者研究，現行的各版本教材多按照知識的邏輯順序進行編排，即將平方差公式看成整式乘法的一個特例. 如此編排，符合數學知識自然生成的規律，體現了從特殊到一般的思想. 教師往往將教學重點定位于代數表征，而以幾何表征作為輔助. 實際上，多數學生能在課堂學習中較輕松地完成平方差公式的代數推理，并能進行一些基本的應用. 在后續的學習中，若繼續強化相應的訓練，學生也能夠熟練地運用平方差公式. 但是，我們希望數學教學的目標不止于此. 若學生能更深入地理解平方差公式的幾何表征，將有助于挖掘思維的深度;若能更廣泛地閱讀平方差公式的歷史，將有助于拓寬思維的廣度. 因此，作為數學教育者，我們不得不思考教學內容的呈現是否可以是多樣的. 通過對平方差公式的進一步了解，筆者認為本課不僅可以滿足學生學科素養提升的需要，還可以成為實現學科育人的好契機.

從數學史的視角看，平方差公式蘊含著豐富的數學思想和厚重的數學文化，它并非源自多項式的運算，它的提出遠早于基于符號代數的多項式概念和多項式乘法. 數學教師要想辦法觸及學生的心靈，不僅讓學生感悟到數學知識的美妙，還讓學生體會數學史的厚重. 平方差公式跨越了三千多年的歷史，它在中國、古巴比倫、古希臘、古印度的著作中均有出現，在解方程、解直角三角形等方面有著重要的應用. 到了16世紀，平方差公式的代數表征才由法國數學家韋達用字母給出. 平方差公式的發展歷程有沒有可能在個人身上重現呢？實事求是地說，要讓學生在課堂時間內完全經歷前人艱巨的數學創造工作是不現實的. 但翻閱浩瀚史書，從中選取部分史料改編成恰當的“學習”材料，為學生創造一個具有研究氛圍的學習環境，以史為據，感知學習平方差公式的必要性，激發學生數學再創造的積極性，卻是大有可為的. 文章設計了以下教學情境.

三國時期吳國數學家趙爽在注解《周髀算經》時，創制了一幅“勾股圓方圖”（如圖3），并指出：“勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實方其里……股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里.[2]”這段話探討了這樣的數學問題：如圖4所示，從邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，請依次回答以下問題：

（1）你能將陰影部分拼成哪些圖形？

（2）請用含有a，b的代數式表示所拼圖形的面積.

（3）這些等式一定成立嗎？你能用代數方法證明嗎？

選取中國數學史的材料創設教學情境有以下目的：一是培養學生的愛國主義精神，促進學生樹立文化自信，同時在教學中落實課程育人、文化育人的目標;二是從數學的視角看學生感興趣的三國時代，貼近學生情感世界，可有效激發學生的學習興趣，為數學再創造提供條件. 當直覺和未經分析的經驗在許多不同的背景下存在著共同的結構特征時，數學就有了任務，這就是以精確的和客觀的形式系統地闡明基本的結構特征[3]. 第（1）問開放探究，發散思維，豐富課堂生成，有利于學生對比各種圖形結構（如圖5、圖6、圖7、圖8），發現一般規律，體會平方差公式的幾何之源;第（2）問由形及數，用代數符號表達一般規律，初步認識平方差公式符號表征的結構性;第（3）問用嚴謹的代數運算證明公式的合理性，學生可以體會到代數運算的邏輯推理特征對證明猜想的作用.

這樣的教學設計關注公式的形成過程，注重數形結合思想的自然生成，有利于發展學生的想象能力，培育學生的科學探究精神.

