小學數學核心素養體系下的運算能力

【摘要】即將頒布的《普通高中數學課程標準》認為數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力，提出了六個具體的數學核心素養要素，其中之一是數學運算，并對數學運算進行了內涵和外延的闡述?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》沒有提出核心素養的理念和目標，但是提出的十個核心詞之一的運算能力，與數學運算相對應；二者的界定有所區別。綜上所述，本文界定了小學數學核心素養體系下的運算能力，并從數學認知、數學思想、個人發展這三個維度論述運算能力。

【關鍵詞】數學核心素養 數學運算 運算能力

關于運算能力，筆者在《小學數學教育》雜志2012年第10期發表的《小學數學運算能力的培養應與時俱進》及2016年第4期發表的《小學數學計算教學改革的有效探索》均進行了主要觀點的闡述，為什么還要再寫這方面的文章呢？一是數學核心素養成為數學教育界的熱門話題，運算能力在數學核心素養中的地位和意義是什么？二是經常有中學數學教師通過各種方式給我們提建議，應加強小學數學與中學數學的銜接，其中加強計算能力的培養是一個重要方面。從而促使我不斷地思考數學核心素養下的運算能力究竟是什么，這是撰寫本文的初衷。

談起數學核心素養，首先要從高中說起，因為這個話題是從高中課程改革開始的。

一、高中數學核心素養中的數學運算

即將頒布的《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《高中課標》）把數學核心素養描述為：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的。數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力。高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體?！?/p>

《高中課標》的課程目標為：“通過高中數學課程的學習，獲得進一步學習以及未來發展必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學會用數學眼光觀察世界，發展數學抽象和直觀想象素養；學會用數學思維分析世界，發展邏輯推理和數學運算素養；學會用數學語言表達世界，發展數學建模和數據分析素養。”

根據以上目標闡述，高中數學核心素養主要有六個，前三個為：數學抽象、邏輯推理、數學建模，即義務教育階段“四基”中的第三基；后三個為：直觀想象、數學運算和數據分析，基本上代表了幾何、數與代數、統計三大領域的基本思想或者能力。高中課程目標基本上延續和傳承了義務教育階段的“四基”“四能”目標；并在此基礎上概括數學核心素養，同時把數學核心素養與“學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”（可概括為“三用”）融合，體現了數學核心素養的外在表現，即外延。

由此可以發現，數學核心素養和“三用”是對“四基”“四能”目標的進一步提煉、聚焦和提升，是整體數學素養中的精華部分，是把數學能力從數學內部和一般生活中的應用上升到用數學面對現實世界的高度，即具備數學核心素養的標志是學會“三用”。

六個數學核心素養中的數學運算，《高中課標》是這樣界定的：“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。”數學運算是解決數學問題的基本手段，同時數學運算是一種演繹推理，是計算機解決問題的基礎。

《高中課標》對數學運算的界定，既說明了內涵是什么，又比較全面地對外延做了闡述。即數學運算不僅僅關注運算的結果，還包括對問題的理解和分析、解決問題的過程與方法，這個問題不僅僅是純數學問題，更重要的是現實生活中的問題，這是具備核心素養的標志。

二、《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的運算能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《義務課標》）關于運算能力，是這樣描述的：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”《數學課程標準（2011年版）解讀》明確指出：“運算能力并非一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。換言之，運算能力不僅是一種數學的操作能力，更是一種數學的思維能力。”

從《義務課標》對運算能力的描述來看，其著眼點在正確運算上，其次是理解算理和解決問題。

而《高中課標》沒有用“運算能力”這個概念，而是用“數學運算”代替，其著眼點在解決問題的素養上，其外在表現是理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等。

從《義務課標》到《高中課標》對運算闡述的變化來看，把運算從傳統的強調純數學計算正確的技能，向解決問題、理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等數學核心素養的高度轉變，強調了數學核心素養目標的重要性和貫徹落實。這個變化既是理念的轉變，又是能力的轉變，當然解決問題的能力包括正確計算的能力，包括理解算理等方面，即體現了數學知識觀的轉變。

三、小學數學核心素養體系下的運算能力

關于小學數學核心素養，筆者在《小學數學教育》2016年第12期發表的《學生發展核心素養視域下的小學數學核心素養》中已經進行闡述。主要是從數學認知、數學思想、個人發展三個維度來分析，這三個維度并不是并列和獨立的關系，是融為一體的，數學認知既是數學思想和個人發展的基礎和載體，又是一個形成和運用數學思想、個人發展的心理活動。形成數學核心素養的終極標志是實現個人發展、用數學思想面對現實世界。

綜上所述，小學數學核心素養體系下的運算能力可以理解為：數學運算是指在理解算理和運算對象的基礎上，依據運算法則和運算律進行正確計算并解決問題的素養，主要包括：理解算理和運算對象，掌握運算法則，分析數量關系，選擇運算方法，求得運算結果等。

