借助圖形計算器開展高中數學探究式教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析六個方面。其中，直觀想象指學生借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形分析和解決數學問題。直觀想象是建立數學直覺的基本途徑。教師在數學教學中，培養學生直觀想象能力，有利于學生養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，提升數形結合的能力，形成借助圖形和空間進行分析、推理、論證的能力。一個數學對象至少可以進行數和形兩種形式的多元表征，還可能有情境、操作、動態視覺等其他表征形式。唐劍嵐教授的研究表明，學生通過數學多元外在表征和數學多元內在表征相互間的轉化作用，能促進學生對數學概念的理解，有助于學生完善認知結構，提高數學表達能力，提升數學素養^[1]。TI圖形計算器能夠將數學對象的多個表征動態呈現出來，是開展數學實驗的有效工具。學生可利用該工具進行探究，發現規律，參與抽象與概括等學習活動。在TI圖形計算器的輔助下，筆者精心設計數學實驗，利用代數的嚴謹糾正學生在圖形直觀認知中的錯覺，利用技術創設數學實驗平臺，提高學生的探究能力和思維水平。

一、數形結合由果索因，引導學生探究學習

探究式教學的核心是引導學生在觀察現象后，探索現象發生的原因或現象產生的條件，進而建構新的認知結構，提高其解決問題的能力。教師開展探究式教學可以逐漸提高學生提出問題的能力，讓學生學會思考，學會反思，這是教育的根本目的。

【例】作函數圖象，并用分段函數表示：

（1） f （x） =丨x-1丨+丨x-3丨;

（2）g （x） =丨x-1丨-丨x-3丨。

在傳統教學環境下，教師先講解，將絕對值去掉，對函數進行分段，然后分段畫出圖象。這樣，學生是被動接受，做得稍好的教師會先讓學生想想該怎么處理。教師講授是學生獲取知識的主要途徑，學生憑腦子抽象思考，他們理解到什么程度全靠自己的領悟能力。題海戰術成為法寶，學生機械解題，缺少思考難以提高素養。

現在有了信息技術的支持，教學方式和效果大大優化。教師可以使用圖形計算器引導學生探究學習。在教學過程中，教師首先引導學生用圖形計算器直接作出函數圖象，發現圖象被分成3段，學生自然發問“怎么是這樣的呢”，再引導學生利用圖形跟蹤功能在計算器上跟蹤圖象，發現這3段的分界點是在x=1和x=3時（如圖1a）。學生結合表達式f （x） =丨x-1丨+丨x-3丨可以看出，此時兩個絕對值恰好分別為0，2個分界點將實軸分成3段。在每段里，絕對值的符號可能不同，去掉絕對值后表達式不一樣，因而分成3段。易得：

通過這樣的親歷探索，學生很容易理解和掌握含有絕對值的函數處理方法，即只需要按絕對值的零點分段，按照分段函數的方法處理就行了。這是解決這類問題的關鍵。

教師引導學生用分段的方法分析函數g （x） ，得到：

學生用計算器作出g （x）的圖象，并驗證自己的分析是否正確（如圖1b）。

教師將“數”“形”兩個表征緊密結合，利用圖形的直觀變化，觸發學生對數式變換思考和認知。這種體驗式探究學習不僅輕松有趣，而且能夠使學生深刻理解和掌握數學知識，領悟解決問題的思想方法。信息技術支持下的探究學習效果比死記硬背好得多。

二、動態展現數學對象，指引學生探究與概括

教師以上面的例子為背景，提出下列問題，讓學生進一步用圖形計算器探究：若f （x） gt; a恒成立，則a的取值范圍是什么？若g （x） =a有解，則a的取值范圍是什么？

學生首先在圖形界面上插入游標變量a，并設置參數的范圍和步長，然后作出含參數a的函數y=a的圖象，拖動游標不斷改變a的大小，則函數y=a的對應的水平直線上下移動。學生觀察后發現在某些區域水平直線和原來的函數有公共點，另一些區域沒有公共點（如圖2a）。他們認識到只要找出區域的臨界點，那么對應的a取值就能夠確定相應的范圍，這樣就將問題轉化為a與原來函數最大（小）值的比較問題，其本質是求原來函數的值域。f （x） 最小值是2，因此alt;2不等式恒成立。g （x） 的值域是[-2，2]，如要g （x） = a有解，則需要a∈[-2，2]（如圖2b）。

圖形計算器最大的優勢就是能夠動態地展現數學對象，并且保持對象之間的邏輯關系不變，實現數和形的連續變化，實現“數”和“形”兩個表征的有機動態結合，便于發現規律，促使學生更好地歸納和抽象，體會函數方程思想，提升學生直觀想象的核心素養。

三、精心設計數學實驗，糾正學生的圖形直觀錯覺

就像上面的例子，在教學中教師利用動態數學實驗引導學生探究學習，在一些情形下學生會產生錯覺。教師應設計數學實驗，利用代數的嚴謹性糾正學生在圖形直觀認知中產生的錯覺，溝通“數”“形”兩個表征，從而強化學生對概念的理解和思想方法的掌握。例如，對于y = log₂ （ x + m ）與y =log₂ x 關系的探究，教師通常的做法是，確定幾個m的值，讓學生在圖形計算器上作y = log₂ （ x + m ）的圖象，然后歸納它們與y =log₂ x 的圖象的關系，或插入游標變量m，然后作y = log₂ （ x + m ）和y =log₂ x 的圖象，再點擊游標，移動變化m，使圖象隨之變化，最后分析圖象之間的關系（如圖3a）。在觀察圖象的變化過程中，有學生質疑：圖象不是在平移，因為看起來圖象的下面部分移動的多，上面部分移動的少，感覺是向著左上方移動，為什么會有這樣的感覺呢？

