橋式起重機主梁的平行六面體可靠性分析*

邢瑾文 高東鳴 張海牛 王 維

玉柴聯合動力股份有限公司 蕪湖 241080

0 引言

橋式起重機（以下簡稱橋機）主端梁連接技術對橋架有重要影響[1]。主梁是橋機的主要承載部件，約占整機金屬結構自重的70%，對整機的安全性有重要作用，故研究橋機主梁結構的可靠性方法具有現實意義。在設計過程中，橋機主梁存在很多不確定性因素，當這些因素耦合在一起時，會在很大程度上對結構響應產生較大偏差，甚至面臨失效風險。非概率可靠性模型正是在樣本信息匱乏、難以準確定義概率性質的情形下于20世紀90年代提出，主張用凸集合描述不確定因素，以可靠性指標度量結構的安全程度，強調可接受行為的范圍。因而，非概率可靠性模型適合于分析復雜的橋式起重機主梁結構。

Ben-Haim Y等[2，3]主張用凸集描述不確定參數，闡明了何為非概率可靠性，以結構所能容納的不確定性的極限范圍用于評判結構是否安全；郭書祥等[4]指出非概率可靠性指標是基于無窮范數刻畫的標準空間中坐標原點到失效面的最短距離；王曉軍等[5]將結構非概率可靠性指標重新定義為結構安全域和可行域的體積的比值，考慮以集合的思路度量結構安全性；姜潮等[6]于傳統凸模型發展出一種變體——平行六面體模型，將獨立和相關的不確定變量包含在一個統一的框架內，便于解決復雜不確定性的棘手難題；崔智勇等[7]將工程實際中的不確定性考慮為區間變量，研究了微粒群算法下區間模型非概率可靠性指標的計算；陳江義等[8]基于區間模型提出響應面模型的非概率可靠性優化方法；姜潮等[9]在已有的平行六面體模型基礎上進行改進，在改進的平行六面體模型中，不確定參數間的相關系數被重新定義，基于相關矩陣進一步推導出不確定域的數學表達式，并應用到結構可靠性領域；為了克服現有凸模型公式的復雜性和多樣性，姜潮等[10]又提出了構造非概率凸模型的統一框架，并提出凸模型建模方法的評價標準，作為后續新凸模型建模方法有效性驗證的檢驗標準。

與區間模型和橢球模型相比，平行六面體模型可以很好地將變量間的獨立性和相關性置于同一模型內分析，在保證結構可靠的同時成本得以有效控制。從某種意義上講，平行六面體模型是更符合實際工程的一種凸模型，鑒于此，建立了橋式起重機主梁的平行六面體非概率可靠性模型。實例表明，平行六面體模型的運用能較準確地描述起重機結構的可靠性。

1 基于凸模型的非概率可靠性

1.1 基于區間模型的非概率可靠性

假設所有不確定參數之間相互獨立，且在已知區間或超長方體內變化，即

式中：xl、xu分別為區間變量x的下界、上界。

定義區間變量x的均值和離差分別為

將區間變量投影到標準化區間變量的度量上，這一過程稱為標準化，具體轉換過程為

然后，將標準化后的變量帶入功能函數，即

在此失效模式下的區間模型非概率可靠性指標采用無窮范數表示，即

其幾何意義為：在標準化區間變量張成的擴展空間里，以無窮范數度量的n維空間中坐標分量到失效面的最短距離，擴展空間是指其擴展后的無限空間。若極限狀態函數簡單，有學者主張采用定義法、轉換法和優化法進行可靠性指標的求解。同時，結構的極限狀態面將整個標準化空間劃分成2個域：失效域和安全域。當η＝1時，失效面與凸域剛好相切，結構性能處于臨界失效狀態；當η＝＞1時，結構性能的實際波動范圍均處于安全區內，與失效面沒有交集，結構可靠，且η的值越大，結構也越可靠。

