根式基礎極限承載力預測的修正雙曲線法

沈浩浩, 羅曉光, 余 竹

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通控股集團有限公司,安徽 合肥 230088)

0 引 言

根式基礎或根樁是一種新型基礎形式[1],它是通過將預制的根鍵頂入樁身預留的孔中而形成的一種異形樁,因形似樹根而得名,已成功應用于馬鞍山長江大橋、池州長江公路大橋中。根式基礎通過頂入根鍵來提高承載力并減小沉降,充分發揮根鍵的作用,現場試樁的荷載試驗表明效果顯著,具有很好的應用前景。

根式基礎豎向和水平承載力研究已經取得一些成果[2-3]。樁-土相互作用的機理較為復雜,引入水平的根鍵后更難處理,具有較大的不確定性,因此現場載荷試驗的結果是確定根式基礎承載力的最可靠方法[4]。然而由于現場靜載試驗費用大,受制于現場條件可能無法加載到根式基礎破壞就停止加載,很難得到根式基礎的最終極限承載力。從已有的試樁資料統計來看,一些根式基礎的試樁結果未達到相應規范要求的極限承載力,因此如何通過已有的試樁數據準確預測根式基礎的極限承載力是當前需要考慮的問題[5-6]。

為了解決普通樁的極限承載力預測問題,文獻[7]采用雙曲線模型模擬樁的荷載-沉降曲線,預測單樁的承載力;文獻[8]采用完整指數模型擬合單樁荷載-沉降曲線;文獻[9-10]利用完整指數模型等數學模型,估算試樁未達破壞時的單樁極限承載力;文獻[11]對比分析了幾種單樁豎向極限承載力的預測模型;文獻[12-13]分別提出基于Boltzmann函數及Usher生長模型的單樁極限承載力預測模型。

本文在普通樁極限承載力預測的雙曲線模型基礎上,結合根式基礎的特點,即考慮根鍵的作用,提出一種修正雙曲線模型,能夠更好擬合根式基礎的荷載-沉降(Q-s)曲線;進行根式基礎的極限承載力預測,并與完整指數模型及現場試樁實測結果進行對比分析,驗證所提出修正雙曲線模型預測根式基礎極限承載力的有效性。

1 根式基礎承載力預測模型

1.1 修正的雙曲線模型

傳統的雙曲線模型和完整指數模型可以用來描述樁頂Q-s關系,能基本擬合樁基靜荷載的Q-s曲線。

雙曲線模型假設樁基礎的Q-s曲線符合雙曲線方程,即

(1)

其中:Q為作用于樁頂的荷載;s為樁頂沉降量;a為Q-s曲線原點的切線斜率的倒數;b為基礎極限承載力的倒數。

完整指數模型假設樁基礎的Q-s曲線符合指數方程,即

Q=Qu(1-e-b′s)

(2)

其中:Qu為基礎的極限承載力;b′為經驗參數。

為了更好地模擬實際工程的情況,一些研究者對雙曲線模型作出相應的修正。文獻[14]在預估試樁極限承載力時提出調整雙曲線模型;文獻[15]在研究嵌巖預應力高強混凝土(prestressed high-intensity concrete,PHC)管樁承載特性時提出修正雙曲線模型;文獻[16]在描述抗拔擠擴支盤樁Q-s曲線時提出相應的修正雙曲線模型。

大量工程實踐證明,傳統的雙曲線模型在樁基的彈性變形階段能夠很好地擬合Q-s關系,但是當荷載水平較高時,進入塑性變形階段后擬合效果并不是很理想,導致擬合的Q-s曲線尾部誤差較大,最終的單樁極限承載力預估值與現場實測值產生偏差。

針對根式基礎的特性,為了體現根鍵對于極限承載力的影響,提高擬合精度,考慮到雙曲線模型應用的廣泛性,本文在雙曲線模型的基礎上建立如下修正的雙曲線模型:

(3)

其中,分母增加ce-ds這一影響因子,即引入新的c、d經驗參數,使得該模型能夠更好地擬合根式基礎Q-s曲線。可以看出,當c=0時,(3)式為普通的雙曲線模型,為本文修正模型的一個特例。

該修正模型用于調整樁頂Q-s曲線彈性變形階段和彈塑性變形階段,應同時滿足雙曲線模型的2個明顯特征:當s取值為0時,Q取值為0;當s→∞時,Q=Qu。因此,(3)式中需要d>0,c沒有特定的要求,擬合時無取值限制。

