結(jié)構(gòu)可靠性分析的自適應(yīng)共軛非線性近似方法

邱繼偉， 羅海勝

(中國兵器工業(yè)標準化研究所， 北京 100089)

0 引言

可靠性作為通用質(zhì)量特性的核心，長久以來制約著我國兵器裝備及其相關(guān)技術(shù)向更高層次推進，致使我國目前的裝備質(zhì)量水平相對于歐美軍事強國有較大差距。提升兵器裝備的通用質(zhì)量特性，必須將強化其可靠性水平作為重要目標，因此系統(tǒng)、深入地開展可靠性相關(guān)工作仍將是當前及未來相當長時期內(nèi)我國兵器裝備領(lǐng)域研究的重點，也是提升裝備通用質(zhì)量特性的關(guān)鍵。

兵器裝備是典型的機電產(chǎn)品，機械產(chǎn)品占有較大比重。因此，針對機械類產(chǎn)品和零部件進行的可靠性分析、設(shè)計等工作對提升裝備整體通用質(zhì)量特性具有重要作用。機械產(chǎn)品可靠性分析的主要目標是計算其在規(guī)定工況下的失效概率Pf[1]：

(1)

式中：X為基本隨機變量所組成的向量，X=[x1,x2,…,xn]T；g(X)為產(chǎn)品可靠性極限狀態(tài)函數(shù)，g(X)≤0表示產(chǎn)品處于不可靠狀態(tài)；fX(x1,x2,…,xn)為隨機向量X各分量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；上述及下文中，n∈N.

實際工程中，基本隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(x1,x2,…,xn)難以得到，同時，(1)式中的多重積分也難以求解。通常情況下，可采用兩類方法進行機械產(chǎn)品失效概率的近似計算，即解析方法和數(shù)值模擬方法。解析方法中以1階可靠性方法[2-4](FORM)和2階可靠性方法[5-6](SORM)最為實用，兩類方法在本質(zhì)上都是利用梯度和曲率等幾何條件，對極限狀態(tài)函數(shù)進行局部近似，進而求得所需的可靠度系數(shù)。數(shù)值模擬方法以蒙特卡洛仿真[7-8](MCS)為基礎(chǔ)，通過抽樣方法對(1)式中的多重積分進行近似求解；對于無法獲得顯式極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性分析問題，可通過構(gòu)建代理模型[9-13]對產(chǎn)品的真實極限狀態(tài)函數(shù)進行近似，進而采用數(shù)值模擬方法計算其失效概率。

目前，求解結(jié)構(gòu)可靠性分析問題解析方法均不同程度地以FORM中經(jīng)典的Hasofer-Lind and Rackwitz-Fiesslen(HL-RF)方法[14]或有限步長法[15](FSLM)為基礎(chǔ)，利用迭代設(shè)計點的極限狀態(tài)函數(shù)值及其梯度等單點局部信息，近似求解響應(yīng)的可靠度系數(shù)。Santosh等[16]基于Armijo準則，通過設(shè)計有限迭代步長對HL-RF算法進行了改進。Yang[17]利用穩(wěn)態(tài)變換方法(STM)，并基于混沌反饋控制算法改進了經(jīng)典FORM算法的穩(wěn)定性。雖然FSLM、STM和方向STM[18]等方法相對于HL-RF方法具有較高的計算穩(wěn)定性，但迭代步長和控制參數(shù)的選擇會顯著影響上述3類方法的計算效率[19]。同時，一些改進的HL-RF方法，例如松弛HL-RF方法[20]、混合松弛HL-RF方法[20]、混沌共軛穩(wěn)定性變換方法[21]等，雖然可以改善計算過程的穩(wěn)定性，然而線性或弱非線性問題的求解效率則遠遠低于HL-RF方法。

