具有資產重組和流動性風險公司債券的定價

林建偉 王志煥

(1.莆田學院數學與金融學院,福建莆田 351100;2.華僑大學數學科學學院,福建泉州 362000;3.金融數學福建省高校重點實驗室,福建莆田 351100)

1 引 言

公司債券和股票定價問題是金融數學研究的熱點問題,其定價的合理性直接決定著發行股票和債券公司的融資成本和公司的經營效率.Merton[1]首次開創了結構化方法,對公司債券和股票進行定價.Merton的工作奠定了公司債券定價研究的基礎, 但仍存在信用利差估計偏低的問題.基于Merton的工作,大量文獻從不同角度進行推廣和改進,Black等[2]提出首次時間通過模型考慮公司債券定價問題;Leland[3]利用結構化方法,通過選取最佳破產邊界,完成了永久付息票公司債券的定價;Longstaff 等[4]在隨機利率背景下,考慮公司債券定價問題; Zhou[5]在公司資產演化服從跳擴散模型下, 采用隨機分析方法對公司債券進行定價; Chen 等[6]在公司資產演化服從雙指數跳擴散模型下,采用隨機分析方法考慮了永久公司債券定價問題等.但上述文獻都假定公司一旦宣布破產,立即被清算,這與實際市場不符合.事實上,破產公司有權申請資產重組保護, 獲得一個暫時喘息的機會, 并希望通過資產重組, 使公司擺脫困境.鑒于此, Fan 等[7]首先提出策略債務支付和股票債券互換兩種不同資產重組模式,采用結構化方法對于具有無限破產保護期永久公司債券進行定價, Fan等[7]的工作為后來人們研究資產重組公司債券定價問題提供了堅實的基礎;Francois等[8]在Fan等[7]工作基礎上,采用隨機分析理論和方法,考慮了具有有限破產保護期永久公司債券定價問題;林建偉[9]采用偏微分方程方法和結構化方法,推廣Francois等[8]模型至考慮公司在有限破產保護期內策略債務支付息票大小;Broadie 等[10]采用二叉樹方法,考慮了具有有限破產保護期有限到期日公司債券定價的離散模型;Dai 等[11]通過偏微分方程方法和最優停時技巧,在Broadie 等[10]模型基礎上,考慮了相應定價的連續模型;林建偉等[12]采用結構化方法,考慮具有無限破產保護期和有限到期日公司債券定價問題,通過偏微分方程懲罰函數的方法從理論上嚴格證明了最佳破產邊界的存在唯一性和單調性等性質.但上述文獻都僅考慮公司的破產風險,而沒有考慮公司債券的流動性風險.實際上,流動性是債券市場的生命力所在, 市場的流動性越高, 進行即時交易的成本就越低, 公司的融資成本越低.但市場流動性不足,將使公司增加額外的融資成本,即支付給債券持有者的流動性溢價.Leland 等[13]首次通過滾存風險建立信用風險和流動性風險之間的相關性,基于結構化方法獲得了公司債券的定價公式和最佳破產邊界,其工作為處理信用風險和流動性風險相關性奠定了堅實的基礎,具有開創性意義.不足之處在于模型假定債券二級市場具有充足的流動性,與實際市場不符.He等[14]在Leland 等[13]基礎上,通過強度為ξ的Poisson過程來刻畫流動性沖擊所發生的次數,通過偏微分方程的方法和Laplace變換的技巧,獲得了公司債券,股票價值和最佳破產邊界的表達式;He等[15]進一步考慮具有內生債券流動性沖擊強度ξ相應的公司債券定價問題;Ericsson等[16]在流動性沖擊強度服從CIR模型[17]下,考慮了具有流動性風險公司債券的定價問題;周芳等[18]在公司資產價值受宏觀市場風險和微觀流動性風險影響下,且兩種風險因素之間存在相關性條件下,考慮了具有流動性風險因素的風險資產定價問題;Bongaerts等[19]在流動性風險和違約風險相互獨立前提下,利用資產定價方法,對具有流動性風險公司債券進行定價,并考察流動性水平和流動性風險關于定價的影響.但上述文獻都沒有考慮資產重組條款和公司資產的跳躍情形,這與實際不符.事實上,金融市場上常常由于突發事件,自然災害,重大信息的到來造成公司資產價值的劇烈震蕩,單純的幾何布朗運動連續性特征已經不能準確刻畫公司資產價值演化過程,而引入跳擴散模型能夠更好地刻畫公司資產價值的連續性和跳躍性,因此公司資產價值跳擴散特征的準確刻畫對于公司債券定價的準確性具有重要意義.同時公司宣布破產時,公司資產重組這一重要條款也是影響公司債券定價的重要因素.

