“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學設計

王玉 孔德宏

摘要：以函數y=Asin（ωx+φ）為模型的現象在生活中經常可見，例如人造衛星、摩天輪以及物理領域中的振動和波動等，足見其重要性.本教學設計中利用GeoGebra軟件研究此函數圖象，從“形”的角度觀察、“運動變化”的角度分析，最后從“數”的角度進行證明，進一步培養學生的核心素養.

關鍵詞：GeoGebra;函數y=Asin（ωx+φ）;數學核心素養

1 教學分析

1.1 教學內容分析

“函數y=Asin（ωx+φ）”選自人教版2019年A版必修一第五章第六節.在上一課時，學生經歷了筒車建模的過程，了解了每個參數的實際意義，為了研究更多做勻速圓周運動的物體的運動規律，可以通過研究函數圖象進而研究其函數的性質，因此本節課重點是研究其函數的圖象.根據從具體到抽象的原則，通過給參數賦值，從具體函數的討論開始，把從函數y=sin x的圖象到函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的變換過程分解為：先分別考察參數φ，ω，A對函數圖象的影響，最后再對函數進行整合考察.教材也借助了具體函數的變化，讓學生領會從簡單到復雜、從特殊到一般的化歸數學思想.

1.2 學情分析

在此之前，學生已經學習了正、余弦函數的圖象及其相關性質，具備一定的基礎，并且在之前的函數學習中學生已經基本掌握了一般函數圖象的平移變換、對稱變換等比較簡單的函數圖象變換方法，但對于伸縮變換還是初次明確提出并加以研究.本節課筆者將結合信息技術來進行教學，從認知心理上來講，學生對通過GeoGebra動態展示函數圖象是感興趣的.

1.3 教學目標分析

（1）掌握參數φ，ω，A對函數圖象的影響，理解參數φ，ω，A在勻速圓周運動中的實際意義.

（2）通過利用GeoGebra探索函數y=sinx到函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律的過程，培養學生的觀察能力、探索問題的能力以及直觀想象的能力，在此過程中領會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍.

（3）本節課通過信息技術調動學生的積極性并滲透數形結合思想，讓學生樹立運動變化的觀點，學會用運動變化的觀點認識事物.

2 教學過程

2.1 結合軟件，探索新知

問題1 為了研究函數y=Asin（ωx+φ）的性質，需要研究函數的圖象.函數y=Asin（ωx+φ）與我們所學的哪個函數相似？

問題2 參數影響著函數圖象的變化，如何對其進行研究？

問題3 你會先研究哪個參數？

設計意圖：通過觀察思考，學生能夠得出當A=1，ω=1，φ=0時即函數y=sinx，則函數y=Asin（ωx+φ）的圖象可能會與函數y=sin x相似，讓學生領會從特殊到一般的數學思想.學生能夠提出需要通過限制變量的方法對其進行研究，先研究y=sin（x+φ），y=sin ωx，y=Asin x，再整合研究y=Asin（ωx+φ）.學生學過了圖象的平移變換，因此提出先研究參數φ.

探究1：探索φ對y=sin（x+φ）圖象的影響.

師：通過A=1，ω=1探索φ對y=sin（x+φ）圖象的影響，回顧φ代表著動點的起始位置，規定動點在單位圓O1上以單位角速度按逆時針方向運動.引導學生利用GeoGebra進行操作探索實驗：當動點從Q1開始運動一周，得到函數y=sin x（如圖1）;當動點從Q2開始運動一周，得到函數y=sinx+π6（如圖1）;

當動點從Q3開始運動一周，得到函數y=sinx-π6 （如圖1）.

問題4 若動點Q1，Q2都運動到點P，為何函數y=sinx+π6的圖象相較于y=sin x的圖象向左平移了π6個單位？若動點Q1，Q3都運動到點P，為何y=sinx-π6的圖象相較于y=sin x的圖象向右平移了π6個單位？

設計意圖：利用GeoGebra進行實驗并提出問題4，意在讓學生從運動變換的角度理解函數圖象的變化：當角速度為1時動點Q1，Q2，Q3同時運動到達點P，若從Q1到P需要x s，則從Q2到P需要x-π6s，于是圖象向左平移，而從Q3到P則需要x+π6s，因此圖象向右平移.

