基于S型增長曲線組合預測模型的滑坡變形預測研究

彭 鑫，賀小黑，賀鑫焱，彭必建

(1. 東華理工大學水資源與環境工程學院，330013，南昌；2. 中國人民武裝警察部隊研究院 工程設計研究所，100012，北京；3.北京國信華源科技有限公司，100055, 北京；4.云南地質工程勘察設計研究院，650041，昆明)

0 引言

斜坡巖土體在構造、地應力等內在因素控制作用及降雨、人類工程活動等外在誘發因素共同影響下，沿著某一軟弱結構面產生成塊的滑移現象，稱為滑坡。一旦下滑的滑體達到一定規模時，就可能造成其周邊影響范圍內的重大經濟損失以及危害人員生命安全[1]。為了盡可能避免滑坡的危害，根據監測信息進行滑坡的預測預報成為滑坡防治工程的重要一環。

滑坡的預測預報研究包括時間尺度上的失穩時間預報和空間尺度上的變形趨勢預測等內容[2]。學者們基于不同的理論對滑坡變形監測數據分析采用了多種方法，其中，在滑坡變形預測方面，學者們在基于灰理論、生長曲線理論的統計型模型以及依據突變理論、協同理論等非線性理論的非線性模型投入了非常大的精力，取得了豐碩的研究成果，比較典型的變形預測模型有基于生物生長曲線的S型生長曲線擬合模型(Verhulst、Pearl)[3-4]；基于灰理論的GM(1,1)模型[5-6]；基于機器學理論的神經網絡模型[7-8]、支持向量機等模型[9-10]等。

然而，有些模型方法過程復雜，可能需要較深的數學理論知識儲備(如協同理論[2,11]、混沌理論[12])，當模型的掌握不夠深時容易造成模型預測精度不可控。Verhulst和Pearl模型在滑坡的變形預測和時間預報方面都有應用，其數學理論相對簡單，有高等數學基礎的人就能熟練運用。因此，針對Verhulst和Pearl單一預測模型預測精度的不足，本文基于加權組合預測的思想[13]，采用最優加權組合Verhulst和Pearl子模型對其進行優勢互補，提高滑坡預測模型的變形預測精度，并通過已有滑坡實例對其進行驗證。

1 滑坡的變形演化特征

通過總結大量的監測位移-時間曲線的形態特征，許強[14]等人將滑坡分為：穩定型滑坡、漸進型滑坡、突發型滑坡(圖1)。對于突變型滑坡，有學者研究發現其一般具有較深的滑動面，且一般會發生液化現象，如修德皓[15]、許強[14]等人通過對甘肅黑方臺滑坡研究發現，由于黃土固有的濕陷性，在降雨、地下水、灌水等因素下發生液化流動現象，是典型的突變型滑坡。

大量的研究表明，滑坡大多都有一定的變形

圖1 不同滑坡演進類型的位移隨時間的變化

演化過程[16-17]，現有的預測預報模型也大多針對漸進型這一類滑坡。漸進型滑坡的變形演化特征可分為緩慢變形、等速變形、加速變形及失穩破壞4個階段[4]。晏同珍[18]、孫景恒[19]等學者認為滑坡的孕育、生長、成熟及消亡過程具有生物生長曲線類似的機制：滑坡的緩慢變形及等速變形階段，滑坡主要以蠕滑為主，相當于生物生長的孕育階段，加速變形階段，滑帶土的內摩擦角、抗剪強度不斷弱化，曲線斜率逐漸增大，相當于生長模型曲線的生長階段，滑坡進一步發展，變形急劇加速，曲線斜率呈陡崖式發展，然后趨于穩定，相當于生長模型曲線的成熟階段[4,19]。用生物增長曲線取擬合滑坡歷史監測數據對滑坡進行預測預報是可行的。

2 基于滑坡演化過程的預測模型

2.1 灰色Verhulst模型基本原理

Verhulst模型是1987年德國物理學家發現的一種生物生長模型，由于滑坡的位移特征與生物的生長規律類似，很多學者用Verhulst 模型對滑坡進行預報研究[3]。Verhuslt模型的白化微分方程形式為：

(1)

式中：a1，b1為系數。

對于一組等時距非負增量位移監測序列x(1)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，經一次累加后得到原始累計位移監測序列x(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]。

對累加序列x(1)作緊鄰均值生成序列z(1)，

式中

(2)

構造數據矩陣，用最小二乘法求解系數a1，b1，計算表達式為

(3)

(4)

2.2 以累積位移為參量的Pearl預測預報模型

Pearl預測預報模型最早由孫景恒提出并應用在新灘滑坡和意大利Vaiont滑坡監測數據上，取得了好的成果，少量學者利用Pearl模型開展了滑坡變形預測預報的研究，均取得不錯的進展。Pearl生長曲線的數學模型表達式為：

(5)

式中：k為常數；f(t)為自變量t的多項式。

f(t)=a0+a1t+…

(6)

一般多項式階數取1，則其數學表達式轉換為一般logistic函數的表達式：

(7)

式中：a、b、c為待擬合系數；y為t時刻的位移擬合值。

因此，只需確定好a、b、c3個參數即可對滑坡進行擬合回歸預測。采取非線性擬合求參的方法[4]，通過matlab中的Levenberg-Marquardt算法進行非線性擬合來確定a、b、c3個參數。

2.3 基于Verhulst增長曲線和Pearl增長曲線的組合預測模型

由于這些曲線各有不同，對某一滑坡的預測結果可能偏高或者偏低。因此，本文引入組合預測的思想，基于最小二乘原理將最優權重與前述2種單一模型組合在一起，通過對單一模型的取長補短以提高預測的準確性。