鑒于此,本文擬在He 等[14]的工作的基礎上,統一考慮資產跳躍風險、資產重組條款和債券流動性風險這三個重要經濟指標對公司債券定價的影響問題.即在公司標的資產服從跳擴散模型下,基于Fan 等[7]提出的股票債券互換資產重組模式,綜合采用隨機分析的理論方法和結構化方法,考慮具有資產重組和流動性風險的公司債券定價問題,建立相應公司債券和股票定價的數學模型,通過偏微分方程方法和Laplace 變換技巧,獲得公司債券和股票定價的顯式表達式,以及最佳破產邊界解的表達式,并基于定價公式,分析公司資產的跳躍風險、資產重組和流動性風險對定價的影響和所隱含的金融意義.

2 具有資產重組和流動性風險公司債券的定價

2.1 模型基本假設和納什均衡分配

2.1.1 基本假設

1) 市場無套利和無風險利率為常數r.

2) 在概率測度空間(Ω,F,{Ft}t≥0,Q)上,公司資產價值Vt演化過程服從跳擴散模型

其中δ表示公司總的現金支付比率,σ表示公司資產的波動率,{Zt}t≥0和{ut}t≥0分別表示鞅測度Q下的標準布朗運動和具有強度為λ的Poisson點過程,且假定兩者互相獨立.

3) 固定債務結構: 公司在任意時刻保持一個連續債券,累積未付本金共P元,累積支付息票每年共C元.構成連續債券中每個單一債券具有相同到期日T,且連續債券中各單一債券到期時間是均勻分布的,即在任意時間段(t,t+dt)上,連續債券的份債券將到期,且需要發行新債券去替換.

4) 新舊債券替換規定: 當連續債券中單一債券到期,公司將發行具有相同到期日和本金的新債券進行替換.新發行債券的市場價格可能高于或低于到期債券的本金,為了保持連續債券的結構,兩者產生的盈利或虧損將由公司的股東承擔,即若兩者差額為正,將直接作為紅利支付給股東,但若差額為負,公司將增發股票,通過股票稀釋來彌補損失.

5) 債券流動性風險: 債券持有者面臨著債券市場流動性的沖擊,沖擊時刻通過具有強度為ξ的Poisson點過程{wt}t≥0的跳躍時刻刻畫,且假定{wt}t≥0,{Zt}t≥0和{ut}t≥0三者相互獨立.當沖擊時刻發生時,債券持有者被迫按照市場價的(1?k)比例出售債券合約,這里0

6) 股東按紅利獲得收益,且最佳破產邊界VB通過使得股票價值最大化選取.

7) 稅盾收益和清算風險: 公司因發行債券可獲得每年稅盾收益πC元,這里0<π <1表示稅盾比例,但當公司宣布破產時,公司將損失α(0<α<1)比例的資產價值.

8) 資產重組模式—股票債券互換模式(Fan等[7]): 當公司宣布破產時,公司首先將債券等價轉化為股票,使得公司成為全股票融資公司,然后向外界投資者出售,獲得破產時刻公司的資產價值VB,由此避免直接清算造成的資產損失αVB.最后根據納什均衡原理對公司的資產價值VB在債權人和股東之間進行重組,并確定債權人和股東相應最佳分配比例.

