高中化學中晶體相關計算的歸納

摘要：近年來高考熱點之一是晶體的相關計算，此類題目對學生的空間想象能力要求較高，學生在解決此類題目時找不到問題的突破口.梳理了晶體中微粒數、配位數、密度、微粒間距離、空間利用率的幾類計算方法.

關鍵詞：晶胞;堆積;計算;高中化學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0134-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張冉（1987.11-），女，四川省成都人，本科，中學一級教師，從事中學化學教學研究.[FQ）]

晶體中的相關計算是近年來高考熱點之一，該部分注重考查學生的空間想象能力和計算能力，此類題目難度較大，綜合性較強，有較好的區別度.但是在高中化學《選修3》教材中并沒有涉及與之相關的過多介紹，故不少學生覺得學起來抽象，難突破，甚至一些一線教師也難找到切實可行的教學方法讓學生輕松解決此類題型.結合教學實踐以及對近幾年的高考題的研究發現，這類題型主要是根據晶胞確定晶體的組成并進行粒子數、配位數、密度、質點距離、質量、阿伏加德羅常數、空間利用率等相關計算.現將有關內容概括如下，供參考.

1 利用均攤法推求晶胞中原子個數、晶體的化學式

晶胞為平行六面體且具有無隙并置的結構特點，故頂點原子對晶胞圖1的貢獻為1/8，面上1/2，棱上1/4，體內1.如圖1所示，A原子的個數為6×1/2=3，B原子的個數為1，C原子的個數為8×1/8=1，所以該晶體的化學式為A3BC.

2 根據晶胞結構判斷配位數

一般就是在三維空間內找距離A原子最近且相等的A原子或B原子的個數.以氯化鈉晶體（如圖2所示）為例，氯離子占據晶胞的8個頂點和6個面心，采用了面心立方堆積.鈉離子占據晶胞的12條棱心和1個體心.所以鈉離子與氯離子最近距離為晶胞邊長的1/2，以1個氯離子為坐標原點，在每一個坐標軸上，與其最近的鈉離子正負方向上各一個，所以xyz三條軸上共6個.若假設最近的鈉離子與氯離子的距離為d，與鈉離子最近的鈉離子又占據在與其相距2d的位置處，共12個.

3 晶胞密度的計算

根據密度計算公式，晶胞的密度等于一個晶胞的質量除以一個晶胞的體積，即ρ=ZMNAV，其中Z表示一個晶胞中原子、分子或用化學式表示的微粒個數，M表示摩爾質量，V表示晶胞的體積，NA表示阿伏加德羅常數.如2021年全國甲卷節選四方ZrO2晶胞如圖3所示.

晶胞參數為a、a、c pm，該晶體密度為g·cm-3（寫出表達式，相對原子質量：O∶16 Zr∶91）.

圖3晶胞中含有4個ZrO2粒子，代入晶胞密度計算公式，ρ=4×91+8×16a2c×NA×10-30g·cm-3這里還需要強調的是單位的換算，這也是學生在計算中很重要也極易出錯的地方.

若題干上已知晶胞密度，也可根據此公式計算出晶胞邊長.

4 晶體中原子的空間利用率的計算

原子的空間利用率是按一個晶胞來定義的：

原子的空間利用率=原子所占體積晶胞的體積×100%

教材在金屬晶體這部分有所涉及，所以顯得尤為重要.金屬晶體的堆積模型有四種基本形式—簡單立方堆積、體心立方堆積、六方最密堆積、面心立方最密堆積.計算空間利用率的關鍵是要先確定金屬原子在堆積時，在立方體的哪個部位金屬原子（小球）是相互接觸，可借助模型直觀感受，也可通過立體幾何論證.

4.1 簡單立方堆積

此類晶胞在結構上的特點是邊上的兩個小球相切，若設晶胞邊長為a，小球半徑為r，則a=2r.簡單立方晶胞中金屬原子數為1，立方體體積為a3，由此可得出簡單立方堆積空間利用率為：

43πr3（2r）3×100%=52%

4.2 體心立方堆積

金屬原子分別占據立方體晶胞的頂點和體心位置.此類堆積方式結構上的特點是位于體對角線上的三個小球相切，體對角線為4r，3a=4r.體心立方晶胞中金屬原子數為2，立方體體積為a3，由此可得出體心立方堆積空間利用率為：