問題5 你能從數學邏輯推理角度進行證明嗎？需要證明什么呢？

教師引導：圖象變換實際上是圖象上的點進行變換，因此已知函數y=sinx+π6，只需證明函數y=sin x上任意一點的橫坐標都向左平移π6個單位.

學生證明過程：設點P0（x，y）為函數y=sin x圖象上任意一點，點P1（x1，y）為函數y=sinx+π6圖象上任意一點，則由sin x=sinx1+π6，可解得P1x-π6，y得證.

學生通過小組合作得出數學證明后的結論：一般地，當動點的起點位置Q所對應的角為φ時，對應的函數是y=sin（x+φ）（φ≠0），把正弦曲線上的所有點向左（當φ>0時）或向右（當φ<0時）平移φ個單位長度，就得到函數y=sin（x+φ）的圖象.

探究2：類比探究分別得出ω，A對函數圖象的影響.

類比探究的方法：通過GeoGebra實驗觀察，從運動變化角度進行理解，再通過數學證明.

教師將學生分為兩組，一組利用GeoGebra進行操作、觀察，再從運動變化角度進行理解，另一組通過數學知識進行證明.最后學生展示得出的結論：ω的影響是把y=sin x圖象上的所有點的橫坐標縮短（當ω>1時）或伸長（當0<ω<1時）到原來的1ω倍（縱坐標不變），就得到函數y=sin ωx的圖象;A的影響是把y=sin x圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0

設計意圖：類比探究是一種重要的數學思想和方法.在探究φ的過程中學生已經掌握基本的研究思路和方法，因此可以采用類比的方法對ω，A進行探究.學生是課堂的主體，將任務交給學生能夠激發學生的興趣并且有利于發展其自主思考、團結協作和表達交流的能力.

探究3：整合研究，深化理解.

問題6 你能總結從正弦函數圖象通過圖象變換得到y=Asinωx+φ（A>0，ω>0）圖象的過程與方法嗎？

教師引導學生探究：三個參數影響函數圖象，因此就有6種變換的方式，需確定參數變化順序后進行研究.通過先平移后伸縮即按φ，ω，A的順序變化，則y=sin x的圖象向左（或右）平移|φ|個單位得到y=sin （x+φ），再將各點的橫坐標變為原來的1ω倍得到函數y=sinωx+φ，最后將各點的縱坐標變為原來的A倍（橫坐標不變）得到y=Asinωx+φ的圖象.

設計意圖：對函數進行整合研究，可以培養學生的總結能力和思維能力;同時，讓學生理解只要將函數y=Asinωx+φ的性質研究清楚，就能夠把握這類事物的運動規律.

2.2 空出留白，深度學習

在研究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象時，為了方便進行研究選取的是A>0，ω>0，那么這兩個參數只能取A>0，ω>0嗎？如果取A<0，ω<0時圖象會如何？

在最后進行整合時是通過變化φ，ω，A這樣的順序將正弦曲線變化為函數y=Asin（ωx+φ），那如果不按照這樣的變化順序呢？例如通過變化ω，φ，A這樣的順序會是怎樣的情況呢？

設計意圖：這兩個問題留給學生課后進行深度學習，有利于培養學生的邏輯思維能力;同時，讓學生明白函數y=Asin（ωx+φ）的參數可以取任意實數，只是在現實世界中大多數事物都是在A>0，ω>0的取值范圍內.

3 教學反思

本節課的研究思路：利用GeoGebra研究函數的圖象，通過“形”觀察、“運動變化”解釋、“數學”證明對參數如何影響函數圖象進行探究.在此過程中，利用軟件GeoGebra進行實驗讓學生能夠更加直觀地進行觀察，有利于培養學生的直觀想象能力;利用類比探究ω，A對函數圖象的影響，有助于培養學生的類比思想、團結協作能力和溝通表達交流的能力.