小論文型作業對建構高中數學知識體系的應用研究

王錦熙

(北京師范大學(珠海)附屬高級中學 519000)

建構主義理論認為，“學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程.學習不是被動接受信息刺激，而是主動地建構，是學生根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義.學習意義的獲得，是每個學習者以自己原有的知識經驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，建構自己的理解.”學生學習的知識不單是教師教授掌握的，更重要的是學生本人主動學習，積極探究而理解掌握，從而主動建構學生本人的高中數學知識體系.

鑒于高中生的學習內容和研究能力有限，本文所定義的小論文并不是傳統意義上的學術論文，可以是在學生當前學習內容的拓展和深入，也可以是知識梳理性的文章.知識梳理型的小論文，文章可以沒有創新性，但如果能夠圍繞一個知識點，有條理、有邏輯地、系統地對數學知識、解題技能、數學思想方法進行梳理，也是一篇優秀的文章.學生在整理和梳理的過程中，也就自己主動地建構數學知識體系.

1 當前學生學習數學存在的主要問題

1.1 對數學知識理解不夠深入

1.2 學生學習高中數學知識是離散的

許多高中生學習數學，往往不得法，上課聽懂了，下課自己一做題就懵，對知識點一知半解，沒有自己的思考.還有一部分學生沉迷于題海，迷失了方向.在一些學生心中，學習數學就是做一道又一道的題，做過的題與題之間是獨立的、離散的，不能從題中分析出題目所考查的知識點，應該適用哪種解題策略，更達不到舉一反三的程度，將知識點或者技能進行遷移應用.學生依靠題海戰術來獲得解題方法、經驗，這種方法占用了高中生寶貴的學習時間，學習效果也可能事倍功半.

1.3 教師布置作業方式有待進一步優化

當前高中數學教師普遍工作壓力大、工作時間長、工作任務重，雖然一直強調教育改革，但是當前高中生的作業布置方式還是比較單一，絕大多數都是以書本、輔導書的習題為主.如果教師有時候布置一些形式新穎的作業，比如讓學生自己嘗試寫一篇數學小論文(對于許多學生來說，是第一次遇到這種形式的作業)，小組一起合作研究，寫出一篇文章，對學生來說是非常有成就感的一件事情.

2 小論文型作業有助于高中數學知識體系的構建

2.1 小論文型作業有助于高中數學知識點的梳理

如何讓學生從大量又離散的題海中走出來，嘗試讓學生寫一篇數學論文是一種比較有效的方法.學生要寫出一篇數學論文，他首先要通讀教材，把握相應知識點，及知識點與知識點之間的聯系.要站在更高的角度來看問題，知識點可以分成哪幾類，之間有怎樣的邏輯上的聯系，對應考查方式有哪幾類題型，對應的題型又有哪幾種解題方法或技巧，運用了哪種數學思想方法去解決問題，也就是要形成知識框架結構.學生要弄清楚這些問題，不僅僅需要深入地研究教材，還需要理解課堂上教師講的知識點、題型、方法，還需要翻閱相關的教輔資料，查找相關論文，看看歷年高考真題中是如何考查的.

這里以《用向量法解決求空間角度問題》為例進行案例說明.學生在動筆寫論文之前，先要吃透相關知識點，如向量的定義及表示方法、向量的運算，立體幾何中線線夾角的概念、線面夾角的概念、二面角的概念，利用向量法求解三種夾角的方法.還要理解求空間角問題可以分為三大類，每類夾角問題對應的計算公式和解題技巧.掌握知識和技能后，對知識點進行梳理、分類，還要精選例題，歸納出解題方法，并分析易錯點.這樣的一篇文章寫出來之后，也就對用向量法解決求空間角度問題進行了完整的知識梳理，建構了自己的高中數學知識體系.

2.2 小論文型作業有助于提升數學思維能力

高中階段，學生需要理解函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想等數學思想方法.這些數學思想方法在解決高中數學問題中經常會運用，如何讓學生系統地理解和運用呢？也可以讓學生自己針對一種思想方法專門寫相關的小論文進行歸納整理.

這里以分類討論思想為例進行說明.高考常考查含參數一元二次不等式的解法，如利用導數求函數的單調性、極值和最值.2017年高考理科數學全國Ⅰ卷中的第21題也考查了含參數不等式的解法.含參數的一元二次不等式如何解呢？關鍵是分類討論的思想和求解一元二次不等式的通法.在教學中，對于如何進行分類討論，何時進行分類討論，學生經常會有困惑、迷茫.下面將對三類典型的含參數的不等式進行分析.