2.1.2 納什均衡分配

當公司的資產價值下降觸碰到公司的最佳破產邊界VB時,公司宣布破產,若公司直接被清算,股票價值將一文不值,債券的價值為(1?α)VB;但是若公司進行資產重組,由基本假設8),債權人和股東按照納什均衡分配原理對公司的資產價值VB進行重新分配,即

W(VB)=θVB,D(VB)=(1?θ)VB,

其中W(V)和D(V)分別表示股票價值和全部債券價值,θ表示股東的分配比例.

由納什均衡分配原理,最佳分配比例θ?確定如下

其中ρ(0 ≤ρ≤1)表示股東的談判能力.因此,破產時刻股票和債券的價值表示為

W(VB)=αρVB,D(VB)=(1?αρ)VB.

2.2 單位連續債券價值定價

等式(1)右邊第一項表示從初始時刻到債券最終停時時刻單位連續債券所獲得的息票收益.第二項表示在最終停時時刻單位連續債券價值的貼現值:若發生流動性沖擊,按照模型基本假設5)計算單位連續債券價值,債券持有者只能按照市場價的(1?k)比例出售債券合約;若公司宣布破產,公司按照股票債券互換資產重組模式進行資產重組,并依據納什均衡分配原理,單位連續債券價值為若到期,單位連續債券持有者將獲得本金p元.

基于單位連續債券b(Vt,gt),通過動態規劃原理和It公式,可得單位連續債券價值b(V,g)滿足

對定解問題(P2)進行求解,并返回原變量,有下列結論.

定理1任意給定破產邊界VB,單位連續債券價值b(V,g)解的顯式表達式表示為

其中

基于單位連續債券價值b(V,g)公式(5),對于任意給定破產邊界VB,公司全部債券價值D(V)和單位連續債券的信用利差J能分別表示為

其中R滿足如下等式

式(8)右邊表示一張具有常數息票c和到期本金p以及貼現率為R的無風險債券的價值.

2.3 公司股票價值定價

對于任一公司宣布破產時刻(停時)τB,由上述模型的基本假定4),6)和8),在風險中性測度Q下,股票價值的數學模型描述為

其中T[0,+∞)表示所有破產停時的集合.等式(9)右邊第一項表示從初始時刻到停時時刻股東獲得的紅利收益貼現值.第二項表示為了保持連續債券的結構,任意時間段[t,t+dt]上,新舊債券替換所產生的盈利或虧損[b(Vt,T)?p]dt由公司的股東承擔,第三項表示破產時刻,公司通過資產重組獲得收益貼現值.

基于公司股票價值W(V)的數學模型(9),通過動態規劃原理和It公式,以及結合確定最優破產邊界條件–光滑通過條件,可得W(V)滿足的自由邊界問題為

注意到方程(10)左端含有單位連續債券價值b(V,T),這給自由邊界問題(Q1)的求解帶來了一定難度,通常的常微分方程的方法無法對其進行求解,借助Laplace變換技巧進行求解,有下列結論.

定理2公司的股票價值W(V)和最佳破產邊界VB的表達式分別為

詳細的求解過程見附錄.

3 數值分析

基于公司債券和股票的定價公式(5)和公式(15), 以及最佳破產邊界和信用利差表達式(14)和式(7), 通過與He和Xiong(HX)[14]模型1He和Xiong(HX)模型里不考慮公司資產跳躍風險和資產重組條款.比較,分析公司資產跳躍風險和資產重組條款對于公司破產邊界和信用利差的影響,以及考察對公司債券和股票價值變化情況.為了方便與HX模型作比較, 選擇HX模型里基本參數作為數值計算的基本參數,即:P= 61.68,V0= 100,T= 1,r= 0.08,δ= 0.02,σ= 0.23,C= 6.39,π=0.27,λ=0.05,ξ=1,k=0.01,ρ=0.5,α=0.4.

