聚焦度量核心要素?實現度量本質相通

汪開軍

【摘要】度量是小學數學圖形與幾何領域的重要內容，能發展培養學生的“量感”與“數感”。以面積的度量為例，這一知識在實際教學中存在著忽略度量核心要素的現象，容易造成學生“量感”的混亂與“數感”的不精確。鑒于此，可嘗試以“面積單位”和“計數個數”兩個核心要素一以貫之，從“長方形的面積”理解本質，到“多邊形的面積”類比遷移，再到“圓的面積”整體建構，實現面積度量本質相通。

【關鍵詞】面積度量;量感;核心要素;度量本質

一、聚焦核心，思“面積度量”的結構

1.教材分析：教材邏輯結構對教師教學的影響。筆者對人教版、北師大版和蘇教版教材中關于面積度量的相關內容進行了梳理分析，發現三個版本的教材推進面積度量的教學結構是一致的，都分為“長方形的面積”“多邊形的面積”和“圓的面積”，并安排在三個年級進行教學。在具體的教學建議方面，三者既有相同又有差異，主要體現在面積單位（或方格紙）的使用上。人教版教材使用最少，只在長方形和平行四邊形的面積中出現了面積單位;蘇教版教材用得最充分，在整個面積度量的教學中都用到了面積單位。在對面積單位的價值追求上，三個版本的教材都是在“長方形的面積”教學中讓學生理解面積度量的本質，同時發現面積單位的個數與長和寬的關系，從而得到長方形的面積計算公式。關于“多邊形的面積”，三個版本的教材都試圖借助方格紙讓學生發現平行四邊形的面積與底和高之間的關系，滲透轉化的思想方法;至于“三角形和梯形的面積”，基本上是運用轉化的思想方法進行面積計算公式的推導。關于“圓的面積”，人教版教材不再呈現面積單位，另兩個版本的教材則是以“面積單位無法精確度量圓的面積”這樣一個問題制造思維沖突，讓學生去探索得到圓的面積計算公式的新路徑。

從以上分析中可以發現，三個版本的教材都在推進面積度量的教學過程中逐漸淡化了面積度量的本質，突出了面積計算公式的推導。但脫離面積單位談面積單位的個數容易影響學生“量感”的發展，特別是人教版教材中平行四邊形的面積一課，要求“不滿一格的都按半格計算”的數法不利于培養學生的“數感”，因為教材所提供的平行四邊形在方格紙中將不滿一格的通過切拼之后正好都是完整的面積單位，與按半個計算的結果是相同的，但當遇到切拼之后不能組成完整的面積單位時，就會出現數的結果與實際結果不一致的情況。而且分三個階段教學面積的度量，加之教師教哪個年級只關注那個年級的教學內容的教學習慣，容易割裂知識之間的內在聯系，難以幫助學生建立結構化的領域知識框架。

2.學情分析：前期學習經驗對后續學習的影響。筆者在教學“圓的面積”之前進行了前測，試圖從學生對小學階段最后一個平面圖形面積的自主探究中了解前期學習經驗對后續學習的影響。前測題目為“要求學生想辦法知道一個圓的面積”，學生主要有三種體現不同邏輯起點的方法。方法一是用面積單位直接度量，它的邏輯起點在于任意圖形面積的度量，體現了面積度量的本質，但無法得到精確的度量結果。方法二和方法三都是將圓面積的度量與圓是曲邊圖形的特征相結合進行思考的，方法二是將圓轉化為長方形，它的邏輯起點在于長方形面積的度量;方法三是將圓切割成若干個扇形，并將扇形看成近似三角形，先得到一個三角形的面積再進一步得到整個圓的面積，它的邏輯起點在于三角形的面積計算，這兩種方法均可以得到圓面積的精確值，但沒有體現出面積度量的本質。由此可見，經過前期學習，大部分學生也已經脫離對面積單位的依賴，追求面積計算公式的推導，這與教材的編寫和教師的教學都有一定的關系。

3.重立結構：以面積度量的核心一以貫之。基于以上兩個維度的分析，筆者認為“面積的度量”領域教學是培養學生的“量感”和“數感”的重要內容，應該圍繞“面積單位”和“計數面積單位的個數”這兩個核心要素進行整體性的結構化教學，以面積度量的本質一以貫之。

“長方形的面積”是學生學習面積度量的開始，在這之前他們已經有了長度度量的經驗，認識了常用的面積單位。作為面積度量領域的種子課，教師要引導學生感悟面積度量的本質，建立面積度量的“量感”和“數感”。

