數(shù)列解題中提取有效數(shù)據(jù)信息的思考

楊紹慧

摘要：結(jié)合實例，從規(guī)律歸納、邏輯推理、創(chuàng)新定義等角度入手，提取數(shù)列中的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行有效數(shù)據(jù)分析，達(dá)到真正提升能力，落實核心素養(yǎng)的目的.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)據(jù)分析;數(shù)列;規(guī)律歸納;邏輯推理;創(chuàng)新定義

1 問題的提出

數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算一起，共同構(gòu)成高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，是在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》“課程基本理念”部分首次創(chuàng)新性地提出的要充分滲透到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)與教育中去.

數(shù)據(jù)分析，就是利用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行有效整理、分析與處理，進(jìn)而得以解決問題.其實，在其他的數(shù)學(xué)知識體系中，比如集合、數(shù)列、函數(shù)等相關(guān)知識中，也有很多相關(guān)的數(shù)據(jù)分析問題.那么，在數(shù)列解題過程中，如何針對不同場合、不同數(shù)學(xué)知識體系中的數(shù)據(jù)信息，通過分析處理提取合理的、有價值的數(shù)據(jù)，為解決問題指明方向？同時，根據(jù)數(shù)列中不斷適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的要求，如何增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析能力，通過合理分析，進(jìn)而得以合理、高效解決問題呢？

2 問題的解決

2.1 從規(guī)律歸納入手提取數(shù)據(jù)信息加以數(shù)據(jù)分析

數(shù)列中的很多問題都可以從數(shù)列的性質(zhì)、通項公式的特征、遞推關(guān)系式的規(guī)律等入手，提取數(shù)列中的項、項數(shù)等數(shù)據(jù)的規(guī)律信息，進(jìn)而加以合理的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等.

例1 （“超級全能生”2018年9月浙江省高三數(shù)學(xué)測試·10）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），設(shè)bn=an-1an+1，則b100=（? ）.

A.3-198

B.3-298

C.3-299

D.3-2100

分析：結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式分別確定b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4的值，分析這些特殊項的數(shù)據(jù)規(guī)律，進(jìn)而合理歸納并確定bn表達(dá)式的規(guī)律，達(dá)到確定b100的目的.

解析：由a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），bn=an-1an+1，可得b1=a1-1a1+1=13=3-1=3-20.

由a2=12（2+12）=54，可得

b2=a2-1a2+1=19=3-2=3-21.

由a3=12（54+45）=4140，可得

b3=a3-1a3+1=181=3-4=3-22.

由a4=12（4140+4041）=3 2813 280，可得

b4=a4-1a4+1=16 561=3-8=3-23.

歸納可知b100=3-2100-1=3-299.故選擇答案：C.

點評：本題通過一個數(shù)列的首項以及兩個數(shù)列間的遞推關(guān)系式來確定另一個數(shù)列的確定項.破解方法較多，而借助特殊值歸納法，利用數(shù)據(jù)分析，巧妙通過遞推關(guān)系式進(jìn)行鏈接，達(dá)到合理推理，巧妙歸納的目的.

2.2從邏輯推理中提取數(shù)據(jù)信息加以數(shù)據(jù)分析

從題目條件入手，進(jìn)行必要合理的邏輯推理，往往可以從中合理提取數(shù)列中的相應(yīng)數(shù)據(jù)信息，巧妙構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)模型的解決與應(yīng)用來達(dá)到數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用的目的.

例2 （江蘇省南通等七市2019屆高三第二次調(diào)研測試·14）已知集合A={x|x=2k-1，k∈N*}，B={x|x=8k-8，k∈N*}，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S;從集合B中取出n個不同元素，其和記為T;若S+T≤967，則m+2n的最大值為.

分析：根據(jù)題目條件進(jìn)行合理的邏輯推理以及數(shù)據(jù)分析，要使m+2n的值最大，則加在一起的項數(shù)應(yīng)最多，使相加的項最小，進(jìn)而利用等差數(shù)列的前n項和將S，T分別表示出來，代入不等式，再利用基本不等式可得相應(yīng)關(guān)系式的最值即可.

解析：要m+2n的值最大，即滿足S+T≤967時，加在一起的項數(shù)應(yīng)最多，使相加的項最小.

將集合A，B的元素分別按從小到大順序排列，則集合A為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故S=1+（2m-1）2·m=m2.

同理，T=0+（8n-8）2·n=4n2-4n.

則由967≥S+T=m2+4n2-4n，得968≥m2+（2n-1）2≥2（m+2n-12）2，

可得m+2n-1≤44，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n-1=22時，等號成立.因為n為整數(shù)，所以取m=22，n=11時，

m+2n=44.故填答案：44.

點評：數(shù)據(jù)信息隱藏于題目中，通過有效分析題目條件，綜合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行正確的邏輯推理，提取相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，結(jié)合限制條件或自身背景等，正確分析、合理推理、巧妙運(yùn)算，進(jìn)而分析所得結(jié)果并利用數(shù)據(jù)信息加以綜合應(yīng)用，從而達(dá)到解決問題的目的.

2.3 從創(chuàng)新定義中提取數(shù)據(jù)信息加以數(shù)據(jù)分析

根據(jù)創(chuàng)新定義挖掘本質(zhì)，從中提取出有效的數(shù)據(jù)信息，通過創(chuàng)新公式、圖表、數(shù)表等的綜合與應(yīng)用，進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)收集、整理，綜合數(shù)列知識加以邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，滲透創(chuàng)新意識.

例3 對于任意的x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.9]=1，[log263]=5.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an=[log2（n+1）]，則滿足Sn>2 019的最小整數(shù)n為（? ）.

A.314?? B.315?? C.316?? D.317

分析：從創(chuàng)新定義入手，分別計算數(shù)列{an}的項的值，其對應(yīng)的項恰好是21個1，22個2，23個3……結(jié)合Sn>2 019分析數(shù)據(jù)信息，并根據(jù)條件確定滿足Sn>2 019的最小項，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列通項公式來確定最小整數(shù)n的值.

解析：由題意可得[log22]=[log23]=1，有2個1，即21個1;

[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2，有4個2，即22個2;

…………

[log2 256]=[log2 257] =[log2 258]=……

=[log2 511]=8，有256個8，即28個8;

而[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]=1×21+2×22+3×23+……+7×27=1 538<2 019，

[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2511]=1×21+2×22+3×23+……+7×27+8×28=3 586>2 019.

又2 019-1 538=481，481÷8=60.125，那么至少還需要61個8加起來才滿足Sn>2 019.

即[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]+[log2 256]+……+[log2 316]>2 019.

而an=[log2（n+1）]，所以滿足Sn>2019的最小整數(shù)n為315，

故選擇答案：B.

點評：正確理解創(chuàng)新定義，合理求數(shù)列的和是關(guān)鍵.利用創(chuàng)新定義，借助數(shù)列求和，對不同條件下所滿足的不等式進(jìn)行有效數(shù)據(jù)分析，進(jìn)而確定滿足條件的參數(shù)值，為數(shù)據(jù)分析及信息處理提供更多的有用條件.

3 感悟與反思

數(shù)據(jù)分析在數(shù)列解題中具有非常重要的地位，在數(shù)列的通項公式、數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的遞推關(guān)系式、數(shù)列與不等式的關(guān)系以及其他一些相關(guān)問題中，經(jīng)常會借助數(shù)據(jù)處理與分析，通過對數(shù)列中的相關(guān)數(shù)據(jù)的收集、整理、提取，進(jìn)而合理構(gòu)建特殊數(shù)列模型，最后得以合理推斷，獲得結(jié)論.