1.2 模型參數確定

對于修正的雙曲線模型(3)式,只要求得模型中的參數a、b、c、d,即可進行根式基礎極限承載力預測。根據根式基礎現場載荷試驗的試樁資料,可獲得一系列的樁頂荷載Qi與相應的豎向沉降si(i=1,2,3,…,m;m為荷載施加級數)。只需對Q-s曲線進行非線性擬合,即可得出這些參數的取值。

為了保證實測的樁頂荷載Qi與擬合的樁頂荷載Qi′總體偏離度最小,保證偏差的均值達到最小,取目標函數為:

(4)

其中,Δ為相對誤差。采用最小二乘法非線性擬合樁頂Q-s曲線,可以找到使目標函數取得最小值時相應的參數。

最小二乘法非線性擬合采用Levenberg-Marquardt算法,該算法是對Gauss-Newton算法的一種改進,利用如下線性方程組的解dk作為在點xk處的一個搜索方向:

(J(xk)TJ(xk)+μkI)dk=-J(xk)TF(xk)

(5)

dk=-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)-1F(xk)

(6)

其中:k為迭代次數;I為單位矩陣。為書寫方便,下文將J(xk)、F(xk)分別簡記為Jk、Fk。

Fk=[F1(x)F2(x) …Fn(x)]，F1,F2,…,Fn均為(x1,x2,…,xn)上的多元函數,Jk為Fk的Jacobi矩陣。Fk和Jk矩陣維度應根據實測荷載級數確定,本文采用信賴域的方法,引入參數μk>0,克服Jacobi矩陣奇異所帶來的搜索困難,從而獲得全局收斂的解。μk計算公式為:

(7)

其中,θ為給定參數,0<θ<1;αk為調整因子,迭代過程中通過不斷調整其大小來改變參數μk的大小,(5)式的解與參數μk相關。

該算法迭代過程如下:

(1) 給定x1∈Rn,ε≥0,α1>q>0,0≤p0≤p1≤p2<1,k∶=1。其中:q為給定參數,是αk的下界,當迭代解靠近方程組真實解時,防止試探步過大引起的數值計算困難;p0、p1、p2為給定參數,按照信賴域方法的普遍做法,取p0=0.000 1,p1=0.25,p2=0.75,迭代過程中其大小不變。

(3) 定義第k步實際下降量Adk和預估下降量Pdk分別為:

Adk=‖Fk‖2-‖F(xk+dk)‖2,

Pdk=‖Fk‖2-‖Fk+Jkdk‖2。

計算rk=Adk/Pdk,通過rk來判斷試探步dk是否可以接受,并調整每次迭代過程中參數μk的取值。令

(4) 計算αk+1,即

令k∶=k+1,返回步驟(2)繼續迭代。

2 工程實例驗證

對池州長江公路大橋(簡稱“池州橋”)、秋浦河特大橋(簡稱“秋浦河橋”)、淮河特大橋(簡稱“淮河橋”)、望東長江公路大橋(簡稱“望東橋”)工程中共計5根根式基礎現場荷載試驗結果進行模擬和驗證。池州橋有2根試樁,其中1根試樁采用堆載法進行加載,其余4根試樁均采用自平衡法進行加載,在試樁下部位置埋設一個大型荷載箱,樁身埋設測試元件,待樁身砼齡期達到測試要求后進行加載。

池州橋覆蓋地層第1層至第8層為第四系全新統沖積層,下伏基巖為白堊系下統楊柳灣組泥質粉砂巖、砂巖和粉砂質泥巖。

淮河橋地表出露地層為第四系全新統、上更新統,其下伏基巖為上太古界霍邱群、上寒武統、下奧陶統、二疊系、白堊系、下第三系。

望東橋覆蓋地層主要由第四系沖積成因的黏性土、粉細砂及卵石、碎石土組成,下伏基巖為第三系雙塔寺組礫巖、二疊系灰巖。

秋浦河橋下伏基巖以白堊系上統宣南組礫巖為主,局部夾透鏡體狀泥質粉砂巖,巖面平緩,上部礫巖膠結程度相對較弱,下部礫巖膠結較好。5根根式基礎的試樁詳細參數見表1所列。