基于面積度量的本質考慮，“多邊形的面積”具有整合的可能和必要。可能是因為平行四邊形、三角形和梯形的面積度量的核心仍是“面積單位”和“計數面積單位的個數”。必要是因為三者在用面積單位度量時都需要運用轉化的數學思想方法進行零散面積單位的歸整，以便更好地計數面積單位的個數。進行整合教學有利于促進學生對面積度量的兩個核心要素的深刻把握，進一步感悟面積度量的本質，為圓面積的度量作好鋪墊。

有了以上面積度量的基礎，在學習“圓的面積”時學生就會進行類比遷移，聚焦面積度量的核心，從面積度量的本質入手，并用“化曲為直”的數學思想方法解決無法直接精確度量的困難。在課的最后，引導學生對長方形、多邊形和圓的面積度量進行整體梳理，從而建立面積度量的結構化知識體系。

二、本質相通，建“面積度量”的結構

1.理解本質——“長方形的面積”。

【環節一】任務驅動促思維。

學習任務：給學生一個沒有標注長和寬（實際長為5cm，寬為3cm）的長方形，讓他們想辦法求出這個長方形的面積。

[設計意圖：用一個開放性的任務逼學生思考“用什么度量”和“如何計數”這兩個問題，同時促進其對面積概念的理解。]

【環節二】結構化作品求關聯。

教師整體呈現4幅結構化作品，作品①畫滿面積;作品②畫了一行5個面積單位和一列3個面積單位;作品③將長邊分成5段，寬邊分成3段;作品④測量并標注了長邊和寬邊的長度。通過觀察與比較，學生發現從作品①到作品④由用面積單位度量到度量邊的長度，度量的方式各不相同，但核心要素是相同的—用面積單位度量，數出里面包含了幾個面積單位。

[設計意圖：這是一組思維逐漸抽象的結構化作品，從作品①到作品④能夠幫助學生建模長方形的面積計算公式，從作品④到作品①可以讓學生直觀聚焦面積度量的兩個核心要素。]

【環節三】：建模追問悟本質。

在前一個環節的基礎上提煉出長方形的面積計算公式。教師追問：“為什么兩個長度相乘就是面積？”通過追問讓學生更深刻地理解抽象的面積計算公式的背后“隱藏”的是面積單位和面積單位的個數，感悟面積度量的本質。

[設計意圖：從直觀的擺面積單位的方法到抽象的公式法，“量”的屬性發生了變化—從大小屬性變成長短屬性，這容易導致學生“量感”混亂。上述追問讓學生看到計算公式中的長度實際上代表的是所擺面積單位的個數，它的本質還是在計數面積單位的總個數。]

2.類比遷移——“多邊形的面積”。

【環節一】任務驅動促思維。

學習任務：在格子圖（一個方格代表1cm2）中各畫出一個平行四邊形、三角形和梯形，要求學生數出這三個多邊形的面積，標注數字，讓別人一眼就能看出有幾個面積單位。

[設計意圖：平行四邊形、三角形和梯形屬于非直角圖形，學生無法用面積單位直接度量出面積的精確值，借助格子圖將學生數面積單位的思維過程記錄下來，為整體性的反饋提供結構化的材料。]

【環節二】結構化作品求關聯。

教師整體呈現一組學生的結構化作品，通過觀察與比較，求同求異，學生發現用面積單位度量平行四邊形、三角形和梯形的面積時會出現零碎的面積單位，要想精確地知道面積，就需要對零碎的面積單位進行歸整。歸整的方法主要有兩種：一種是零散歸整，即把能拼成一個完整的面積單位的兩小塊圖形拼在一起;一種是整體歸整，即將圖形某部分整塊切割，通過平移、旋轉，將幾個零碎的面積單位同時歸整。對方法進行擇優，學生認為整體歸整將原來的圖形轉化為了長方形，數起來會更加方便，為提煉面積計算公式打下較好基礎。

[設計意圖：圍繞“面積單位”“計數面積單位的個數”這兩個核心，對方法求同、求異和擇優，讓面積度量的本質深入人心。]

【環節三】建模追問悟本質。

在前一個環節的基礎上根據整體歸整的作品提煉出三種圖形的面積計算公式。教師追問：“為什么兩個長度相乘就是面積？”回顧探究的過程，學生明白兩個長度實際上分別代表的是面積單位每行的個數和行數，與長方形的面積度量是一致的。

[設計意圖：通過對三個圖形面積計算公式的提煉與追問，一方面與長方形面積的度量進行關聯，實現知識的類比遷移，另一方面使學生感悟度量的本質，結構化地推進面積度量的領域教學。]

