電能質量信號去噪中小波選取特點的研究

龔靜

(北京建筑大學 電氣與信息工程學院， 北京 100044)

0 引 言

智能電網的發展使得大量電力電子器件和非線性、波動性負荷不斷增加，進而帶來了各種電能質量問題。在實際應用中，由于設備安裝的位置、外界的電磁干擾等因素，利用監測設備測量、傳輸電能質量信號的過程中不可避免地會受到隨機噪聲的干擾。噪聲的存在會嚴重影響信號擾動點的分析和定位，因此，有效去噪是治理電能質量的重要基礎[1-3]。

目前提出了各種去噪方法，主要包括：S變換、小波變換、數學形態學、經驗模態分解、非線性中值濾波器等，這其中小波變換又以其具有低熵性、多分辨率特性和去相關性而廣泛用于電能質量檢測中。為了實現去噪，要先設定閾值，然后對小波系數進行置零或者收縮等處理，對處理后的小波系數進行逆變換，重構信號將較好地還原原始信號。傳統傅里葉變換的母函數確定就是正弦函數和余弦函數，而小波變換的母函數卻不固定。在進行電能質量信號去噪時，各小波所具有的不同特性會使得去噪效果大不一樣，選擇什么小波去分解和重構信號會對去噪效果有著重要影響[4-14]。但目前卻并沒有文獻在小波選取上進行深入的研究，不同的文獻選擇了不同的小波，如文獻[6]選擇的rbio 3.1小波，文獻[7-8]選擇了db 4小波，文獻[9]采用db 6小波，文獻[10]采用db 2和db 8小波，文獻[11-12]采用sym 8小波，但這些文獻都沒有詳細說明具體的小波選取原則，也并沒有深入探索這些不同小波所具有的不同特性對去噪結果的影響。

文中提出一種含有可調參數的新閾值函數，在研究小波諸多特性對去噪結果影響的基礎上，給出了在電能質量信號去噪中所選取的小波應該滿足的五個特點。

1 可調閾值函數和閾值的選取

1.1 新閾值函數的提出

閾值函數的選取對去噪重構信號高頻信息和平滑性有著直接的影響，軟閾值函數因其過渡光滑會造成高頻信息的損失，硬閾值函數因其不連續會產生一些間斷點，提出的可調閾值函數，通過對其參數m的控制，可以實現多種不同的軟硬特性，其數學表達式如下：

(1)

式中m為可調節因子，可取任意正常數。

當m→∞時，有：

(2)

顯然，式(2)變成了硬閾值函數表達式。

同理，當m→0時，將變為軟閾值函數。

當參數m∈(0，∞)，改變參數m的值，新閾值函數可以在軟硬閾值函數之間變動，其示意圖如圖1所示，圖中分別展示了m取0.8、1.3、2、3、5、14時的閾值函數，當m=14時，新閾值函數比較接近硬閾值函數，隨著m值的逐漸減小，新閾值函數慢慢趨于軟閾值函數特征，當m=0.8，新閾值函數已經比較接近軟閾值函數了。從圖1可見，m取不同值時，新閾值函數分別軟硬閾值函數之間的不同區域，反應了多種不同的軟硬特性，實際中m一般可以在0～30之間取值。

圖1 新閾值函數示意圖Fig.1 Schematic diagram of new threshold function

1.2 閾值的選取

(3)

式中j為小波分解尺度；N為在j尺度上的小波細節系數cdj,k的總個數，噪聲標準差σj計算如下:

(4)

圖2 去噪算法流程圖Fig.2 Flow chart of wavelet de-noising algorithm

2 小波特性分析

2.1 正交性

在小波分析中，討論比較多的是平移的系統，即有：

2.2 支撐長度

隨著時間或頻率逐漸趨于無窮大，小波函數和尺度函數逐步收斂，支撐長度表明了其從有限值收斂到零的速度。小波的支撐長度越小，則局部化能力越強，對檢測信號的突變點越有利，但同時也會導致光滑性變差。濾波過程中會產生人為截斷，緊支小波能很好地避免截斷導致的誤差，從而提高精度[16]。時域快速衰減、頻域緊支的小波函數在分解信號時，能夠提供系數有限的沖擊響應濾波器。