基于經(jīng)典FORM進行結(jié)構(gòu)可靠性分析時，關(guān)鍵在于對非線性問題求解的高效性及穩(wěn)定性。前述方法在迭代求解可靠度系數(shù)時，僅利用了單一迭代設(shè)計點的極限狀態(tài)函數(shù)值與梯度值等局部信息，極易導(dǎo)致計算的不穩(wěn)定性。因此，本文在兩點自適應(yīng)非線性近似(TANA)方法的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)建共軛搜索方向，并利用當前迭代設(shè)計點和以往若干步迭代設(shè)計點的信息(包括精確極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值)，提出一種自適應(yīng)共軛非線性近似(SACS-TANA)方法，在迭代過程中自動調(diào)整近似模型的非線性指數(shù)和搜索方向，提高對非線性可靠性問題求解的效率和穩(wěn)定性。最后，通過3個案例驗證了所提方法的適用性。

1 FORM概述

應(yīng)用FORM進行結(jié)構(gòu)可靠性分析的最終目標是根據(jù)其極限狀態(tài)函數(shù)，在標準正態(tài)隨機變量所張成的空間(以下簡稱標準空間)中尋找結(jié)構(gòu)的最可能失效點(MPP)[22]，即極限狀態(tài)函數(shù)所表示的曲面上與標準空間原點距離最近的點，也稱為設(shè)計點。因此MPP的搜索問題可以表述為如下最優(yōu)化問題[19]：

(2)

式中：β表示結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)曲面上的點與標準空間原點的歐式距離；g(P)=0為標準空間中的極限狀態(tài)曲面方程；P表示隨機變量X在標準正態(tài)空間內(nèi)的映射，通常需要由物理隨機空間變換到標準正態(tài)空間。該優(yōu)化問題的最優(yōu)解用P*表示，其意義為MPP點。MPP點對應(yīng)可靠度系數(shù)即為β*，則β*=‖(P*)TP*‖。

針對上述最優(yōu)化問題，Hasofer等[23]首先提出了HL方法，采用迭代公式(3)式求得標準空間中的設(shè)計點P*：

(3)

HL方法以及在此基礎(chǔ)上的各種改進迭代算法(如HL-RF方法、STM、FSLM等)對于極限狀態(tài)函數(shù)進行了基于泰勒技術(shù)展開的線性近似，且僅利用了標準空間中單點處的局部信息，包括其極限狀態(tài)函數(shù)值與梯度向量。然而，當極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度較高時，基于單點函數(shù)值及梯度值的迭代算法極易出現(xiàn)求解結(jié)果振蕩或陷入局部最優(yōu)，迭代過程難以繼續(xù)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠度計算結(jié)果失真甚至錯誤。

2 基于自適應(yīng)共軛搜索方向的TANA方法

2.1 TANA方法基本原理

TANA模型由Wang等[24]提出，在對(2)式表示的最優(yōu)化問題進行迭代計算的過程中，采用當前迭代點和上一迭代點的函數(shù)值和梯度信息構(gòu)建近似極限狀態(tài)函數(shù)，并利用自適應(yīng)干涉變量的泰勒級數(shù)展開式進行近似。構(gòu)建TANA模型的主要步驟如下：

1) 在原始隨機變量所張成的空間(以下簡稱原始空間)中，構(gòu)建真實極限狀態(tài)曲面的近似函數(shù)為

(4)

2) 利用前次迭代點的信息計算(4)式中的自適應(yīng)非線性指數(shù)ρ為

(5)

(6)

式中：μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值與標準差。

由此可以看出，TANA方法在構(gòu)建近似極限狀態(tài)函數(shù)的過程中，利用了前次迭代設(shè)計點的極限狀態(tài)函數(shù)值信息，通過自動調(diào)整ρ值，獲得最優(yōu)的近似。TANA方法所構(gòu)建的模型對于非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)具有較好的局部近似能力[22]。

2.2 結(jié)構(gòu)可靠度計算的SACS-TANA方法

經(jīng)典FORM(例如HL方法、HL-RF方法、有限步長法等)在計算結(jié)構(gòu)可靠度的過程中，僅采用了當前迭代設(shè)計點的梯度信息，對于非線性程度較高的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，(3)式中的γk向量在迭代計算過程中很可能與之前迭代設(shè)計點處的梯度向量共線，進而造成迭代過程具有周期性，計算結(jié)果難以收斂于真實的設(shè)計點。因此，本文在基于TANA模型的基礎(chǔ)上，借鑒FR共軛方法[25](FRCM)，提出一種自適應(yīng)共軛搜索非線性近似計算方法，利用當前迭代設(shè)計點以及以往兩步迭代設(shè)計點的極限狀態(tài)函數(shù)值和梯度信息，在計算過程中對迭代搜索方向進行自適應(yīng)調(diào)整，避免求解過程的周期性，提高計算結(jié)果的穩(wěn)定性和精確性。

本文所提出的SACS-TANA方法具體步驟如下：

步驟1基本隨機變量的等效正態(tài)化處理。等效正態(tài)化處理后基本隨機變量所組成的向量表示為X=[x1,x2,…,xn]T.

