借助GeoGebra進行正方體截面問題的可視化探究

高中立體幾何模塊中正方體截面問題是典型問題之一，經常見于測評和考試之中。這類問題大致有以下幾種題型：正方體截面形狀的確定;截面的面積與周長的計算或者最值求解問題;截面圖形計算等問題。學生探究此類問題，對培養和發展他們直觀想象、邏輯推理、數學抽象等素養具有重要意義^[1]。教師在教學中，如果僅靠板書講解這類題目，可視化程度不高，學生理解起來相對吃力，特別是對于空間想象力不強的學生。為解決以上問題，筆者設置系列問題串，借助可視化程度極高的GeoGebra軟件，創設動態模型，呈現幾何作圖的思路，對正方體截面的邊數、形狀以及面積問題展開探究，讓學生親歷探究、發現、證明新問題的過程，培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累數學探究活動經驗^[2]。

一、借助軟件解答正方體截面邊數與形狀的問題

（一）探究內容

教師提出問題1：正方體的截面是一個多邊形，該截面多邊形的邊數最多為多少？緊接著，教師提出以下3個探究問題，讓學生先獨立思考，再提出自己的猜想，最后參與組內的研討，借助手上的一切資源進行驗證，選出代表作答。

探究1：用1個平面截正方體，截面的邊數有多少種情況，分別是什么形狀？

探究2：當截面為三角形時，截面是否存在特殊的情況？如存在，有幾種類型？

探究3：當截面為四邊形時，可以截出多少種四邊形、五邊形、六邊形呢？

（二）借助GeoGebra創設動態模型

如何解答問題1中關于截面邊數的問題？在教學過程中，教師利用GeoGebra建立模型創設情境，幫助學生探究（如圖1）。具體操作如視頻所示（掃碼看視頻一）。

（三）借助動態模型直觀感知，引導探究

在教學中，對于第1個探究問題大部分學生能回答出來：截面的形狀有可能是三角形、四邊形、五邊形和六邊形。為了讓學生有效構建空間概念，提高空間想象能力，教師讓學生上臺操作GeoGebra，通過改變滑動條a、b和c，獲得不同的截面。教師通過引導讓學生深入理解截面的本質，即截面的邊數取決于平面經過正方體的平面數量，進而得出結論：截面的邊數最多為6。

對于第2個探究問題，當截面是三角形時，教師使用GeoGebra動態跟蹤軌跡功能，讓學生觀察截出的一系列不同顏色的三角形（如圖2a）。以特殊點——中點為例，教師引導學生分析，什么時候存在特殊的三角形，存在哪些特殊的三角形（分析平面與正方體的交點）。學生分析得到結論：三角形可以是等邊三角形以及等腰三角形。教師進一步提問：“按邊的關系分類截面可以是等邊三角形、等腰三角形，若按角分類呢，截面可能是直角三角形或者鈍角三角形嗎？”學生展開探討。

為解答第3個探究問題，教師繼續通過控制滑動條，進一步演示截面為四邊形的情況（如圖2b）。由平面基本定理可知，四邊形有1個共同點，就是有1組對邊是平行的。學生很快探究得到結論，這些四邊形可以是矩形、菱形、正方形、梯形。教師進一步提問：“梯形之中是否存在直角梯形呢？”教師以此測評學生對線面關系及其相關定理是否掌握。

經過探究與思考，學生利用所學知識驗證了猜想，證明了結論。

二、借助軟件解答正方體截面面積問題

（一）探究內容

教師提出問題2：已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為多少？教師組織學生開展以下3項探究活動。

探究1：“平面α與正方體每條棱所在直線所成的角相等”，這一條件如何轉化？

教師引導：正方體有12條棱，4條棱編為一組，共有3組相互平行的棱，此時能否將問題轉化？

探究2：借助探究1，能否找出平面或者與之平行的平面？

探究3：在所有平行平面中，如何找到面積最大的平面，如何轉化？

（二）借助GeoGebra進行可視化教學探究

在實際的解題中，學生很難想象出，究竟平面α在哪里，如何將它找出來。學生解題往往會卡在不知如何利用“每條棱所在直線與平面α所成的角相等”這個條件上。其實，這個條件是將抽象問題具體化的突破點。教師以探究內容為主線，借助GeoGebra軟件引導學生一步步分析探究。利用前面的方法，教師創建了一個棱長為1的正方體。

對于問題2中的探究1，該正方體為ABCD-EFGH，正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等。正方體有12條棱，4條相互平行的棱為一組，共有3組相互平行的棱。問題可以轉化為共點的3條棱GF、GH、GC與平面所成的角都相等。如果找到一個平面β與共點的3條棱GF、GH、GC成的角都相等，那么這個平面β與平面α平行。經過這一步轉化，問題更加具體化。教師連接FC、CH、FH，得到三棱錐G-FCH（如圖3a）。顯然，三棱錐G-FCH是一個正三棱錐。棱GF、GH、GC與底面FCH所成的角相等。