表1 根式基礎試樁參數

為了比較分析,5根根式基礎分別采用傳統雙曲線模型、完整指數模型和本文修正雙曲線模型3種模型進行Q-s曲線擬合,擬合結果如圖1～圖5所示,并與實測數據進行比較。從圖1～圖5可以看出,本文修正雙曲線模型能夠更好地擬合根式基礎的Q-s曲線,主要體現在曲線的尾部。當荷載等級較低時,3種模型均能較好地擬合根式基礎的承載特性,但當荷載逐漸增大直至停止加載,雙曲線模型和指數模型的擬合曲線都出現一定程度的偏離,沒有很好地體現根式基礎的極限承載力,而本文修正雙曲線模型可以更好地擬合根式基礎Q-s曲線,與實測數據較為相符,其預測的根式基礎極限承載力也具有更高的可信度。

5根根式基礎擬合的相關系數見表2所列。從表2可以看出,本文修正雙曲線模型的擬合效果均好于雙曲線模型和完整指數模型,相關系數(R)達到0.995 4以上,平均為0.998 5,高于雙曲線模型的0.992 0和指數模型的0.996 7。

圖1 池州橋①試樁擬合結果

圖2 池州橋②試樁擬合結果

圖3 淮河橋試樁擬合結果

圖4 秋浦河橋試樁擬合結果

圖5 望東橋試樁擬合結果

以淮河橋試樁(R=0.998 4)擬合曲線為例,對各級荷載的擬合值進行驗證,結果見表3所列。從表3可以看出,淮河橋試樁各級荷載最大相對誤差為3.547 3%,平均相對誤差為1.789 9%,擬合效果很好,在荷載等級較高時相對誤差均較小,對曲線尾部擬合精度較高,能夠很好地描述荷載等級較高時根式基礎的承載特性。

以池州橋②試樁(R=0.995 4)為例進行擬合曲線的驗證,取前10級荷載進行曲線擬合,得到相應的擬合參數后,通過擬合曲線對最后3級承載力進行預測,并與實測值對比,結果見表4所列。由表4可知,池州橋②試樁最后3級荷載的實測值與預測值非常接近,平均相對誤差為0.756 5%,擬合曲線的結果具有較高的可信度,可用來進行根式基礎極限承載力預測。

表3 淮河橋試樁擬合值驗證

表4 池州橋②試樁最后3級荷載預測值驗證

3 根式基礎極限承載力預測

根據文獻[17],試樁極限承載力的確定主要有以下方式:對于陡降型Q-s曲線,取其發生明顯陡降的起始點對應的荷載值;對于緩變型Q-s曲線可根據沉降量確定,宜取s=40 mm對應的荷載;對于直徑大于或等于800 mm的灌注樁或閉口樁,可取s=0.05D對應的荷載值。

根式基礎由于根鍵的存在大大提升了承載力和抗變形能力,Q-s曲線均表現為緩變型,確定承載力時要考慮土體結構對基樁沉降的要求。當Q-s曲線呈緩變型且樁長超過40 m時,可加載至樁頂總沉降超過80 mm,故根式基礎采用80 mm與0.05D中的較小值對應的荷載值為相應的極限承載力。根式基礎的極限承載力現場實測結果和本文修正雙曲線模型預測結果對比見表5所列。

從表5可以看出,根式基礎的預測極限承載力均高于現場實測的承載力,這是由于受到現場加載條件的限制,現場試驗均無法加載到根式基礎破壞。對于采用自平衡法測試的根式基礎,上段樁先于下段樁達到試驗終止的條件,未得到下段樁的極限承載力。

望東橋試樁由于樁底嵌巖,且樁身進行了注漿,極限承載力較大,受限于加載條件,達到荷載箱最大加載能力時,根式基礎的沉降僅有15 mm,遠沒有達到文獻[17]要求的極限值,因此極限承載力遠遠超出現場實測值。

表5 根式基礎極限承載力預測結果與實測結果對比

4 結 論

根式基礎是一種新型的樁基礎,本文提出修正的雙曲線模型預測根式基礎的極限承載力,并與傳統模型和實測結果進行比較,得到以下結論:

(1) 傳統的雙曲線模型、完整指數模型和本文修正雙曲線模型對根式基礎的擬合表明,本文修正雙曲線模型具有更高的擬合精度,擬合效果更好,相關系數均在0.995 4之上,平均相關系數為0.998 5。

(2) 基于本文修正雙曲線模型的根式基礎荷載的計算值與實測值之間的誤差較小,且曲線尾部與實測結果吻合更好,擬合精度更高,表明本文修正雙曲線模型可用來預測根式基礎的極限承載力。

(3) 從承載力預測結果可以看出,根鍵的存在大大提高了根式基礎的豎向極限承載力,受到現場試樁條件的限制,根式基礎現場實測極限承載力過于保守,按照現場實測極限承載力進行設計具有很高的安全系數。