運用整體思維解題“五法”

紀相林

摘要：整體思維是一種從全局去發現問題、認識問題、解決問題的思維方式，也是試圖通過對問題的總體形式、結構與特征的研究，進而采用某種轉化技巧最終使問題得到解決的一種解題方法.本文中結合典型實例，探討和總結了運用整體思維解題的五種方法與技巧.

關鍵詞：整體思維;整體代入;整體觀察;整體配對;整體聯想;合設方程

1 引言

在解數學題時，學生常習慣于“由小到大”的思維模式，就是從較復雜的“大問題”中的“小問題”入手，先解決較簡單的小問題，然后再由小到大，積少成多，逐步擴大戰果.但是這種常規的方法并非萬能鑰匙，面對有些特殊問題，我們深感運算量大、過程繁雜，甚至還可能陷入半途而廢的困境.這時，不妨換個思路，站在宏觀的角度，把待解決的“大問題”看作是一個整體，通過“聚焦”研究問題的形式、結構與特征，有針對性地采用“代入、聯想、合設方程”[1]等多種轉化的方法與技巧，最終達到化繁為簡、解決問題的目的.

下面結合典型例題，探討運用“整體思維”解決數學問題的方法與技巧.

2 “整體思維”在解題中的運用

2.1 整體代入法

有些問題在求解時，不能（或不需）分別求出各個量的具體值，只需考慮求出這些量所構成的某代數式的整體值，就能達到解題的目的.

例1已知直棱柱的底面是等腰梯形，且梯形對角線和梯形底邊的夾角為α，棱柱的側面積為Q，設此直棱柱有內切圓柱，求該圓柱的側面積.

解：如圖1，梯形ABCD（AB

的底面，作BE⊥CD于點E.由

AB∥CD，AD=BC，易證

2DE=AB+CD.

又根據切線性質，得

AD+BC=AB+CD.

所以DE=AD=BC，故梯形的周長為4DE.

設棱柱的高為h，圓柱的底面半徑為R，那么

Q=4DE＼5h.

在Rt△BED中，DE=BE＼5cot α=2R＼5cot α.

所以Q=8Rhcot α，則Rh=18Q＼5tan α.

所以S圓柱=2πRh=14πQ＼5tan α.

點評：如果按照常規解法，首先設直棱柱的高為h，圓柱底面半徑為R，則S圓柱=2πRh，但是如何求Rh的值呢？這是關鍵所在.聯想到Rt△BED與等腰梯形、直棱柱同高的特點，我們就可以避開直接計算Rh，而是選擇將Rh整體代入的方法.這種避繁就簡的方法在立體幾何中會經常用到.

2.2 整體觀察法

整體觀察就是從宏觀的角度來考察問題的結構與特點，從而找到解決問題的突破口.

例2設對所有實數x，不等式x2log24（a+1）a+2xlog22aa+1+log2（a+1）24a2>0恒成立，求a的取值范圍.

解：由原不等式變形，得

x2log28a+12a+2xlog2a+12a-1+log2a+12a2>0.

即3x2+[（x-1）2+1]log2a+12a>0.

該不等式對所有實數x恒成立的充要條件是

log2a+12a>0a+12a>10

所以a的取值范圍是（0，1）.

點評：通過整體觀察，發現不等式左邊的三個對數式可以轉化為同一類形式.因此，先把不等式變形化簡后再求解，這樣就避免了繁瑣的運算過程.這顯然比通常利用二次函數的性質求解簡單得多.

2.3 整體配對法

對有些特征明顯的習題，我們可以根據題型的特點，相應地配出與其相匹配的另一個整體，然后再根據相互之間的關系求解.

例3求sin220°+cos280°+3sin 20°cos 80°的值.

解：設a=sin220°+cos280°+3sin 20°cos 80°，

b=cos220°+sin280°+3cos 20°sin 80°.則

a+b=2+3sin 100°=2+3cos 10°?? ①

a-b=-cos 40°+cos 160°+3sin（20°-80°）=-（cos 40°+cos 20°）-32×3

=-3cos 10°-32②

由①+②，得a=14.

所以sin220°+cos280°+3sin 20°cos 80°=14.

點評：本題充分展示了整體配對法快捷解題的優越性，避免了繁瑣的計算，簡潔明快，一氣呵成.本題也可以配b=cos220°+sin280°-3cos 20°sin 80°，一般我們把這種方法叫做和式配對[2].

2.4 整體聯想法

所謂整體聯想，就是通過分析問題的整體結構或特點，找出知識點之間的相似性、相關性等，運用有關知識來解決問題.

例4求證：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy＼5y-z1+yz＼5z-x1+zx.

證明：令tan α=x，tan β=y，tan γ=z，其中α，β，γ均不等于kπ+π2（k∈Z）.

因為（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，所以

tan[（α-β）+（β-γ）+（γ-α）]=0.

整理，可得tan（α-β）+tan（β-γ）+tan（γ-α）=

tan（α-β）tan（β-γ）tan（γ-α）.

展開，整體聯想，代換，即得

x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy＼5y-z1+yz＼5z-x1+zx.

點評：經過觀察和聯想，我們發現原題待證式中的分式與正切的差角公式相似，而且整個等式又與三角形中的公式tan A+tan B+tan C=tan A＼5tan B＼5tan C[3]相似，所以可以仿其形式，采用整體聯想、合理代換的方法輕松完成證明.

2.5 合設方程法

對具有某種性質的兩條曲線，如果把它們的方程從整體上合設成一種表達式，就可以收到化繁為簡的效果.

例5如圖2，已知直線y=kx+m與雙曲線x2a2-y2b2=1（a，b>0）及其漸近線分別交于點A，B及C，D.

求證：AC=BD.

證明：將雙曲線及其漸近線

的方程合寫成x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）

，與直線y=kx+m聯立，消去y，得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-（m2+λb2）a2=0.

設直線與曲線的交點坐標分別為（x1，y1） ，（x2，y2）.

根據韋達定理，可知x1+x2=2kma2b2-a2k2.

所以，兩交點連線段中點的橫坐標為

x1+x22=kma2b2-a2k2.

這說明不管是λ=0還是λ=1，曲線x2a2-y2b2=λ與直線y=kx+m所得的兩個交點連線段中點的橫坐標相同（與λ無關），則它們的縱坐標也一定相同.

所以，線段AB和CD的中點重合.

故AC=BD.

點評：本題如果從求出A，B，C，D四個交點的坐標入手，顯然十分繁瑣，所以要另尋思路.經過對圖形的觀察我們發現，AC=BD等價于線段AB和CD的中點重合.又發現兩漸近線的方程為x2a2-y2b2=0，與雙曲線方程的左邊完全相同.由此產生新的思路：把兩個方程合寫成x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），只需證明直線y=kx+m與曲線x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的兩個交點連線段中點的坐標與λ無關就行了.

3 結論

從上述各例的技巧分析中可以看出，運用整體思維法來解決數學問題，具有極大的優越性與實用性.學生如果學會運用整體思維法來思考問題，就能夠不斷地開闊思路，激發靈感，靈活自如地運用并創新出一些更實用的方法和技巧[4]，最終達到提高解題速度與質量的目的.

參考文獻：

[1]沈山劍.學會整體思維 提高解題技能[J].師范教育，1992（10）：26.

[2]徐江培.例談整體解題的思維和方法[J].中學數學月刊，1999（4）：37-39.

[3]曹培福.運用整體思維的方法解題[J].數理化解題研究（初中版），2010（3）：24-26.

[4]于紅平.運用整體思維，力求高效解題[J].數學學習與研究，2011（13）：88，90.