第一類：對一元二次方程的“Δ”進行分類討論.例如解關于x的一元二次不等式x2+2x-a<0.求解一元二次不等式，首先可求出相應方程的根，然后根據相應函數的圖像求出不等式的解.令x2+2x-a=0，此方程的Δ=4+4a，Δ可能為正數、0、負數.方程的根的情況未知.因此，對方程的Δ分三類進行討論，再結合函數y=x2+2x-a的圖象，得到原不等式的解集.

第二類：對一元二次函數的開口方向進行分類討論.例如解x關于的不等式ax2+(2-a)x-1>0.因為不等式中的x2的系數含有參數a，所以由a為零、正數、負數，函數y=ax2+(2-a)x-1可能為一次函數、開口向上的二次函數、開口向下的二次函數.因此，本題需要對x2的系數進行分類討論.

第三類：對一元二次方程的兩根大小進行分類討論.例如解關于x的一元二次不等式ax2+(2-a)x-1>0.令x2-(a+1)x+a=0，此方程的D=(a+1)2-4a=(a-1)2>=0，所以方程一定有兩個實數根.利用十字相乘法可以解得兩根為a和1，但是a與1的大小不能確定，所以需要對兩根大小進行分類討論.

當學生全面地對以上三類含參數的一元二次不等式進行分類討論，并且嚴謹地、有條理地寫出一篇小論文，那么學生對于如何進行分類討論，何時進行分類討論便會有更加清晰的認識和理解，提高了學生對于分類討論數學思想方法的理解.

2.3 小論文型作業有助于培養學生深入探究的能力

小論文作業給學生提供了自身充分表達自己想法的天地，使學生開動腦筋，從不同方向，不同角度，不同層次，運用多條思路、多種方案進行思考，生動活潑地參與其中，使學生的思維朝著嚴謹、深刻、全面的方向發展，這有利于學生在解決問題過程中個性和創造能力的發揮.

當學生著手在某一個知識點寫一篇小論文的時候，學生一定是對這個知識點特別感興趣，有興趣的地方便會深入思考.而要完整地寫一篇小論文，學生首先需要理解相關知識點，還需要拓展閱讀，例如閱讀相關參考書籍，上網搜索相關論文資料，在研讀相關資料的基礎上，深入思考、探究，形成完整的知識梳理，或者得到更加深層次的理解，或者是得到具有創新價值的研究成果.獨立思考、深入探究的能力對于學習來說，非常重要.獨立思考、深入探究的能力，也是當今科技取得進步的法寶.

這里以學生在學習利用導數研究函數的性質為例進行說明.在這一部分，學生已經基本掌握了利用導數研究函數的單調性、極值和最值的方法.老師可以布置一篇小論文作業《利用導數研究函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象》.要完成這篇小論文，學生首先要理解利用導數研究函數的性質的基本思想方法，然后深入探究三次函數的系數對三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象的影響.對函數求導得f′(x)=3ax2+2bx+c.

(1)當a>0時，①若Δ=b2-3ac≤0時，導函數f′(x)圖象恒在x軸上方，那么函數f(x)的圖象單調遞增，沒有極值.

②若Δ=b2-3ac>0時，導函數f′(x)圖象開口向上，與x軸有兩個交點，不妨設交點的橫坐標分別為x1,x2(x1

(2)當a<0時，①若Δ=b2-3ac≤0時，導函數f′(x)圖象恒在x軸下方，那么函數f(x)的圖象單調遞減，沒有極值.

②若Δ=b2-3ac>0時，導函數f′(x)圖象開口向下，與x軸有兩個交點，不妨設交點的橫坐標分別為x1,x2(x1

2.4 小論文型作業有助于培養細致的能力

簡單的數學題，絕大部分學生都可以拿分，區分度不大.難題、壓軸題在一份試卷占比較小，而真正有區分度的在于考查學生處理事情細致的程度，特別是全面的細致程度.例如，不等式化簡過程中，遇到兩邊同時除以x,這時需要細致地考慮到x的取值范圍，若x為負數，不等號會改變方向，是否需要分類進行討論.再舉一個常見的例子，在解析幾何中，已知直線l過一個定點(x0,y0)和其他條件，求直線l的方程.這種題型往往需要考慮直線l的斜率存在與否，不能簡單地設直線l的方程為y-y0=k(x-x0),這樣會漏掉斜率不存在的情況.

雖然現階段高中教師很少會布置小論文型作業，但如果能夠在恰當的時機布置小論文作業，可以激發學生的學習興趣，變被動吸收為主動學習.學生通過寫作小論文，建構本人的高中數學知識體系，提升數學思維能力，培養深入探究的能力，培養細致的能力.