步驟2進行第1次迭代過程。選擇等效正態(tài)化后的各隨機變量均值點作為初始迭代設(shè)計點，利用1階泰勒展開構(gòu)建初值點處的近似極限狀態(tài)函數(shù)，并計算初值點處的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值。

步驟3采用均值點法求解初始可靠度指標β1及相應(yīng)的方向余弦γ1=[γ11,γ12,…,γ1n]T，并計算新的設(shè)計點X1=[x1,1,x1,2,…,x1,n]：

x1,i=μxi+β1σxiγ1i，

(7)

式中：[μx1,μx2,…,μxn]T=μ和[σx1,σx2,…,σxn]T=σ分別為隨機向量X所對應(yīng)的均值向量和標準差向量。

步驟4重復(fù)步驟2、步驟3，得出新的迭代設(shè)計點Xk、Xk+1(k≥2)，并計算相應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值。

步驟5根據(jù)TANA方法的(4)式，在原始空間中利用設(shè)計點X2、X3的極限狀態(tài)函數(shù)值及梯度值構(gòu)建近似極限狀態(tài)函數(shù)，并基于(5)式計算自適應(yīng)非線性指數(shù)ρ.

步驟6利用(6)式將原始空間中的近似極限狀態(tài)函數(shù)變換到標準空間中，用上標c表示標準空間。

步驟7在標準空間中，構(gòu)建如下共軛搜索方向：

(8)

式中：ηk為共軛搜索方向向量，

(9)

系數(shù)ξk和θk分別定義如下：

(10)

(11)

步驟8計算得到新的設(shè)計點。根據(jù)(12)式迭代計算得出標準空間中新的設(shè)計點Pk+1=[pk+1,1,pk+1,2,…,pk+1,n]：

(12)

步驟9將標準空間中的設(shè)計點變換到原始空間中：

xk+1,i=μxi+σxipk+1,i.

(13)

步驟11得出結(jié)構(gòu)可靠度指標β=βk+1=‖Pk+1‖2.

3 案例分析

3.1 數(shù)值案例

3.1.1 數(shù)值案例1

考慮非線性極限狀態(tài)函數(shù)為

(14)

式中：隨機變量x1及x2服從相同的正態(tài)分布，二者的均值分別為μx1=10、μx2=9.9，標準差為σx1=σx2=5. 采用HL-RF方法、FR共軛方法、TANA方法與本文所提SACS-TANA方法計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應(yīng)的可靠度系數(shù)，在給定誤差限為0.001的前提下，與1 000 000次MCS結(jié)果[22]進行對比，如表1所示。

由表1可以看出，經(jīng)典FORM中的HL-RF方法在迭代21次后結(jié)果出現(xiàn)振蕩，且計算結(jié)果并未收斂至準確的可靠度系數(shù)；而本文所提出的SACS-TANA方法與未采用共軛搜索方向的經(jīng)典TANA方法，經(jīng)過3次迭代計算即可收斂至準確結(jié)果；基于共軛搜索方向的FRCM則經(jīng)過7次迭代收斂得到準確的可靠度系數(shù)。算例表明，采用共軛搜索方向且同時考慮近似模型本身非線性特征的SACS-TANA方法具有較高的精度及計算效率。

3.1.2 數(shù)值案例2

考慮如下高維極限狀態(tài)函數(shù)：

(15)

