基于“模型思想”的高中數學立體幾何單元復習教學設計

【摘要】高三復習教學應從教材出發，根據學情，基于單元教學視角整合知識，并結合典型試題，幫助學生形成良好的知識結構。本文根據“以問題解決過程線索為主題”的單元教學模式，以“模型思想”為例進行高三立體幾何內容的復習課教學設計，突出數學復習課中學科知識的知識體系、方法體系和思想體系，對提高學生數學關鍵能力和發展學生數學核心素養起到一定作用。

【關鍵詞】復習教學;單元教學;模型思想

一、問題的提出

高三復習不是知識的簡單重復和再現，而是鞏固和加深學生對已學知識的理解，使所學知識系統化、條理化，幫助學生形成知識網絡結構。教師通過對學生已學過的知識重新整合與加工，有所創新，激發學生的學習興趣，促進學生深度參與學習活動，可以提升學生對知識的領悟、內化和升華，從而提高高三復習教學的效率。

高中數學中立體幾何內容作為一個重要模塊，是培養學生直觀想象、邏輯推理等數學核心素養的重要內容載體。主體幾何內容知識點多且零散，考查方式題型多樣，學生掌握較為困難，尤其是空間向量知識進入高中數學教學之后，學生往往不愿思考，完全依靠向量坐標法來求解，陷入耗時耗力、會而不對的境地。因此，更需要教師站在單元教學的視角下，幫助學生加深對幾何圖形結構特征及基本圖形之間關系的系統認識。

二、“立體幾何中的模型思想”單元教學設計

喻平教授認為，從數學單元教學的設計和應用層面分析，數學單元教學主要有“以問題解決過程線索為主題”“以建立個體CPFS結構（個體頭腦中內化的數學知識網絡）為主題”“以概念生長為主題”和“以數學思想方法解決問題為主題”四種單元教學設計模式。其中“以數學思想方法解決問題為主題”的單元教學按照“確定數學思想方法—圍繞方法設計題組—師生共同解決問題—回顧反思總結規律”組織實施。下面根據“以數學思想方法解決問題為主題”的單元教學模式，進行“立體幾何中的模型思想”教學設計。

1.情境引入。

引導語：《九章算術?商功》中有這樣一段：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”

師生活動：請同學朗讀，并解釋含義。

設計意圖：用鱉臑生僻字活躍課堂氣氛，吸引學生注意，引入本堂課的主題。

2.解密鱉臑，垂直一線牽。

探究一：問題1：如圖1，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，四面體P-ABC中有幾個直角三角形？你能發現哪些平面互相垂直？為什么？

師生活動：通過師生交流，明確△PAB，△PAC，△ACB，△PCB是直角三角形。

追問1：為什么？你能分別哪個角是直角？如何證明？

設計意圖：喚醒記憶，在直角三角形的判定當中，復習線線垂直與線面垂直的相互轉換。從△PAB，△PAC是直角三角形的判斷中復習直線與平面垂直的判定定理，從線面垂直得到線線垂直;在△PCB是直角三角形的判斷中，體會從線線垂直轉化至線面垂直，再從線面垂直的定義轉化為線線垂直，培養學生邏輯推理能力。

追問2：你能發現哪些平面互相垂直？為什么？

師生活動：引導學生發現平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面PAC，在師生交流過程中理解平面與平面垂直判定定理。

設計意圖：將線線垂直與線面垂直關系進一步向面面垂直轉化，復習平面與平面垂直的判定定理。在探究過程當中，復習三種垂直關系的相互轉換，明確線面垂直在三種垂直關系中的核心作用。引入基本圖形，給出鱉臑定義，引導學生在研究空間圖形的過程中學會思考，提高學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。

3.巧識鱉臑，妙解空間角。

問題2：如圖2，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值。

師生活動：問答，學生板演，展示。

設計意圖：高三復習過程中，學生容易重視空間向量法，忽視幾何法，對線面角的作法不熟悉，答題困難。在鱉臑模型的基礎上，附加條件，從證明問題變為求直線與平面成角問題。引導學生復習線面角的作法，復習借助面面垂直的性質定理來作平面的垂線，并從幾何法的角度給出解答。

圖2

分析：取PC中點E，連接AE，EM，由PA=AC，則AE⊥PC，由平面PBC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC=PC，則AE⊥平面PBC，則∠AME為AM與平面PBC

所成角。易得。

探究二：問題3：如圖3，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，各個面形成幾個二面角？分別是哪些？你會求嗎？

師生活動：在交流的過程中引導學生找出圖3中6個二面角的平面角。

設計意圖：復習二面角的概念，并根據二面角的平面角定義，明確作出二面角的平面角的方法—定義法、垂面法和垂線法，如上圖4所示。

問題4：如圖5，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，若PA=AC=

BC，試求二面角C-PB-A的大小。

分析：設PA=AC=BC=1，取PC中點E，連接AE，由PA=AC，則AE⊥PC，由平面PBC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC=PC，則AE⊥平面PBC，作EF⊥PB，則PB⊥平面AEF，連結AF，PB⊥AF，則∠AFE為二面角