2×43πr3（433r）3×100%=68%

4.3 六方最密堆積

此類堆積方式先讓等徑小球在二維平面上盡可能地靠攏，得到二維密置層，在這種二維密置層中，每個小球的配位數為6，每個球周圍有6個凹穴，把球周圍的相鄰的凹穴分別命名為123456.把第二層密置層的小球的球心分別對準第一層小球形成的凹穴135或246中如圖4所示，再將第三個密置層的小球球心對準第一層小球球心，就得到了ABAB的堆積.再從中抽取出基本單位得到了如圖5所示晶胞，該晶胞不是立方體，長寬相等但不等于高.此類堆積方式的結構特點是體內小球與上下兩層的3個小球兩兩相切，也就是說體內小球與上下兩層的3個小球分別構成了正四面體結構，體內小球投影下來正好在正四面體一個正三角形面的中心，即立方體的高為正四面體高的2倍.由結構可推知a=2r，高為463r，因此六方最密堆積空間利用率為：

2×43πr3463r×23r2×100%=74%

4.4 面心立方最密堆積

此類堆積晶胞在結構上的特點是位于面對角線上的3個小球相切（如圖6所示），故面對角線為4r，所以a=22r，因此面心立方最密堆積空間利用率為：

2×43πr3（22r）3×100%=74%

5 計算晶胞中兩原子之間的距離

晶胞中若兩原子間已形成化學鍵，則此距離為化學鍵鍵長，以金剛石晶胞為例.

碳原子處在8個頂點和6個面心，體內還有4個，體內任意1個碳原子都處于3個面心和1個頂點形成的正四面體空隙中，換句話說，體內碳原子處在4個小立方體的體心.若已知晶胞密度為ρ，則可計算出距離最近的2個碳原子的距離為立方體體對角線的1/4處，為3×396NAρ.由于冰中水分子間存在氫鍵，而氫鍵又具有飽和性和方向性，使每個水分子與最近的4個水分子形成氫鍵，水中氧也同金剛石中的碳采取sp3雜化，故冰晶胞結構類似于金剛石，所以2個最近水分子的距離也可以求算出來，類似的還有ZnS晶胞（如圖7所示）.

又如干冰晶胞，CO2分子采取密堆積，占據8個頂點和6個面心，故最近且相鄰的CO2間的距離為面對角線的1/2.

6 分子晶體中鍵的數目、多面體的計算

已知C60是由60個碳原子形成的分子，形似足球，又叫足球烯.一類題型是問1mol C60與足量的F2反應的產物，要解決該問題就得清楚C60中碳碳單鍵和雙鍵的數目.C60的球形是由多個五邊形和六邊形組成，每個碳原子連3條邊，結合碳原子4個價電子形成四根鍵即每個碳原子形成1個雙鍵和

2個單鍵，而每根鍵又被2個碳原子共用，故

60個碳共形成60×1.5根鍵，雙鍵與單鍵個數比為1∶2，得到C60中有30根雙鍵和60根單鍵，所以產物應該為C60F60.還可以繼續求算五邊形和六邊形的個數.根據歐拉定律面+頂點-棱=2，設五邊形、六邊形個數分別為x、y，列式（x+y）+（5x+6y）/3+（5x+6y）/2=2可計算出五邊形、六邊形各有12、20個.同樣的方法可以計算C70、B12.

除上述總結之外，還可根據晶胞中原子的位置（原子坐標）來解決原子之間距離.通常用xa+yb+zc中的x，y，z組成的三數組來表達晶胞中原子的位置，稱為原子坐標.例如，位于晶胞原點（頂角）的原子的坐標為0，0，0;位于晶胞體心的原子坐標為1/2，1/2，1/2;位于面心的原子坐標為1/2，1/2，0;1/2，0，1/2;0，1/2，1/2等等.原子坐標絕對值的取值區間為1>|x（y，z）|≥0.若取值為1，相當于平移到了另一個晶胞，與取值為零毫無差別，簡言之1即是0.例如，金剛石晶胞中有8個原子，它們的原子坐標分別是0，0，0（頂角原子）;1/2，1/2，0;1/2，0，1/2;0，1/2，1/2（三個面心原子）;3/4，1/4，1/4;1/4，3/4，1/4;1/4，1/4，

3/4和3/4，3/4，3/4（4個分處晶胞體對角的1/4處），也可分析出最近的2個碳原子間距離.

參考文獻：

[1] 張艷萍.淺談有關晶體結構的計算[J].榆林高等專科學校學報，2002（02）：90-91.

[2] 宋曉瑩，楊子秀.新課標高考化學“物質結構與性質部分”全國卷試題分析及備考策略[J].三峽大學學報，2013（12）：194-196.

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