2.3 正則性

對函數f，若|f(x)-f(x0)|≤C|x-x0|α，x∈(x0-δ,x0+δ)(C、α>0為常數)，則稱f在x0具有局部Lipschitz指數α，如果g在x0具有局部Lipschitz指數β，而β>α，則g比f在x0具有較高的局部正則性[17]。如果ψ(t)的正則性高，則近似計算的穩定性好，否則，幾乎到處會出現近似計算不穩定的問題。如果信號在某一點或者在某一區間是可微的，那么稱信號在該點或者在該區間是正則的，反之就是奇異的。

2.4 消失矩階數

2.5 對稱性

設函數f(t)∈L2(R)，如果滿足：

f(a+t)=f(a-t)

則稱f(t)具有對稱性。

如果滿足：

f(a+t)=-f(a-t)

則稱f(t)具有反對稱性。

對稱性主要用來表征信號的相位信息。緊支小波函數的線性相位性可以等同于其對稱性，也就是說，若小波的對稱性越好，則其具有更好的線性相位性。

2.6 小波選取遵循的五個特點

基于以上對小波特性的分析，為取得更好的去噪效果，選取的小波應滿足以下特點：

(1)具有正交性。

利用正交小波函數處理信號，能夠減少誤差，避免信號能量和特征的丟失。在小波分解過程中，正交性能夠保證沒有冗余；在基函數平移過程中，正交性可以實現信息的不重疊；

(2)較長的支撐長度。

支撐長度越長越適于做頻域信號的局部分析，反之則適于時域信號。在電能質量信號的去噪中，對時域要求不高而更關注頻域的信息，故應該選擇具有較長支撐長度的小波函數；

(3)較高的正則性。

正則性越高，小波越能快速收斂，頻域的局部性也就越好。小波函數的正則性會在一定程度上影響小波重構系數的穩定性，具有一定的正則性則可以獲得更穩定的小波重構信號；

(4)較高的消失矩階數。

消失矩階數越高，則小波變換后的能量主要集中在低頻部分，小波分解后信號的能量也越集中，因此在檢測高階導數不連續的信號時，局部化能力得以提升；

(5)對于對稱性要求不高。

去噪并不一定要求小波的濾波特性要具有線性相位。

3 實驗研究

3.1 從細節圖對比去噪結果

利用小波對信號進行分解時，必須確定合理的分解尺度，對信號的頻帶進行正確的劃分，頻帶劃分不宜過細以防止采樣點數過少，也不宜過寬以防止準確性降低，綜合考慮后，確定分解到第4尺度。依據IEEE 1159電能質量監控標準建立擾動信號，基準頻率取為50 Hz。因實際中電能質量數據的采樣通常都是12.8 kHz,故文中選取采樣頻率為12.8 kHz,即每周波256個采樣點[19]。實驗時長0.3 s,共計3 840個采樣點。限于篇幅，下面以一含有暫升、中斷、諧波三種擾動的復合電能質量信號為例，選擇有代表性的db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波按照圖2流程進行去噪后的信號如圖3所示。從圖3初步可以看出，rbio 3.1小波去噪后波形很不光滑，效果差，為能更清晰地觀察其他三種小波的去噪效果，將A、B、C三處(如圖3中虛線框標示)的波形進行局部放大，對應的細節放大如圖4所示，進一步將C點細節圖中的D點局部放大，得到圖4中的D點細節圖。