A-BP-C的平面角，因為△PFE∽△PCB，，

易得，△AEF中，

，則二面角的大

小為。

設計意圖：復習二面角的平面角的作法，體會立體幾何問題平面化的思想。

圖6

問題5：如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。

（1）求證：PB⊥平面EFD;

（2）求二面角C-PB-D的大小。

師生活動：問答，請學生說出想法。

設計意圖：基本圖形識別，活學活用，立體幾何問題要學會識圖，能從拆分角度分析識別基本圖形。

4.玩轉鱉臑，補形出體積。

問題6：如圖7，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC=1，求該三棱錐的外接球的體積。

分析：由于PA、AC、BC兩兩垂直，可將三棱錐P-ABC補形成正方體。三棱錐P-ABC的外接球即為正方體的外接球。PB即為正方體對角線，也是

外接球的直徑，體積為。

設計意圖：關注鱉臑中的兩兩垂直特點，從補形的角度來分析基本圖形。

5.再析鱉臑，妙解空間角。

問題7：如圖8，在三棱錐P-ABC中，側棱PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC，M是PB的中點。

（1）求AM與平面PBC所成角的正弦值;

（2）求二面角C-PB-A的大小。

分析：立體幾何問題的解決可以選取幾何法也可以選取空間向量坐標法，如果能將鱉臑模型識別出來，從正方體的角度來分析，平面CPB和平面APB的法向量是可以直接給出的，有利于明確解題方向，提高解題速度。

設計意圖：體會幾何法與向量坐標法的關系，認識到深刻理解空間幾何體中的點線面的位置關系對于解決立體幾何問題的重要性，提高向量坐標法解題運算的準確性和速度。

6.回扣主題。

“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”

師生活動：立體幾何問題中常見的模型有長方體模型、三棱錐模型，而鱉臑就是一個典型的三棱錐模型，且能聯系溝通長方體與三棱錐。

設計意圖：明確鱉臑的產生，強化基本模型意識。

7.教材中來，高考中去。

問題8：（2015年高考湖北理科第19題）將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在如圖10所示的“陽馬”P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE。

（1）證明：PB⊥平面DEF，試判斷四面體DBEF是否為“鱉臑”，若是，寫出每個面的直角;若不是，請說明理由;

（2）若平面DEF與平面ABCD所成二面角的平面

角大小為，求的值。

師生活動：學生獨立完成。教師通過巡視，發現學生解決問題期間產生的困難或錯誤，進行針對指導。

設計意圖：鞏固前面學習的內容，評價學生學習效果。

三、教學反思

1.在教學過程中，如果只是就題論題，學生往往容易陷入題海。但是如果能夠認真分析，充分發掘問題的教育價值，從中發現基本圖形，有的放矢，從而選擇恰當的途徑，獲得更合理的解決方案。就像一棵樹由樹根、樹干、樹枝和樹葉組成一樣，“基本圖形”屬于樹根和樹干部分，有“自我生長能力”。在立體幾何中“抓基本圖形”是非常重要的。正方體、長方體、三棱錐是立體幾何中最重要的基本圖形，鱉臑作為特殊的三棱錐，既蘊含了豐富的垂直關系，又可以聯系正方體、長方體，是立體幾何的核心圖形。

2.發現和歸納基本圖形的主陣地應該有兩個。一是教材，例如，本堂課選擇的探究問題和例題全部來自教材。二是高考題，作業的兩個問題都是高考原題。從這種角度來講，只有教師先下題海，做題、歸納，才有可能從中分析找到基本圖形，為學生提供了一個非常好的范例，努力做到“授人以漁”。充分發揮“基本圖形”的力量，先“基本圖形”再“變式圖形”再“綜合圖形”，只有在連續而有邏輯關聯的幾何問題解決當中才能得到推理論證的技能訓練，學會靈活運用幾何概念、性質解決立體幾何問題。

3.強調向量法的作用是立體幾何改革的基本方向，也是解決立體幾何問題的主要方法，但不能將其理解為一種程序性算法。向量法解題的第一步是用向量表示幾何元素，“表示”合理才能保證后續運算的簡捷。“合理表示”的本質是準確反映立體圖形的特征，要以準確把握圖形結構特征為基礎。

4.高考題的命題一定是源于教材，并高于教材。高三復習課一直強調回歸課本，只有在復習的過程中向學生揭示高考題與教材原型的關系，才能正確引導學生回歸課本。總之，課本是使學生學做人做事的基本載體，脫離課本的教學不是好的數學教學。教師最基本且重要的職責是教好課本。只有從中發現基本圖形，掌握基礎概念，踏實訓練，才是提高學生數學能力的捷徑。

（基金項目：本文系海南省教育科學規劃一般課題“高中數學大單元教學設計體系的構建與實踐研究”的研究成果，課題編號：QJY20091022）