例談目標函數法解答圓錐曲線最值問題的策略

高宗杰

與圓錐曲線相關的最值問題是高中數學常見的綜合性問題，構建目標函數求解圓錐曲線最值問題，是常見的解題方法之一，也是學生應該掌握的解題策略.筆者從不同例題的不同目標函數構建形式入手分析，分別闡述圓錐曲線最值問題求解的策略.

1 構建分式函數

當根據問題條件構建的函數解析式為分式函數形式時，應轉化為“x+ax”的相似形式，進而運用均值不等式x+ax≥2x·ax=2a（x>0，a>0）解相關最值.解答問題時，首先假設與問題相關的變量，進而得到與之類似的分式函數解析式，運用均值不等式得到問題答案.

例1 已知橢圓標準方程為x24+y2=1，若矩形ABCD四邊均與橢圓相切，則該矩形面積的最值為.

解：①當矩形的一邊與坐標軸平行時，可知矩形面積S=8.

②當矩形的一邊不與坐標軸平行時，由矩形和橢圓的對稱性，設其中一邊所在直線的方程為y=kx+m，則其對邊直線方程為y=kx-m.

由y=kx+m，x2+4y2=4消去y并整理，得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0.由題意可得Δ=0，即4k2+1=m2，則這兩條平行線的距離d1=2m1+k2.

設另外兩邊所在直線的方程分別為y=-1kx+n，y=-1kx-n.

同理可得4k2+1=n2，則這兩條平行線的距離d2=2n1+1k2.

所以，矩形面積S=d1d2=2m1+k2·2n1+1k2=4×9k2+1k2+2+4.

因為k2+1k2≥2k2·1k2=2，當且僅當k2=1即k=±1時等號成立，所以

S=4×9k2+1k2+2∈8，10.

綜上所述，矩形面積的最大值為10，最小值為8.

2 構建二次函數

當構建的目標函數變或形如“ax2+bx+c”的形式時，則可以看成二次函數求最值進而解答.在求解過程中，首先用假設的變量表達所求問題，得到形如ax2+bx+c的表達式后變形為ax+b2a2+4ac-b24a，然后在變量的范圍內求出最值.下面結合案例介紹具體解題思路和步驟.

例2 已知橢圓T：x24+y2=1，若過點M（0，1）有兩條互相垂直的直線l1，l2，P為橢圓上的任意一點，記點P到l1，l2的距離分別為d1，d2，則d21+d22的最大值為.

解：①若直線l1，l2中一條直線的斜率為0，不妨設直線l1的方程為x=0，則直線l2的方程為y=1.設P（x，y），則d21+d22=x2+1-y2.

由點P在橢圓x24+y2=1上，得x2=4-4y2.

所以d21+d22=5-2y-3y2=-3y+132+163，y∈-1，1.

故當y=-13時，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值為433.

②若直線l1，l2斜率存在，且不為0，設直線l1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0，則直線l2的方程y=-1kx+1，即x+ky-k=0.

則d1=kx-y+11+k2，d2=x+ky-k1+k2.

所以d21+d22=kx-y+12+x+ky-k21+k2=x2+y2-2y+1

=5-4y2+y2-2y=5-3y2-2y=-3y+132+163，y∈-1，1.

故當y=-13時，d21+d22有最大值163，即d21+d22的最大值為433.

綜上所述，所求最大值為433.

點評：建立二次函數求解圓錐曲線的最值問題是比較常見的解題策略，將含有假設變量的表達式變形為ax+b2a2+4ac-b24a的形式后，根據變量取值范圍找到最值.可引申得到推廣例題.

推廣 已知P為拋物線y2=4x上的一點，Q為圓x-62+y2=1上的一點，則PQ的最小值為.

分析：設點P坐標為14m2，m.由

圓x-62+y2=1的圓心為A6，0，

得

PA2=14m2-62+m2=116m2-162+20≥20.

所以PA≥25.故PQ的最小值為25-1.

3 構建三角函數

當假設變量為角度時，構建的目標函數為三角函數，根據三角函數的有界性找到所求最值即可.解題時，首先找到需要假設的角度，其次表達所求問題，根據輔助角公式轉化為Asinωx+φ+B的形式，從而求得最值.具體解題步驟和思路如例3所示.

例3 已知橢圓C：x2a2+x2b2=1a>b>0，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，以AB為直徑的圓過右焦點F，若∠FAB=α，α∈π12，π3，則此時橢圓離心率的最值為.

解：設橢圓的另一焦點為F′，連接AF′，BF′，BF，如圖1所示.四邊形AFBF′為矩形，可得AB=FF′=2c，FA=2c·cos α，FB=2c·sin α.

由橢圓定義，可得

FA+AF′=FA+FB=2a.

所以2c·cos α+2c·sin α=2a.

因此，離心率

e=ca=1sin α+cos α=12sinα+π4.

又α∈π12，π3，

所以

2sinα+π4∈22，63.

所以橢圓離心率最大值為63，最小值為22.

點評：當問題中未提及角度變量時，可以根據已知條件特征假設相關角θ，也可以用sin θ或cos θ表示相關點的坐標，進而用sin θ或cos θ表示所求的值，從而通過角θ的范圍，求得最解.如以下推廣例題，構建三角函數求問題的最值.

推廣 已知點Q在橢圓C：x28+x24=1上運動，過點Q作圓x-12+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB的最小值為.

分析：圓x-12+y2=1的圓心C1，0，半徑r為1.如圖2所示，連接QC，交AB于點H，可得H是線段AB的中點，且AB⊥QC.

連接AC，BC，可得AC⊥QA，BC⊥QB，且QA=QB=QC2-1，AB=2AH=2QA·ACQC=21-1QC2.

設Q22cos θ，2sin θ，θ∈0，2π，

則QC2=22cos θ-12+2sin θ2=4cos θ-222+3，

當cos θ=22時，QC2取得最小值3.

所以，AB的最小值為21-13=263.

通過上述不同解題策略的介紹，不難發現構建目標函數求圓錐曲線的最值問題大致分為三種思路，其中三角函數、二次函數以及分式函數的構建都能夠有效求解問題.通過對這些解題思路的分析探究，啟示學生應該善于從試題中發現規律、總結解法，只有養成良好的學習習慣，才能收獲更多的積累.