“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學設(shè)計

王玉 孔德宏

摘要：以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）為模型的現(xiàn)象在生活中經(jīng)常可見，例如人造衛(wèi)星、摩天輪以及物理領(lǐng)域中的振動和波動等，足見其重要性.本教學設(shè)計中利用GeoGebra軟件研究此函數(shù)圖象，從“形”的角度觀察、“運動變化”的角度分析，最后從“數(shù)”的角度進行證明，進一步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：GeoGebra;函數(shù)y=Asin（ωx+φ）;數(shù)學核心素養(yǎng)

1 教學分析

1.1 教學內(nèi)容分析

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”選自人教版2019年A版必修一第五章第六節(jié).在上一課時，學生經(jīng)歷了筒車建模的過程，了解了每個參數(shù)的實際意義，為了研究更多做勻速圓周運動的物體的運動規(guī)律，可以通過研究函數(shù)圖象進而研究其函數(shù)的性質(zhì)，因此本節(jié)課重點是研究其函數(shù)的圖象.根據(jù)從具體到抽象的原則，通過給參數(shù)賦值，從具體函數(shù)的討論開始，把從函數(shù)y=sin x的圖象到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的變換過程分解為：先分別考察參數(shù)φ，ω，A對函數(shù)圖象的影響，最后再對函數(shù)進行整合考察.教材也借助了具體函數(shù)的變化，讓學生領(lǐng)會從簡單到復雜、從特殊到一般的化歸數(shù)學思想.

1.2 學情分析

在此之前，學生已經(jīng)學習了正、余弦函數(shù)的圖象及其相關(guān)性質(zhì)，具備一定的基礎(chǔ)，并且在之前的函數(shù)學習中學生已經(jīng)基本掌握了一般函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換等比較簡單的函數(shù)圖象變換方法，但對于伸縮變換還是初次明確提出并加以研究.本節(jié)課筆者將結(jié)合信息技術(shù)來進行教學，從認知心理上來講，學生對通過GeoGebra動態(tài)展示函數(shù)圖象是感興趣的.

1.3 教學目標分析

（1）掌握參數(shù)φ，ω，A對函數(shù)圖象的影響，理解參數(shù)φ，ω，A在勻速圓周運動中的實際意義.

（2）通過利用GeoGebra探索函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的過程，培養(yǎng)學生的觀察能力、探索問題的能力以及直觀想象的能力，在此過程中領(lǐng)會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍.

（3）本節(jié)課通過信息技術(shù)調(diào)動學生的積極性并滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學生樹立運動變化的觀點，學會用運動變化的觀點認識事物.

2 教學過程

2.1 結(jié)合軟件，探索新知

問題1 為了研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，需要研究函數(shù)的圖象.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與我們所學的哪個函數(shù)相似？

問題2 參數(shù)影響著函數(shù)圖象的變化，如何對其進行研究？

問題3 你會先研究哪個參數(shù)？

設(shè)計意圖：通過觀察思考，學生能夠得出當A=1，ω=1，φ=0時即函數(shù)y=sinx，則函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象可能會與函數(shù)y=sin x相似，讓學生領(lǐng)會從特殊到一般的數(shù)學思想.學生能夠提出需要通過限制變量的方法對其進行研究，先研究y=sin（x+φ），y=sin ωx，y=Asin x，再整合研究y=Asin（ωx+φ）.學生學過了圖象的平移變換，因此提出先研究參數(shù)φ.

探究1：探索φ對y=sin（x+φ）圖象的影響.

師：通過A=1，ω=1探索φ對y=sin（x+φ）圖象的影響，回顧φ代表著動點的起始位置，規(guī)定動點在單位圓O1上以單位角速度按逆時針方向運動.引導學生利用GeoGebra進行操作探索實驗：當動點從Q1開始運動一周，得到函數(shù)y=sin x（如圖1）;當動點從Q2開始運動一周，得到函數(shù)y=sinx+π6（如圖1）;

當動點從Q3開始運動一周，得到函數(shù)y=sinx-π6 （如圖1）.

問題4 若動點Q1，Q2都運動到點P，為何函數(shù)y=sinx+π6的圖象相較于y=sin x的圖象向左平移了π6個單位？若動點Q1，Q3都運動到點P，為何y=sinx-π6的圖象相較于y=sin x的圖象向右平移了π6個單位？

設(shè)計意圖：利用GeoGebra進行實驗并提出問題4，意在讓學生從運動變換的角度理解函數(shù)圖象的變化：當角速度為1時動點Q1，Q2，Q3同時運動到達點P，若從Q1到P需要x s，則從Q2到P需要x-π6s，于是圖象向左平移，而從Q3到P則需要x+π6s，因此圖象向右平移.