為解答學生的疑問，教師設計這樣的實驗：任意作水平直線，首先分別作它和兩個函數y =log₂ x 和y = log₂ （ x + m ）圖象的交點A、B，并且分別度量出它們的坐標，讓學生發現當m=5的時候，兩點的橫坐標差距是5，然后上下移動水平直線，引導學生觀察兩點的橫坐標差距不變，始終是5（如圖3b、3c），以此表明只要將y =log₂ x 的圖象左移5個單位就可以得到y = log₂ （ x + m ）的圖象。教師也可以顯示函數值表，設置步長為m，讓學生從數據表中觀察到對于同一個函數值，y = log₂ （ x + m ）總是要提前5個單位得到（如圖3d），進一步驗證將y =log₂ x 圖象左移5個單位就可以得到y = log₂ （ x + m ）圖象。

人眼感知圖象是基于整體印象。由于圖象不是直線，是向上凸出，每個點對應的切線的斜率隨x增大而減小，即切線越來越平，對應的切線的距離越來越小，觀察者往往感覺到下面移動的多，上面移動的少。教師在用技術動態直觀呈現圖象時候，宜用代數的方法引導學生驗證觀察到的結果，用技術呈現出相應變化的數據來支持觀察的結果。這樣，數形結合，相得益彰。學生直觀想象和邏輯推理相互支撐，有利于提升他們的數學素養。

教師通過上面的兩個實驗教授探究圖象關系的思想方法，讓學生深刻體會到函數的圖象是一個個點構成的，分析圖象的關系應該落腳到圖象上的每個點的變化來思考對應關系的變化，從而避免由直觀產生的錯覺。教師引導學生用數字表征的精確性和任意性刻畫函數圖象之間的關系，進而抽象建構出y = f （ x + m ）和y = f （ x ）圖象之間的關系，將y = f （ x ）圖象向左移動m個單位得到y = f （ x + m ）的圖象。相較于直接告訴學生“左加右減”死記硬背的圖象變化方式，教師設計這樣實驗來教學更有利于學生學習數學。在此過程中，學生體驗了知識的發生過程，也推導出了結論，深刻理解和掌握了數學思想方法。

四、創設數學實驗平臺，培養學生數字化探究能力

數學問題中有許多開放性問題和探究性問題，是培養學生探究能力、提高其數學素養的好素材。TI圖形計算器的應用在這些探究學習中將發揮重要作用。

【例】在圖象上任意取3點作一個三角形，作出它的垂心，觀察垂心的位置有什么特點。

教師引導學生利用計算器作函數 的圖象，在圖象上任意取3點，構造三角形，然后任意作兩邊的高，它們的交點就是三角形的垂心且落在函數圖象上（如圖4a），然后任意拖動3點，改變它們在函數圖象上的位置，垂心始終在函數的圖象上（如圖4b）。于是猜想，頂點在反比例函數圖象上的三角形的垂心始終在函數的圖象上。能夠證明嗎？

下面利用圖形計算器進行代數證明（如圖5），在計算器上新建一個計算頁面，首先定義函數""""""""，3個頂點坐標表示為（x_a，y_a）、（x_b，y_b）和（x_c，y_c），通過符號代數運算計算出AB、BC的斜率，再寫出高CD、AE的方程，用一般聯解方程組的方法得到垂心坐標為（-，-x_a·x_b·x_c），顯然滿足函數的表達式，說明垂心在函數的圖象上。

總之，教師利用圖形計算器進行符號表達式的運算，顯示和處理數據，制作幾何圖形、函數圖象、統計圖表等，對數學對象進行多元表征，并將其動態展現出來，使抽象的數學思維可視化、形象化，有利于學生理解數學，抓住本質，提升素養。教師可以創設基于圖形計算器的數學情境，引導學生使用圖形計算器去探究、去發現、去證明，在探究活動中體驗知識建構過程，積累數學活動經驗。

對照以數學學科核心素養為統領的課改訴求，必須從完善課程內容、加強實踐環節入手，而以“數學實驗”為載體進行教學創新適逢其時。研究表明，借助信息技術可以實現數學對象變化過程的可視化和連續性，以有序的變化過程幫助學生發現不變量和規律性^[2]。TI圖形計算器是開展數學實驗的有效工具，教師可以利用TI圖形計算器創設數學學習和探究的情境，提升學生的思維能力。

注：本文系北京市海淀區“十三五”重點課題“圖形計算器情境下數學核心素養培養研究”（課題編號：HDGH20190088）的部分成果。

參考文獻

[1] 唐劍嵐.概念多元表征的教學設計對概念學習的影響[J].數學教育學報，2010（2）：28-33.

[2] 章建躍.課程改革呼喚數學實驗[J].江蘇教育，2017（4）：18.

（作者系北京市第一〇一中學教師）

責任編輯：祝元志