圖3 四種小波去噪后的信號Fig.3 De-noised signals by four kinds of wavelets

圖4 ABCD點的細節圖Fig.4 Details of ABCD points

波形分析：從圖4的C點細節圖可以清晰地看到，采用rbio 3.1小波去噪后波形與原始信號波形相差甚遠，毫無規則且大幅度的偏離原始信號，其去噪效果明顯遠遠差于db 5、haar、bior 2.2小波。再從圖4 的A、B、D點細節圖對比db 5、haar、bior 2.2三種小波，顯然haar小波去噪后波形偏離原始波形較大且不光滑，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，達到了最好的去噪效果。bior 2.2小波去噪后波形盡管與原始波形較為接近，但仍然存在偏離較大的位置，如A點細節圖[0.065，0.0655]、B點細節圖的[0.195，0.1955]、D點細節圖的[0.267，0.268]等區間出現的冒尖點，故bior 2.2小波去噪效果優于haar小波，但劣于db 5小波。

原因分析：結合各小波的特性來進一步分析深層次的原因。db 5、bior 2.2、haar小波的支撐長度分別為9、6、1，上述的波形分析驗證了2.6節提出的選取特點(2):較長的小波支撐長度具有更好的去噪效果。而通常支撐長度越長則正則性也越好，這也驗證了2.6節提出的選取特點(3):選擇較高正則性的小波將更有利于去噪。db 5、bior 2.2、haar小波的消失矩階數分別為5、1、1，驗證了2.6節提出的選取特點(4):較高的消失矩階數更有利于頻域的分析。對稱的haar和rbio 3.1小波的去噪效果不如近似對稱的db 5小波和不對稱的bior 2.2小波，可見對稱性對去噪效果影響不大，這驗證了2.6節提出的選取特點(5):去噪中對于對稱性無特殊要求。另外，bior 2.2和rbio 3.1小波都無正交性，但bior 2.2小波消失矩階數為1，而rbio 3.1無消失矩階數，前者去噪效果尚可，故可見相比于正交性，消失矩階數是影響去噪的關鍵因素。

綜上可知， db 5小波的去噪效果優于bior 2.2，這兩者又明顯優于haar、rbio 3.1小波。

3.2 從SNR和MSE指標對比去噪結果

去噪效果的評價指標[20-21]通常是信噪比SNR(Signal-to-Noise Ratio)和均方誤差MSE(Mean Square Error)，其定義式為:

(5)

(6)

式(5)、式(6)中，s(t)表示原始信號；s′(t)表示去噪后的信號。

建立電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種電能質量擾動模型，利用db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1四種小波按照圖2流程進行去噪后的SNR和MSE值,如表1所示。可見，無論輸入信噪比為何值，無論是哪種擾動類型，去噪后的SNR值從高到低排列、去噪后的MSE值,從低到高排列對應的小波依次為db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1，信噪比越大，均方誤差越小，則去噪效果越好，這進一步證明了滿足2.6節提出的小波選取特點的db 5小波去噪效果最好。

表1 四種小波去噪后的SNR和MSE對比Tab.1 Comparison of SNR and MSE after different wavelets de-noising

當輸入SNR=18 dB時，針對電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種擾動情況，利用db 5小波進行去噪，波形如圖5所示，可見db 5小波去噪后的波形光滑，選用db 5小波達到了較好的去噪效果。

圖5 含噪信號和db 5小波去噪后的信號Fig.5 Noisy signals and de-noised signals by db 5 wavelet

4 結束語

文章提出的可調閾值函數兼具軟、硬閾值函數的優點，閾值修正算子的引入更好地反映了信號和噪聲小波系數在不同尺度間的傳播特性。對小波的特性進行了深入研究，進而提出了在電能質量信號去噪中小波選取應滿足的五個特點，即應該選擇具有較長支撐長度、較高正則性和消失矩階數的正交小波，而對小波的對稱性沒有特殊要求。針對電壓暫降、暫升、中斷、振蕩、諧波五種電能質量擾動，采用db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波進行去噪，實驗結果表明，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，且去噪后SNR最大、MSE最小，去噪效果遠優于其他三種小波，這證明了所提小波選取原則的正確性。