問題5 你能從數(shù)學邏輯推理角度進行證明嗎？需要證明什么呢？

教師引導：圖象變換實際上是圖象上的點進行變換，因此已知函數(shù)y=sinx+π6，只需證明函數(shù)y=sin x上任意一點的橫坐標都向左平移π6個單位.

學生證明過程：設(shè)點P0（x，y）為函數(shù)y=sin x圖象上任意一點，點P1（x1，y）為函數(shù)y=sinx+π6圖象上任意一點，則由sin x=sinx1+π6，可解得P1x-π6，y得證.

學生通過小組合作得出數(shù)學證明后的結(jié)論：一般地，當動點的起點位置Q所對應的角為φ時，對應的函數(shù)是y=sin（x+φ）（φ≠0），把正弦曲線上的所有點向左（當φ>0時）或向右（當φ<0時）平移φ個單位長度，就得到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象.

探究2：類比探究分別得出ω，A對函數(shù)圖象的影響.

類比探究的方法：通過GeoGebra實驗觀察，從運動變化角度進行理解，再通過數(shù)學證明.

教師將學生分為兩組，一組利用GeoGebra進行操作、觀察，再從運動變化角度進行理解，另一組通過數(shù)學知識進行證明.最后學生展示得出的結(jié)論：ω的影響是把y=sin x圖象上的所有點的橫坐標縮短（當ω>1時）或伸長（當0<ω<1時）到原來的1ω倍（縱坐標不變），就得到函數(shù)y=sin ωx的圖象;A的影響是把y=sin x圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0

設(shè)計意圖：類比探究是一種重要的數(shù)學思想和方法.在探究φ的過程中學生已經(jīng)掌握基本的研究思路和方法，因此可以采用類比的方法對ω，A進行探究.學生是課堂的主體，將任務(wù)交給學生能夠激發(fā)學生的興趣并且有利于發(fā)展其自主思考、團結(jié)協(xié)作和表達交流的能力.

探究3：整合研究，深化理解.

問題6 你能總結(jié)從正弦函數(shù)圖象通過圖象變換得到y(tǒng)=Asinωx+φ（A>0，ω>0）圖象的過程與方法嗎？

教師引導學生探究：三個參數(shù)影響函數(shù)圖象，因此就有6種變換的方式，需確定參數(shù)變化順序后進行研究.通過先平移后伸縮即按φ，ω，A的順序變化，則y=sin x的圖象向左（或右）平移|φ|個單位得到y(tǒng)=sin （x+φ），再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍得到函數(shù)y=sinωx+φ，最后將各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變）得到y(tǒng)=Asinωx+φ的圖象.

設(shè)計意圖：對函數(shù)進行整合研究，可以培養(yǎng)學生的總結(jié)能力和思維能力;同時，讓學生理解只要將函數(shù)y=Asinωx+φ的性質(zhì)研究清楚，就能夠把握這類事物的運動規(guī)律.

2.2 空出留白，深度學習

在研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象時，為了方便進行研究選取的是A>0，ω>0，那么這兩個參數(shù)只能取A>0，ω>0嗎？如果取A<0，ω<0時圖象會如何？

在最后進行整合時是通過變化φ，ω，A這樣的順序?qū)⒄仪€變化為函數(shù)y=Asin（ωx+φ），那如果不按照這樣的變化順序呢？例如通過變化ω，φ，A這樣的順序會是怎樣的情況呢？

設(shè)計意圖：這兩個問題留給學生課后進行深度學習，有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力;同時，讓學生明白函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的參數(shù)可以取任意實數(shù)，只是在現(xiàn)實世界中大多數(shù)事物都是在A>0，ω>0的取值范圍內(nèi).

3 教學反思

本節(jié)課的研究思路：利用GeoGebra研究函數(shù)的圖象，通過“形”觀察、“運動變化”解釋、“數(shù)學”證明對參數(shù)如何影響函數(shù)圖象進行探究.在此過程中，利用軟件GeoGebra進行實驗讓學生能夠更加直觀地進行觀察，有利于培養(yǎng)學生的直觀想象能力;利用類比探究ω，A對函數(shù)圖象的影響，有助于培養(yǎng)學生的類比思想、團結(jié)協(xié)作能力和溝通表達交流的能力.