對運算能力這樣界定，體現了數學核心素養的要求，只有理解算理和運算對象，掌握運算法則，分析數量關系的正確計算和解決問題的方法，才是具備數學核心素養的標志。

據有關抽樣檢測表明：我國四年級學生筆算乘法的正確率是76%，居世界前列，這是可喜的結果。但是這個檢測并沒有對學生理解算理的情況進行檢測，我們并不知道76%的學生中理解算理的學生所占的比例，這值得進一步調查研究。也就是說，按照數學核心素養的要求，76%中的部分學生在運算能力上可能不具備數學核心素養的標志。具有數學思維和思想方法含金量的計算技能是可持續發展的，是對中學以及后續學習有支撐的。

有大學對大學生入學后用當年高考數學試卷隔一段時間進行測試，研究表明，學生數學高考成績平均達125分，到大學一段時間后的數學平均成績降到只有60分。也就是說，學生高中畢業后，有些知識技能會逐漸遺忘。通俗地說就是高中畢業多年后還有沒遺忘的東西，還能夠繼續用數學的理性思維去學習、面對世界，繼續會“三用”，這是數學核心素養形成的重要標志。

下面從數學認知、數學思想、個人發展這三個維度論述運算能力。

（一）數學認知

數學認知就是不斷構建數學認知結構的心理活動。數學認知結構是形成數學核心素養的基礎，而數學認知結構的完善程度決定了核心素養水平的高低。在數學認知維度中，主要包括三個方面：數學概念、數學規律、數學關系。

1.與運算能力相關的概念

在課程改革和核心素養的理念下，我們應堅持這樣一個觀點，人的數學能力包括：考試能力、生活能力和工作能力，而不應該把考試能力排除在外。另外，有研究表明：學生的數學成績與對數學概念的理解和表征水平正相關，因此，數學核心素養下的運算能力在強調解決問題的同時，仍然要加強純數學運算能力的培養，加強對概念的理解。

（1）整數、小數。數是對數量的抽象，我們一般的計數系統采用的是十進位值制，其核心要素有兩個：數字符號和位值制（數位）思想，即把十個數字符號中的若干個放在不同的數位上，即表示了一個數的大小。把握了這個本質，才有利于理解算理和算法。當然，低年級學生理解數的抽象意義是有困難的，但是要逐步讓學生通過各種方式去感悟。

（2）分數。分數產生于度量和除法計算的需要，因此，分數也是從表示一個量的大小中抽象出來的，即分數與整數、小數類似，也是表示大小的數，這樣的分數可以帶計量單位。另外，分數還可以表示兩個數（量）之間的倍數（比例）關系，如蘋果是梨的個數的1/3，即蘋果的數量：梨的數量=1：3，這樣的分數不能帶計量單位，百分數就是這樣的分數中分母是100的分數。

分數單位是分數系統中的重要概念，是理解分數四則運算算理的基礎，尤其是分母為10、100……的分數單位，是小數概念的基礎。

（3）四則運算。任何一個具體的數的運算，包括四則混合運算，本質上都是把一些數按照一定的法則重新組合，最終求得一個結果，這個結果還是一個數。這樣有利于理解算理算法，如9+3=？這是十進位值制計數系統的自然數加法計算，把9和3兩個數合起來，其結果是十進位值制計數系統的一個自然數；因為是十進位值制，所以當結果超過9，個位不夠用時，就要用兩個數位（十位、個位）來表示，因此產生了湊十法，即把3分成1和2，9和1湊成10，9+3=9+1+2=10+2=12，結果是12。如果是十二進制，就是湊十二法。

再如，乘法和除法的豎式與橫式只是形式上的變化，它們的意義沒有變。多數學生能夠把橫式432×6理解成6個432相加，乘法是加法的簡便算法；而有些學生對豎式就束手無策了，不理解其意義，這說明有些學生對十進位值制的計數原理沒有真正理解，無論乘法還是除法，每一步計算的結果表示多少？寫在什么位上？這需要理解十進位值制的計數原理。當然，對于有些學習困難的學生，需要借助幾何直觀來理解算理算法。如：有6排小棒，每排432根，一共有多少根？那么學生就應該理解這樣的題用加法算比較麻煩，用乘法口算容易出錯，所以要用乘法豎式計算；即6要與432這三個數字分別相乘，分別表示有多少個百、十、一，超過十的要進位；同時理解每步乘錯了就會把小棒的數量算錯，哪個數字漏乘，就會少算一部分小棒。因此乘錯和漏乘都是不可以的。

2.與運算能力相關的規律

什么是數學中的規律？什么是數學中的關系？二者有什么區別？筆者經過思考和研究，還無法完全分清二者的區別，就數學教育界而言，似乎也沒有嚴格的區分。那么，什么是數學中的規律呢？筆者認為規律類似于數學中的“真理”，如性質、法則、運算律、定理、公理等，是在數學概念的基礎上抽象概括出來的通理通法，是運算和推理的依據。

