積累數學活動經驗 發展數據分析觀念*
——五年級“釘板游戲中的可能性”教學實錄與評析

金妤茜執教 杭 瑛評析

大數據時代人們常常需要在某些環境中，對大量雜亂無章的數據做出整理、分析、判斷和推測，繼而做出相應的決策，所以，數據分析觀念是每個人都應具備的素質。發展學生的數據分析觀念，最有效的方法莫過于讓學生親身經歷統計的全過程。

“綜合與實踐”活動是一類以問題為載體、教師通過問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動，有助于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題。其中，統計型的“綜合與實踐”活動更是能恰到好處地引導學生親近數據、感悟數據、理解數據、運用數據，從而建立數感，培養數據分析觀念。下面，筆者以自主開發的五年級數學“綜合與實踐”活動“釘板游戲中的可能性”的教學為例，談一談對數學“綜合與實踐”教學的思考。

【教學過程】

一、課前談話，激發探究興趣

播放中央電視臺財經頻道《是真的嗎?》節目視頻。

生1：我看到，從同一位置掉落的小球能自動形成山丘狀。

生2：不可能，球會滾動，不會形成山丘。

生3：說不定也有可能，節目中的那個道具有點玄機。

師：到底是不是真的？今天這節課我們就一起來研究研究。

二、問題驅動，規劃研究方案

（一）提出設想

出示釘板游戲學具。（學具示意圖如圖1所示）

生：板子上有很多類似________________釘子的東西，下面被分成了很多不同的區域，還配有6個小圓片。

師：在數學上，我們稱它為釘板游戲。將圓片從這個規定口投入，讓它自由落下，你覺得它會落到哪個區域呢？（示范）

（圖1）

生1：可能落到D杯，可能落到R杯，還可能落到I杯，底下這幾個杯子都有可能。

生2：可能性大小不一樣，落入中間兩個杯子的可能性大一點，越往兩邊可能性越小。

生3：我覺得可能性是相等的，這樣公平。

（二）制定研究方案

師：誰有好辦法，能讓大家真真切切地看到落入不同區域的可能性究竟是什么樣的？

生1：將圓片從這個口投幾次看看。

生2：對，多投幾次，落到哪個區域的次數多就說明落到那個區域的可能性大。

師：你們準備怎么做實驗呢？

組1：我們準備分三步，第一步做實驗，第二步記錄每次的情況，第三步觀察實驗的結果。

組2：做一張表格，寫上D、R、I、N、K、O 等區域，然后對應著畫正字記錄。實驗后計算出落入各個區域的總次數，并分析結果，得出結論。

組3：另外，次數不能太少，越多越好。60次左右吧，次數越多，實驗結果越可信。

師：是啊，還記得數學家驗證硬幣落下的可能性大小時做的實驗嗎？成千上萬次呢！次數越多，很大程度上越能反映可能性的情況。根據大家的想法，我們可以整理出這樣一份研究方案。（出示圖2）

（圖2）

三、問題解決，經歷統計全過程

（一）分享實驗情況

組1：我們一開始的猜想，是落入不同區域的可能性是相等的。經過實驗，我們發現釘板游戲中圓片從規定入口落下，落入中間區域的可能性大一些，落入兩邊的可能性小一些。

組2：我們每個小組的實驗數據各不相同，但大多都是落入中間的次數多，落入兩邊的次數少。看來，釘板游戲中圓片從規定入口落下，落入中間的可能性大，落入兩邊的可能性小。

組3：我們一開始也認為圓片落入中間的可能性大，落入兩邊的可能性小，但實驗后，I區域是12 次，R 區域是18 次，落入兩邊的次數大于落入中間的次數，不符合我們的猜想。

生1：有這樣的可能，落入中間區域的可能性大，并不代表落入的次數一定就多，落入兩邊的可能性小，也還是有可能落入的。

生2：這只是特殊情況，如果整體觀察，大部分組都是符合猜想的。其實，將我們各個組的數據加起來看看就知道了。

（二）開展數據分析

師（出示表1）：這就是我們班今天實驗的整體情況，現在你有什么想說的？

表1 釘板游戲情況匯總表

生1：數據足夠多時，落入中間區域的次數明顯大于落入兩邊區域的次數，這正說明在釘板游戲中，圓片落入中間區域的可能性大，落入兩邊的可能性小。

生2：我們還可以根據統計表里的數據繪制出條形統計圖。（如下頁圖3）

生3：可以看到落入中間區域的次數明顯大于落入兩邊區域的次數，反映出落入中間區域的可能性大于落入兩邊區域的可能性。

（圖3）

師：連接最高點，還真就像是一座——

生：小山丘。

四、問題反思，數學解釋可能性大小

（一）引發思考

師：大家有沒有想過，是什么原因導致了這樣的現象呢？

生1：因為圓片從規定入口落下，落入中間區域的可能性大，越往兩邊可能性越小，投入口的位置至關重要。

生2：釘板游戲中有那么多的釘子障礙物，圓片落下去，會碰到釘子，圓片就有兩種可能進入下一層。

師：他們關注到是這些通道和障礙物影響了圓片落下的可能性大小，那到底是不是這樣呢？

（二）探究原理

師：請大家借助示意圖自己研究研究，然后試著從數學的角度更加具體地解釋解釋。

（三）交流討論

組1：我們用小豎線表示出每一次的情況，可以看出不管是哪一層，通過中間區域的可能性都比兩邊大。

組2：我們是用數字來表示的。如果把通過這個通道的可能性用1 來表示，那這個通道的可能性就可以用2來表示，以此類推。

組3：我們是用分數來表示每一個通道的可能性大小的，以第2層為例，一共有2種可能，那每個通道的可能性就可以用二分之一來表示；第三層一共有4 種可能，那每個通道的可能性就分別占四分之一、四分之二和四分之一。分數的大小正說明了可能性的大小。