教師借助GeoGebra引導學生找出棱GF、GH、GC與底面FCH所成的角，操作過程如視頻所示（掃碼看視頻二）。

學生有了問題2中探究1的經驗，發現以G為共頂點的有3條棱，其與△FCH所成的角相等（如圖3b），平面α與△FCH要么平行要么重合，順利完成了問題2中探究2的任務。

接下來，教師利用GeoGebra的跟蹤功能和相交路徑指令，制作動態課件，通過控制滑動條，模擬平面與正方體相截的過程，進而得到一系列與△FCH平行的平面系（如圖3c），讓學生對抽象的問題有一個更加直觀的感受和認知。

對于問題2中的探究3，題中截面只有三角形和六邊形兩種情況，求截面的最大值就要分析三角形面積的最大值以及六邊形面積的最值，將兩者進行比較即可。對于截面面積的求解，分為兩種情況討論。

第一種情況：若截面為三角形，這些三角形面積的最大值應該與△FCH面積相等，易證。

第二種情況：若截面為六邊形，教師需要引導學生去證明。教師將GeoGebra軟件的視角轉成“俯視圖”視角，得到正六邊形在底面的投影，投影的面積與原面積成正比，通過求投影的最大值得到原六邊形面積（如圖4）。

三、借助軟件進行變式探究

（一）探究內容

教師提出問題3：已知正方體的棱長為1，平面α過正方體的1個頂點，且與正方體的每條棱所在直線所成的角相等，則正方體在平面α內的正投影面積是多少？教師讓學生開展以下4項探究活動。

探究1：“平面α與正方體每條棱所在直線所成的角相等”，這一條件如何轉化？

教師引導 ：正方體有12條棱，4條棱為一組，共有3組相互平行的棱，此時能否將問題轉化？

探究2：借助探究1，能否找出平面α或與之平行的平面？

探究3：找到平面α之后，如何作正方體的正投影，該投影是什么形狀？

探究4：計算正方體在平面α內的正投影的面積。

問題3與問題2的解題突破點相似，兩題都是需要將題目條件進行轉化。學生探究解題就是邏輯轉化的過程，他們在這一過程中能夠發現問題、提出問題、分析問題，最后找到解決問題的方法。

（二）借助GeoGebra進行解題演示

對于問題3，教師先要求學生進行合作探究，緊接著讓他們分析合作探究的結果，最后通過GeoGebra展示解題思路的演示過程。

對于問題3中的探究1，在問題2的基礎上，學生很快找到解題的突破點，完成探究1的任務。有學生提出，通過“平面α與正方體每條棱所在直線所成的角相等”可以轉化為“平面α與正方體共頂點的3條棱所成的角相等”。絕大部分學生經過問題2的探究后，意識到平面α與△FCH平行。

為解答問題3中探究2的問題，教師引導學生想辦法找出平面。學生提出：平面既然過正方體的其中一個頂點，那么可以假設平面α過點A，作與△FCH平行的平面α。

對于問題3中探究3，在完成探究2后教師再引導學生思考如何作投影面。學生聯系空間立體幾何中投影的知識，馬上找到作投影的方法，過每個頂點，作平面α的垂線，將投影點依次連接便可以得到正方體在平面α的投影，得到投影為正六邊形。點G在平面α的投影點為點A。學生將各個頂點依次相連，得到完整的投影。正方體在平面α的正投影是3個全等的菱形。

教師借助GeoGebra將學生的思路呈現出來（如圖5）。教師將解題過程可視化，有利于學生加深理解，建立數學直觀。

對于問題3中探究4，求投影面積應先求正六邊形的邊長。學生已經知道將面積問題轉化為求邊長的問題。學生通過探究3可知：點G在平面α內的投影為點A，點C在平面α內的投影到點A的距離為O₁A，計算得到O₁A=

在正方體截面問題的探究中，三道例題的難度逐漸加大，教師利用問題串進行探究教學。課堂上教師借助GeoGebra軟件，模擬幾何作圖法，逐步呈現學生的思路，將學生腦海中抽象的思考過程可視化。同時，教師通過構建動態模型，讓學生通過操作觀察，先猜想，再證明猜想，最后獲得結論。學生在親身經歷由淺入深的探究過程后，其發現問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力得到一定程度提升。每道例題的探究之間存在一定的關聯，學生在關聯情境中，利用前面學過的知識，分析題目條件，選擇恰當的方法進行證明，鞏固、深化所學知識。教師合理使用GeoGebra可以幫助學生建立數學直觀，讓學生在情境和問題中感悟數學本質，提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養。

注：本文系2021年廣東省教育科學規劃課題“信息技術與區域教研深度融合的實踐研究”子課題“信息技術與數學學科教研深度融合的研究”（批準號：2021YQJK046-2）的階段性成果和2021年廣州市白云區教育科研小課題“GeoGebra與高中數學融合的可視化教學案例研究”（立項號：2021XKT170）的研究成果。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 劉亞利.正方體截面問題的幾何作圖法及案例分析——淺談《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“數學學科核心素養”如何落地數學課堂[J].新課程（中學），2019（4）：58-59.

（作者周李曉系廣東省廣州市亞加達外國語高級中學教師;李征系廣東省廣州市白云區教育研究院教研員）

責任編輯：祝元志