2. 豐富習題類型，培養哲學思辨精神

幾何探究發現公式，代數運算推導公式，理解和運用公式是后續學習的重點. 筆者認為理解公式，應緊抓“字母可變，結構不變”的本質;運用公式，則有兩個層面的考慮，一是是否能用，二是是否有必要用. 本課中，教師著重從公式的代數表征和文字表征來引導學生理解公式，并設計了富有梯度的習題來強化公式的運用. 從反饋來看，有部分學生對正確理解公式有障礙. 可能有以下原因：其一，學生對于平方差公式的結構特征仍停留在基礎記憶的層面上，幾何表征的直觀背景還未起到積極的作用;其二，習題設計類型較單一，且過于關注整數的簡便計算，思維深度不足. 在教學中，教師要結合各圖形結構，講清楚 “+b”“-b”表示的是分別加減相等的線段長度，即加減相同項;代數運算中“+b”“-b”的意義則是分別加上一組相反數，即加上相反項. 教師還要引導學生辯證地看待公式的結構特征. 另外，適當豐富習題的類型也有助于學生理解和運用公式. 以下3道題僅供參考.

（1）請你編寫三道難度不同的題目，使它們符合平方差公式的特征.

（2）請計算以下題目：

①（2x+5y）（2x-5y）;

②（-2+3n）（2-3n）;

③（an+b）（an-b）;

④a2（a+b）-b（a-b）（a+b）.

（3）已知兩個正數的和為24，積為44，求這兩個數.

題（1）讓學生編題，能有效激發學生的學習興趣，學生通過親身實踐，舉一反三，獲得不同的體會，有助于培養創新意識. 題（2）使用一般性的題設 “計算”代替指向性明確的題設“用平方差公式計算”，并在題目中設置了不符合平方差公式特征的問題，避免學生盲目套用公式，讓學生面對問題時，養成先分析運算對象和運算條件，再探索運算策略的習慣，形成以公式結構為目標，等價變換運算對象的能力. 在題（3）的問題解決中，不妨借鑒古希臘數學家丟番圖的故事，加深學生對公式的理解，強化學生對公式的運用，培養學生的逆向思維. 同時讓本課的教學設計始于數學史，終于數學史，使學生進一步體會學習平方差公式的必要性.

事實上，平方差公式的代數表征、文字表征和幾何表征之間的轉化、準確判斷以及合理運用公式計算這些目標是很難在一節課里就達成的. 這就要求教學設計具有哲學性，在教學中有意識指導學生辯證地思考問題，培養哲學思辨精神，訓練思辨思維.

3. 整體設計，掌握基本研究方法

數學公式本身是數學知識的重要組成部分，它是結構特征明確的邏輯體系，它反映了數學研究對象空間形式和數量關系之間的一般規律和結構. 學生數學學習中，不僅要學習數學知識，還要學習研究問題的一般方法. 所謂一般方法，是對數學對象的定義、性質、應用等問題的研究方法，學生參與形成問題、歸納概括、構建概念、應用反思等實踐和思維活動，在做的過程中學方法，在用的過程中學方法. 鑒于數學公式教學的相通性以及平方差公式和完全平方公式的緊密聯系，有必要上位思考“乘法公式”的整體教學. 梳理平方差公式的教學，可以從研究思路、研究內容和研究方法三個方面進行總結，形成具有系統性、可參考性的基本研究方法.

研究思路：如圖9所示.

研究內容：探索幾何圖形的面積問題，總結歸納平方差公式，合理運用平方差公式解決問題.

研究方法：開展實驗，直觀觀察，發現不同解法中數量關系的不變性，猜想平方差公式，用代數運算證明猜想.

實際上，平方差公式和完全平方公式起源相似、研究內容相似、研究方法相似、研究用途相似. 類比以上研究“套路”，引導學生自主確定完全平方公式的研究思路、研究內容和研究方法，有助于學生掌握研究數學公式的一般程序，學習研究問題的基本方法，有助于從心理層面改變學生對于數學學習的態度，培養學生的理性思維.

可見，數學教學不僅僅只是對知識的加工傳授，還可以從科學性、哲學性和方法性三個維度展開設計，教師只有在深刻理解學生、理解數學知識、理解數學學習方法的基礎上，才能設計出契合學生學習發展和數學內在發展的教學，培育核心素養，發展認識力.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數學教學設計原理的構建——教學生學會思考[M]. 北京：科學出版社，2018

[2]郭書春. 中國科學技術典籍通匯·數學卷（一）[M]. 鄭州：河南教育出版社，1994

[3]鄭毓信. 新數學教育哲學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2020.