圖1～圖4顯示當公司資產跳躍強度為零時,相比于HX模型,資產重組條款對于最佳破產邊界,股票價值, 公司債券價值和信用利差所造成的影響.圖1表明最佳破產邊界隨著股東談判因子增大而增大, 但僅當η充分大時,最佳破產邊界值才高于HX 模型中的最佳破產邊界值.同時,最佳破產邊界值關于債券流動性風險單調增加.實際上,在債券流動性風險存在背景下,股東宣布破產時機選擇主要權衡兩個主要因素:資產重組獲益的大小和承擔新舊債券替換虧損的大小.特別當η= 0.9時,股東能從資產重組中獲得足夠多的利益,第一因素起主要作用,因此股東有更強的意愿提前宣布破產而進入重組程序,使得自己權益最大化.此外,由于公司債券流動性風險越大,股東承擔新舊債券替換虧損風險增大,股東面臨的破產風險增大,因此最佳破產邊界值越高.

圖1 最佳破產邊界VB關于η的變化關系(λ=0)Fig.1 The relationship between optimal bankruptcy boundary VB and η when λ=0

圖2和圖3表明股票價值隨著自身談判因子增大而增大,但股東和債權人能否借助于資產重組條款獲益依賴于自身談判因子的大小.相比于HX模型,在債券流動性風險存在背景下,股東和債權人往往只能在自身談判因子充分大時借助于資產重組條款獲益.圖4表明公司債券的信用利差隨著股東談判因子增大而增大.實際上,當股東談判因子比較大時,股東有更強意愿提前宣布破產,并借助于資產重組條款來最大化自身的利益,由此導致債權人獲得息票收益總和減少,降低了公司債券價值,從而提高了公司債券的信用利差.

圖2 股票價值W關于η的變化關系(λ=0)Fig.2 The relationship between equity value W and η when λ=0

圖3 債券價值b關于η的變化關系(λ=0)Fig.3 The relationship between debt value b and η when λ=0

圖4 信用利差J關于η的變化關系(λ=0)Fig.4 The relationship between credit spread J and η when λ=0

圖5～圖8顯示當資產重組條款不存在,但公司資產存在跳躍風險時,相比于HX模型,公司資產跳躍風險對于最佳破產邊界,股票價值,公司債券價值和信用利差所造成的影響.從圖5～圖8可以看出,相比于HX模型,在公司債券流動性風險存在背景下,公司資產跳躍風險降低了公司的破產風險,降低了公司股票和債券的價值,提高了公司債券的信用利差.實際上,當公司資產存在不穩定的因素比較多時,公司發行的股票和債券對于投資者的吸引度和青睞度減弱,由此導致公司股票和債券的市場價值下降,增大公司債券的信用利差.

圖5 最佳破產邊界VB關于ξ的變化關系(λ=0.05)Fig.5 The relationship between optimal bankruptcy boundary VB and ξ when λ=0.05

圖6 股票價值W關于V 的變化關系(λ=0.05)Fig.6 The relationship between equity value W and V when λ=0.05

圖8 信用利差J關于ξ的變化關系(λ=0.05)Fig.8 The relationship between credit spread J and ξ when λ=0.05

4 結束語

在公司資產價值服從跳擴散模型下,基于Fan等[7]提出股票債券互換資產重組模式,綜合運用隨機分析理論和結構化方法考慮具有資產重組和流動性風險公司債券定價問題,刻畫了公司債券和股票價值定價的數學模型,并通過偏微分方程的方法和Laplace 變換技巧,獲得了公司債券和股票定價解的顯式表達式,以及最佳破產邊界解的解析表達式.

附錄

定理2的求解過程:

對方程(16)兩邊取Laplace變換,可得

根據Laplace變換的性質,以及結合邊界條件(17)和邊界條件(19),可得

由此可得

進一步化簡可得

其中η,γ為如下方程的兩根,即

且滿足η=z ?a>1和γ=a+z >0,這里

利用b(V,T)的表達式(5),進一步整理可得

由此可得

記M(x;w,a+w,q)=?K(x;w,q), M(x;w,o,a+w)=K(x;w,o),則

由此可得

另外,容易計算

根據定解條件(18), 可知當x →+∞時,W(x)關于ex線性增長, 又由于η >1和γ >0, 可得當x →+∞時, 式子(23)中eηx項的系數必須為零,即

記

式(24)進一步簡化為

由此即可求得最佳破產邊界VB的表達式(14).

最后,綜合式(23)和式(24),并返回原變量V,可得到W(V)的表達式(15). 證畢.