式中：隨機變量xi,i=1,2,…，n獨立同分布，服從均值為1、標準差σ=0.2的對數(shù)正態(tài)分布。本案例中，取n=100，采用1 000 000次MCS分析，得出上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應(yīng)的可靠度系數(shù)β=2.923 6[12](對應(yīng)的失效概率為Pf=1.73×10-3)。在規(guī)定迭代誤差為0.001的基礎(chǔ)上，利用HL-RF方法、FRC方法、TANA方法與本文所提出的SACS-TANA方法近似計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應(yīng)的可靠度系數(shù)，并與MCS分析結(jié)果進行對比，如表2所示。

表1 數(shù)值案例1可靠度系數(shù)迭代過程對比Tab.1 Comparative results of different methods for reliability index iteration of numerical example 1

表2 數(shù)值案例2可靠度系數(shù)迭代過程對比Tab.2 Comparative results of different methods for reliability index iteration of numerical example 2

由表2可以看出：經(jīng)典FORM中的HL-RF方法在迭代5次后，計算結(jié)果收斂至β=3.842 7(相對誤差為31.44%)；基于共軛搜索方向的FRCM，經(jīng)過7次迭代計算后結(jié)果收斂至β=3.106 1(相對誤差為6.24%)；未采用共軛搜索方向的經(jīng)典TANA方法，經(jīng)過5次迭代計算后，結(jié)果收斂至β=3.569 0(相對誤差為22.08%)；而本文所提出的SACS-TANA方法，經(jīng)過6次迭代計算即可收斂至準確結(jié)果β=2.920 0(相對誤差為0.12%)。綜合數(shù)值案例1、案例2的計算結(jié)果，表明本文所提出的SACS-TANA方法對于非線性及高維極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性指標求解均具有較好的適用性。

3.2 結(jié)構(gòu)可靠性分析案例

某錐體結(jié)構(gòu)的尺寸及其受載情況如圖1所示，其中，M和p分別為其所受的彎矩(N·m)和軸向壓力(N)，d為錐體壁厚(m)，α為傾斜角(rad)，ri為錐體內(nèi)徑(m)；ro為錐體外徑(m)。由彈塑性力學(xué)理論可知，錐體結(jié)構(gòu)屈曲失效模式所對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)[26]可表示為

圖1 錐體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic view of a conical structure

(16)

式中：E和ν分別為錐體材料的彈性模量和泊松比。

錐體結(jié)構(gòu)尺寸和載荷的詳細參數(shù)如表3所示。依據(jù)(16)式及表3中所列隨機參數(shù)的分布信息，分別利用HL-RF方法、FRC方法、TANA方法與本文所提出的SACS-TANA方法近似計算上述極限狀態(tài)函數(shù)所對應(yīng)的可靠度系數(shù)，迭代計算結(jié)果如圖2所示。

表3 錐體結(jié)構(gòu)尺寸及載荷參數(shù)Tab.3 Structural and loading parameters ofconical structure

圖2 基于不同方法的錐體結(jié)構(gòu)可靠度系數(shù)迭代計算過程Fig.2 Iteration calculation process of reliability index of conical structure based on different methods

由圖2可以看出，4種方法均可以收斂到最終的準確結(jié)果(β=4.632 489)，但相對于其他方法，本文所提出的SACS-TANA方法具有更高的計算效率。

4 結(jié)論

針對基于經(jīng)典FORM的各類結(jié)構(gòu)可靠性方法在求解非線性問題時的數(shù)值不穩(wěn)定性缺陷，本文提出了一種自適應(yīng)共軛非線性近似方法，通過3個案例驗證了該方法的適用性。所得主要結(jié)論如下：

1) 相對于基于1階泰勒級數(shù)展開并僅利用當前迭代設(shè)計點局部信息的各類迭代方法，由于本文所提方法利用以往迭代設(shè)計點的信息構(gòu)建了自適應(yīng)非線性近似模型，在保證計算效率的基礎(chǔ)上，計算精度較高，對于具有非線性極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性分析問題較為適用。

2) 本文所提出的自適應(yīng)共軛非線性近似方法，在TANA方法的基礎(chǔ)上，基于以往兩步迭代設(shè)計點信息，構(gòu)建了自適應(yīng)共軛搜索方向。相比于僅利用最速下降搜索方向的各類方法，本文所提方法在保證計算精度的基礎(chǔ)上，計算穩(wěn)定性更高。