1.2 基于橢球模型的非概率可靠性

假設不確定參數之間具有相關性，且在已知橢球體內變化，即

在實際情況下，常常將不確定參數向量x無量綱化為相對變差向量δ，兩者的分量元素關系式為

式中：為名義值。

橢球模型用超橢球集合界定變差向量δ，其表達式為

引入標準化向量

式中：Qi、Λi分別為超橢球形狀矩陣Wi的特征向量和特征值對角矩陣，有

經過變換，原凸模型轉換為標準化q空間下，即

用Euclidean范數定義標準q空間中向量的長度為

其幾何意義為：標準化空間的坐標原點到極限狀態曲面的最短距離。經過標準化處理后，單位值1可作為結構性能是否可靠的標尺。當η＝1時，極限狀態曲線與凸域相切，恰好位于臨界失效處；當η＞1時，不確定參數的變差均在安全域內，結構性能保留有一定程度的安全余量。

1.3 基于平行六面體模型的非概率可靠性

假設不確定參數之間具有相關性，且在一直平行六面體內變化，即

如圖1所示，將不確定參數進行標準化，轉換過程可表示為

圖1 平行六面體模型的二維區間變量的標準化過程

任意2個變量間的相關系數可定義為

進一步相關矩陣可描述為

特征矩陣定義為

由此得到包絡所有區間變量的平行六面體域為

可以借助不確定域中的點到失效平面G（δ）＝0之間的最短距離來評判系統是否安全可靠，故構建一個優化問題來得到系統的非概率可靠性指標η

前述最短距離是基于無窮范數來進行衡量的，而最優點則是指失效平面上的設計驗算點。在幾何空間中，最優點是當不確定域均勻地向外擴展時和失效平相切時的第一個點。圖2描述了二維空間中基于多維平行六面體模型的可靠性指標定義。

圖2 平行六面體模型的非概率可靠性度量指標示意圖

2 數值算例和工程應用

2.1 懸臂梁

研究圖3所示懸臂梁的不確定性參數的量化，并進行非概率可靠性分析，懸臂梁的梁中彎矩最大值應小于極限彎矩。極限狀態函數可表示為

圖3 懸臂梁

在距固定端為b1＝2.0 m，b2＝5.0 m，處分別作用2個集中載荷p1和p2。設基本區間變量為的取值范圍給定7種情況，分別基于區間、平行六面體和橢球3種模型計算結構的可靠性指標，結果如表1所示。

表1 基于不同凸模型的非概率可靠性指標的比較

比較3種方法的結果，可得到如下結論：

1）隨著極限彎矩mcr不確定范圍的逐漸增大，可靠性指標呈逐漸上升的趨勢，η越大，結構越可靠。

2）無論極限彎矩mcr的區間范圍變化多大，基于區間模型計算的可靠性指標始終較保守，即若區間模型算出的可靠性指標η＞1，則橢球模型和平行六面體模型算出的可靠性指標必定使結構可靠。另外，在實際工程中，區間模型非概率可靠性往往容易造成材料不必要的浪費，加大制造成本。

3）由于橢球模型考慮了變量間的相關程度，故相對區間模型而言是更合理的。由表1的結果對比可知，同區間模型和平行六面體模型相比，橢球模型計算出來的非概率可靠性指標總是最大的，這主要是由于橢球模型無法考慮任意2個變量間獨立的情形造成的。與區間模型不同，橢球模型非概率可靠性往往容易出現過危險設計。

4）平行六面體模型計算出的非概率可靠性指標介于區間模型和橢球模型兩者之間，既不像區間模型那樣過保守，也不像橢球模型那般過危險，可以很好地將變量間的獨立性和相關性置于同一模型內分析，在保證結構可靠的同時成本也有效地得到控制。因此，在某種程度上，平行六面體模型是更符合實際工程的一種凸模型。