與運算能力相關的規律主要有：（1）整數、小數、分數、比的性質；（2）四則運算的法則；（3）四則混合運算的順序；（4）運算律。

3.與運算能力相關的關系

什么是數學中的關系呢？（集合論對此有特定的抽象的定義，我們這里不做討論）我們通過一些例子來說明什么是關系，生活中我們說同事關系、朋友關系、夫妻關系、母子關系等，小學數學中有因數和倍數的關系，如8是4的倍數，4是8的因數；如果速度一定，路程與時間成正比例關系。我們發現這些例子有一些共性，就是關系一般會涉及兩個或者兩個以上的量（事物），他們之間通過某種法則對應。如果從廣義上來理解關系，還可以用聯系、關聯、結構等詞匯描述關系，如數學知識之間的聯系和關聯，形成數學知識結構，數學知識結構是屬于數學的，只有通過各種方法和途徑把數學知識結構轉化為學生的認知結構，才是屬于學生的。即學生的數學認知結構是數學核心素養的基礎，結構化的數學可以使學生舉一反三、聞一知十、既見樹木又見森林，實現數學認知的高級目標。

（1）可視的結構。主要是各種數學模型，如：四則運算各部分間的關系式、幾何公式、數量關系式、方程、函數等。

（2）隱形的結構。主要是知識間的關聯和結構化，如：整數、小數、分數的關聯，有理數與無理數的關聯，圖形之間的關聯，數與形的關聯，數學與生活、數學與其他學科的關聯等。這些結構由于比較隱蔽，往往被很多教師忽視，而這種結構化更能夠體現數學的高級知識結構和認知結構。

如：除法、分數、比這三個知識點之間的關聯性很強，學生在掌握除法的概念和性質的基礎上，分數的基本性質、比的基本性質就可以運用關聯思想（普遍聯系）和類比推理方法，結合數形結合的方法，自主探究推出。到了初中，可以進一步地推出分式的基本性質。其中蘊含了豐富的數學思想方法，還包括變中有不變的思想、恒等變形方法等。

（二）數學思想

從數學運算與其他核心素養的關系來看，數學抽象和數學推理是數學運算的基礎和手段，直觀想象是理解運算和培養運算能力的重要方法，運算能力是數學模型和數據分析的重要保障。在前文提到的筆者發表的文章中把運算與推理整合，主要是考慮小學數學中的推理并不是初中的幾何推理證明，而是主要體現在數與計算的內容中，尤其是計算中算理的理解，體現了推理思想，而這方面是傳統計算教學中的弱項，為了加強計算算理和推理思想的教學，把運算和推理整合為運算推理思想。當然，除了運算外，在小學數學其他領域中同樣存在很多推理思想。

數學抽象，這個思想看起來不容易理解其內涵及教學應用，實際上數學學習時刻離不開抽象，當然，只有抽象還不夠，概念、性質等的學習還需要歸納和概括。如：教學數的認識時，通過對數量的數學抽象，先歸納概括形成了整數的十進位值制計數系統，再進一步推廣到小數、分數，進行關聯和整合，就把數系擴展到實數。十進位值制計數原理是整數、小數（甚至分數）計算的基礎。

（三）個人發展

在個人發展維度中，主要包括：思考自學、合作交流、創新實踐。思考自學就是要把學生放在主體地位上，建立以學生為主體的教學模式，培養學生獨立思考、理性思維、自主學習的能力。合作交流固然重要，但前提是每個人需要具備獨立思考和自主學習的能力。創新實踐主要包括創新思維和實踐能力兩個方面，創新思維的重點是培養學生具有好奇心和想象力，敢于質疑；善于提出新觀點、新方法、新設想，并進行理性分析，做出獨立判斷等。實踐能力主要是問題解決，重點是善于發現和提出問題；有解決問題的興趣和熱情；能依據特定情境和具體條件，選擇制定合理的解決方案等。

俗話說：教之道在于度，學之道在于悟。不同的教師可以有不同的教學風格，整體上要把握教師的講授與學生自學、思考、交流的關系與平衡。教學過程中要讓所有學生先獨立思考，讓更多學生表達想法，彼此思想產生碰撞，再交流討論，使得學生有時間去悟。如果學生有時間和空間去做、去說、去悟，活動經驗自然就積累了，與其說積累活動經驗是一個教學目標，不如說是一個師生關系的問題。

2016年10月在西安舉辦的全國小學數學核心素養下的數與計算教學觀摩交流會，總體上很好地體現了數學核心素養體系下的基本理念、思想和教學方法。如啟發引導學生加強新舊知識的比較和類比，結合幾何直觀、運用推理把新知識轉化為舊知識；在此基礎上理解算理、掌握算法，形成計算法則的認知結構，通過適當訓練達到熟練計算，培養運算能力，包括解決一些實際問題。教學目標完成度好、師生關系融洽、加強學生自主探究與合作交流、教學過程層次清楚。因篇幅所限，這里不再舉例說明，感興趣的教師可以登錄人教網觀看視頻。

【參考文獻】

[1]馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題[ J ].課程·教材·教法，2015（9）.

[2]中華人民共和國教育部.《義務教育數學課程標準（2011年版）》[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《數學課程標準（2011年版）解讀》[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]王永春.《小學數學與數學思想方法》[M].上海：華東師范大學出版社，2014.