師：同學們太厲害了，不僅用實驗直觀驗證了釘板游戲可能性的大小情況，更從數學的角度解釋了可能性大小出現的原因。

（四）提出問題

師：看著釘板游戲的示意圖，再想一想，對于這個釘板游戲，我們還可以研究什么呢？

生：如果不規定投入口，任意口都可以投入，會發生什么情況呢？

師：這可是在科學家的基礎上又往前邁了一步！有興趣的同學課后可以去探究探究。

五、問題延伸，指向更復雜的可能性事件

師：在生活中，你有沒有遇到過類似的釘板游戲呢？

出示：某商場準備用這個釘板游戲裝置設置抽獎，如果你是商場經理，會怎樣來安排一、二、三等獎？如果你是顧客，會怎么想？

【評析】

“釘板游戲中的可能性”著重研究隨機現象中的可能性大小情況，是一個利用統計知識和方法來解決問題的活動，主要引導學生收集和整理數據、分析和解釋數據，然后用數據來說明、解釋并解決問題。這也是一次綜合性和實踐性都比較強的活動，無論是活動方案的設計、實驗數據的收集與整理、根據事實得出結論，還是從數學的角度去解釋可能性的情況，都需要學生通過小組合作完成。本節課教學，金老師精心設計了“猜想—驗證—結論—解釋”四個環節的活動，引導學生親歷發現、提出、分析和解決問題的全過程，并在這一過程中積累數學活動經驗，發展數據分析觀念，較好地詮釋了數學“綜合與實踐”教學的核心價值。

一、基于現實背景，激發數據分析興趣

對學生來講，不論是統計對象、統計過程還是統計結果，只有現實的、有意義的活動才能真正促進其數據分析觀念的發展。“綜合與實踐”著力體現通過活動去實際解決一個實踐問題的過程，它的源頭大多是具有現實背景的專題。金老師自編選材，由生活中的彈球游戲想到了高爾頓板，特別有眼光。課上則由電視節目導入，從“從同一位置掉落的小球，能自動形成山丘狀嗎？”這一值得研究的問題出發，激活學生的已有經驗，促使他們產生進一步研究的心理需求。只有學生真正感興趣了，他們才會設身處地地以主人翁的身份參與其中，引發數據分析的需求，知道以數據為載體的統計活動是解決實際問題的需要，體會“只有用數據說話才能有理有據”的統計思想。

二、借助親身經歷，培養數據分析觀念

觀念是人們通過不斷親身經歷而建立的，教師應該盡可能地為學生經歷數據分析的全過程提供時間和空間。學生只有親身經歷了調查研究、收集數據、整理數據、分析數據、做出預測和決策、交流評價等一系列經驗性體驗，才能真正親近數據、感受數據，從而培養數據分析觀念。金老師特別重視學生對收集、整理、匯總和分析數據這一系列統計活動的整體感悟。讓學生充分體驗調查、收集數據的過程，看似耗時低效，實則意義深遠。在分析數據這一環節，金老師將全班的實驗數據用統計表和條形統計圖的形式直觀地表示出來，學生不僅能看到眼前的數據信息，還能對數據進行思考，做出簡單的判斷和推理，挖掘到數據背后的信息，充分體會數據蘊含的豐富信息，獲得描述和分析數據的經驗，統計意識不斷得到培養和提升。

三、重視回顧反思，提升數據分析經驗

美籍匈牙利數學家波利亞將解題過程分為四個步驟，其中最后一個步驟便是“回顧反思”。學生每一次學習的知識很大一部分是后續學習的起點，“綜合與實踐”教學也不例外，金老師在活動結束后引導學生對整節課進行回顧反思，既關注到具體的知識、技能與過程、方法，更關注到學生在活動中解決問題的感受與體驗，突出了數據分析對于問題解決的價值。通過回顧反思，逐步幫助學生提升收集、整理和分析數據的活動經驗，從而總結出方法，為后續的學習奠定基礎。

數據分析觀念的發展是一種日積月累的沉淀，它指向未來學生所具備的核心素養，因而需要我們在數學教學中引導學生有意識地體驗到數據在分析、解決問題過程中的作用和價值，以期加強他們遇到問題主動運用數據說話的意識，并自覺地想到從不同的角度分析數據，從而更加主動且有效地發展數據分析觀念。“綜合與實踐”作為一個相對來說比較新的數學課程內容，大家對其已經進行了一些嘗試，積累了一些體會與經驗。但它的教育價值還有待進一步開發，教學方式和方法還需要進一步創新，如果教師能夠結合本地實際和學生實際進行思考，自覺成為課程開發的有心人，就有可能創編更多有現實性和針對性的“綜合與實踐”活動，從而培養學生的綜合素養，同時讓小學數學教學效果邁上一個新的臺階。