2.2 橋機主梁結構

1）基本參數及結構校核

以某起重量為32 t的橋機偏軌箱形梁為例進行可靠性分析，該橋機的基本參數如表2所示?？紤]到實際工程中不確定性因素的客觀存在，且難以獲得大量的試驗數據信息，將額定起重量、吊具質量、小車質量、許用強度及彈性模量等5個不確定性參數看成區間變量，并分別以x1、x2、x3、x4、x5表示，區間范圍分別為：x1＝[28.8，35.2]，x2＝[0.9，1.1]，x3＝[9.9，12.1]，x4＝[158.4，193.6]，x5＝[1.8×105，2.2×105]。根據給定的區間范圍可求出相應的均值和離差，具體參數如表3所示。

表2 橋機基本參數表

表3 不確定參數的區間范圍及其均值、離差

對于橋機主梁，其穩定性往往滿足要求，而強度和剛度通常為結構的主要破壞形式，為此只考慮橋機主梁結構的強度和剛度可靠性問題，需要校核偏軌箱形梁跨中截面3個驗算點的強度，如圖4所示。

圖4 主梁截面強度驗算示意圖

其中，主腹板邊緣點1處的極限狀態函數為

式中：[σ]為許用強度，σ01為垂直彎矩產生的應力，σ02為水平彎矩產生的應力，σm為主腹板邊的局部壓應力，τ為主腹板邊的切應力。

下蓋板點2處的極限狀態函數為

式中：[σ]為許用強度，Mx為主梁跨中總的彎矩，My為主梁跨中總的水平彎矩，x2、y2為形心位置，Ix、Iy為慣性矩。

下蓋板點3處的極限狀態函數為

式中：[σ]為許用強度，Mx為主梁跨中總的彎矩，My為主梁跨中總的水平彎矩，x2、y2為形心位置，Ix、Iy為慣性矩。

此外，還應校核結構的靜剛度，其極限狀態函數為

式中：[Y]為許用靜撓度，這里為滿載小車總靜輪壓，E為彈性模量，L為跨度，b為小車輪距。

2）平行六面體模型可靠性分析

在構建強度的平行六面體模型時，根據極限狀態函數，共涉及額定起重量、吊具質量、小車質量、許用強度4個不確定性參數。將不確定性參數x1、x2、x3、x4標準化，轉化關系如式(13)，基于平行六面體模型對橋機主梁結構的強度進行非概率可靠性分析時，由式(14)和式(15)可得該模型的相關矩陣為

按照式(16)計算該模型的特征矩陣為

基于強度的平行六面體模型的不確定域為

所以，采用無窮范數進行該模型的非概率可靠性分析，則有

在構造剛度的平行六面體模型時，首先對不確定性參數額定起重量、吊具質量、小車質量、彈性模量等進行標準化，轉化關系如式(13)，由式(20)可以得到式（35）所示基于平行六面體模型的結構剛度的不確定域，即

基于平行六面體模型對橋機主梁結構剛度的非概率可靠性分析過程與上述相同，計算結果見表4。

表4 主梁結構強度和剛度非概率可靠性指標計算結果

通過分析計算結果，基于平行六面體模型對橋機主梁結構的可靠性分析，有關結構強度和剛度的非概率可靠性指標都大于1，表明橋機主梁結構是安全可靠的。橋機主梁結構的整體非概率可靠性應由最危險的情形確定，針對所研究的目標起重機主梁可靠性指標為2.758 3＞1，且有一定的安全余量，能滿足使用要求。

3 結論

1）從不確定域的量化、可靠性指標的計算、適用范圍等方面分別探討了區間模型、橢球模型和平行六面體模型的非概率可靠性，通過懸臂梁數值算例，表明基于平行六面體的非概率可靠性模型相對比較合理，較好地解決了其他模型過保守或過危險的設計問題。

2）提出了基于平行六面體的橋機主梁結構的非概率可靠性分析方法，該方法可在確保經濟的基礎上很好地分析結構可靠性問題，具有一定工程價值。

此外，本文方法還可拓展至概率—模糊—平行六面體模型混合可靠性問題中，進一步拓展平行六面體模型在實際工程結構設計中的應用能力。