3.整體建構——“圓的面積”。

【環節一】任務驅動促思維。

學習任務：給學生一個沒有標注半徑的圓，想辦法求出這個圓的面積。

[設計意圖：經過前期學習，學生已經理解并掌握了面積度量的本質，學會了用轉化的數學思想方法解決面積單位歸整的問題。因此教師以一個開放性的任務讓學生自主探究圓的面積，能讓不同的思維得到呈現。]

【環節二】結構化作品求關聯。

教師整體呈現6幅結構化的作品，①與②是直接用面積單位進行度量，③與④是利用化曲為直和等積變形的數學思想方法，將圓轉化為平行四邊形和長方形，⑤與⑥則是將圓均分成扇形，利用極限思想，將扇形的弧看成直邊，扇形也就成了近似的三角形。學生通過觀察發現，圓是曲邊圖形，直接用面積單位進行度量，零碎的面積單位無法歸整，所以只能得到一個近似值;將圓等積變形，均分的份數越多，轉化后的圖形就越接近長方形，長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，從而推導出面積計算公式;將圓切割成n個

三角形，三角形的底相當于圓周長的，高相當于圓的半徑，所以一個三角形的面積為，進而推導出圓的面積計算公式。

[設計意圖：整體呈現6幅有思維差異的作品，體現了從“無法精確度量”到“可以精確度量”的結構化思維的過程，使學生初步感悟圓面積度量與長方形、多邊形面積度量之間的關聯。]

【環節三】建模追問悟本質。

在前一個環節的基礎上提煉出長方形的面積計算公式。教師追問：為什么“πr”和“r”這兩個長度相乘就是面積？有了“長方形的面積”和“多邊形的面積”的學習基礎，學生已經能夠透過抽象的計算公式透視到“隱藏”著的“面積單位”和“面積單位”的個數。

[設計意圖：從“長方形的面積”到“多邊形的面積”教學，再到“圓的面積”教學，教師始終在用同一個問題進行追問，一方面是為了讓學生真正感悟度量的本質，另一方面是了幫助學生建立正確的“量感”。]

【環節四】回顧溝通建結構。

回顧長方形、平行四邊形和圓面積度量的整個學習過程，使學生明白將平行四邊形、三角形、梯形和圓轉化為長方形是為了方便用面積單位直接度量，理解計算公式中的長度其實都代表一行可以放幾個面積單位、可以放幾行，計算公式是為了更快捷方便地數出面積單位的個數。通過回顧梳理，讓學生聚焦面積度量的核心要素—面積單位和面積單位的個數，實現面積度量本質相通。

[設計意圖：本環節的教學在幫助學生梳理面積度量領域學習過程的基礎上，以“面積單位”和“計數面積單位的個數”為核心建立起結構化的領域知識體系，讓這部分數學知識從碎片化走向整體化。]

三、教學反思，話“領域教學”的建議

教材基于知識的邏輯結構以螺旋上升的方式，將同一領域具有一致的學科本質的學習內容編排在不同的年級，讓學生循序漸進地學習。但數學教師在教學過程中，容易割裂知識的內在聯系，造成知識的碎片化。美國心理學家布魯納認為，一門學科的課程應該決定于都能達到的，給那門學科以結構的根本原理的最基本的理解。為了達成這樣的目標，筆者認為可以從以下兩方面入手做好領域結構化教學。

1.體現學習內容的結構性。“長方形的面積”“多邊形的面積”和“圓的面積”作為圖形與幾何領域中“圖形的認識與測量”主題下的內容，都是對圖形的大小進行定量研究，它們的研究對象（面的大小）、研究工具（面積單位）和研究方法（計數面積單位的個數）都是相同的，因此教師要跳出教材以單元、冊為單位的編排結構，站在領域的高度整體分析，建構可系統推進的領域教學結構，有效地幫助學生建立結構化的知識體系。

2.保持學科本質的一致性。面積的本質是用一個“數”去刻畫一個面的大小，而這個“數”就是面積單位的個數。因此，無論是長方形的面積、多邊形的面積還是圓的面積，它們的本質并不是所要推導的面積計算公式，而是隱藏在計算公式背后的計數對象和計數對象的個數。計數對象反映了物體被度量的屬性，指向“量感”的培養，計數對象的個數反映了被度量屬性的大小，指向“數感”的培養。在領域結構化教學中，保持了學科本質的一致性，核心素養的培養就能得以落實。

【參考文獻】

[1]馬云鵬.聚焦核心概念 落實核心素養—《義務教育數學課程標準（2022年版）內容結構分析》[J].課程教材教法，2022（04）.

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