基于最優加權算法的組合模型計算流程如下。

令一組原始監測數據表示為xt,可用m個模型來擬合，擬合結果表示為xit，其中i=1,2,…,m；t=1,2,…,N。單個模型的權重可表示為wi，其滿足下述要求：

(8)

組合預測模型的擬合值可表示為：

(9)

令eit為預測模型i在時刻t的擬合殘差，則組合預測模型的擬合殘差可表示為：

(10)

基于殘差平方和最小的原則，通過最小二乘方法，最優權重wi可在下列約束條件下獲取。

(11)

3 實例分析

3.1 模型輸入數據的選取

依據文獻[21]提供的臥龍寺新滑坡位移監測資料進行預測預報，監測數據見表1。新滑坡發生時間為1971年5月5日，因此，取最后2 d監測數據為驗證數據用以預測，選取3月15日至5月3日經過平滑處理提取趨勢項位移，其具有類似齋藤室內實驗模擬滑坡累計位移的“三段式”特征。通過正態檢驗及相關性分析方法[5]綜合判斷得出1971年4月22號為滑坡體從等速變形階段進入加速變形階段的臨界點，故選取1971年4月22日至1971年5月3日的監測數據進行預測預報。

3.2 單模型的預測分析

利用Matlab將前述Verhulst模型擬合選取的監測數據，通過式(2)～(3)得出模型參數a1=-0.204 6、b1=-0.009 5；將其代入式(4)，發現

表1 臥龍寺新滑坡監測數據

當i=2時，其相對誤差最小。利用Matlab將前述Pearl模型擬合選取的監測數據，依據擬合優度最優原則得出模型參數a=0.004 974、b=0.398 9、c=-0.349 9，計算結果見表2，擬合曲線與監測數據曲線見圖2。

表2 單預測模型擬合結果

圖2 單模型擬合曲線與原始監測曲線的關系

圖2虛線左側是根據選取的建模數據得到的擬合值，虛線右側是根據建模數據計算的預測值。從圖2可以看出，根據選取的監測數據(39—50 d)進行擬合得到曲線與實測曲線相差不大，Pearl模型擬合的曲線較為精確，但兩個模型在外推最后2 d得到的預測結果相差較大(一個較實測值偏大而另一個則偏小)，可以看出，往外預測期數越多，誤差越大。由第52天預測結果可知，Verhulst模型的預測結果可能會起到一個提前觸發臨滑預警預報的效果，而Pearl模型則可能不會觸發臨界失穩預警預報。

3.3 組合預測模型預測分析

在得到前述單預測模型的擬合數據的基礎上，根據式(8)～(12)構造基于Verhulst子模型和Pearl子模型的組合預測模型，由于本文只組合2個子模型，可令Verhust子模型的權重為w，則Pearl子模型的權重為1-w，計算得到的單預測模型權重見表3，單模型、組合模型的預測值及原始累計位移值之間的關系見圖3。

表3 S型增長曲線子模型的權重

圖3 組合模型與單模型預測結果對比

從圖3可以看出，組合模型通過最優權重組合各子模型的優勢，使得擬合值最大限度“逼近”實測值，尤其從第50期數據之后(模型外推預測值)更為明顯，其預測值相較單模型預測值更加符合實際。

為了檢驗單模型及組合模型的預測精度，采取擬合優度R2及均方根誤差RMSE 2個指標進行分析。分析結果見表4。

表4中的數據從擬合區精度、預測區精度以及綜合精度3個方面對比分析，發現在選取建模數據基礎上Pearl模型的擬合效果最好(擬合區)，但是在預測區域根據建模數據建立的擬合回歸方程計算的預測值效果最差，而Verhulst模型在擬合區的擬合效果比Pearl模型差，但在預測區域卻比Pearl模型的要好，雖然它的均方根誤差也好大(表4，預測區90.456 1)，但是從圖3中可以看出Verhulst模型能起到提前預警預報的作用(假設第51天或第52天的數據值為滑坡失穩時設定的預警閾值)。這表明單一預測模型根據滑坡監測歷史數據擬合得到的回歸方程可能不能很好地反映未來的滑坡變形趨勢，有些模型可能會造成預警設備漏報或不報而滑坡已經發生的現象(如本文中得到的Pearl預測模型)。而通過最優加權組合單一模型的方法可以避免這一不足，擬合優度R2從單一模型的0.934、0.923提高到0.985，均方根誤差RMSE從單一模型的4.69、4.72降低到1.29(表4中綜合精度數據)。表明該組合預測模型優于上述的單一預測模型，基于最優加權的組合預測模型改進效果非常明顯。

表4 單模型及組合模型的精度性能對比

4 結論

為了更好地服務于滑坡監測預警工作，基于提高預測精度的目的，本文采取基于最優加權的組合預測方法，通過最優權重值組合S型增長曲線模型方法中用于滑坡預警預報的Verhulst模型、Pearl模型2種常用模型。將其應用于臥龍寺新滑坡監測資料，可以得出以下結論。

1)單一預測模型根據建模數據擬合出來的回歸方程，其擬合效果與外推的預測效果并不一致，擬合效果好的Pearl預測模型其外推的預測值的效果相較Verhulst模型的要差，且其變形趨勢呈近似穩定的線性緩慢上升趨勢，而Verhulst模型的外推變形趨勢呈線和實測曲線近似的急劇上升趨勢。

2)基于最優加權算法的組合預測模型充分利用了Pearl模型、Verhulst模型的優勢，彌補了Verhulst模型在數據擬合、Pearl模型在外推預測方面的不足，且在外推預測區的變形趨勢跟實測曲線接近一致。組合預測模型能起到提高預測精度的作用。