一道空間軌跡題目的背景研究與深度挖掘

許鮪潮 麥桂崧

在高考改革的過渡時期，2020年高考山東數學試題受到廣泛的關注，該試卷試題設計嚴格，聚焦主干知識;凸顯直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學建模等核心素養;體現數學的應用性，滲透數學文化，關注創新，第16題是其中典型代表，本文嘗試透過這道試題表面挖掘試題深處隱含著的背景，領會解題思路，洞悉命題意圖.

1 試題呈現

例1（2020年高考山東卷.16）己知直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD= 60°，以D1為球心，√5為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為______.

分析本題考查球面與直四棱柱側面交線長的計算問題，體現了直觀想象和邏輯推理等核心素養，突破的重難點在于找出球面與側面的交線，是一道區分度較大的難題，

如圖1，取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CG的中點為G，依題意可得D1E⊥B1C1，由BB1⊥A1B1C1D1，故BB1上D1E，又BB∩B1C1=B1，所以D1E⊥面BCC1B1，設P為軌跡上任意一點，則EP

2 試題背景溯源

這道題的背景是丹德林（Dandelin）雙球模型，比利時數學家Germinal Pierre Dandelin于1 882年在一篇論文中用圓錐面和截面之間嵌入兩個內切球，證明了圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的等價性定理，稱為“冰淇淋定理”[1]，定理也說明了為什么把橢圓，雙曲線，拋物線統稱為圓錐曲線[2]，還可將模型推廣到圓柱體，得到“圓柱體Dandelin雙球模型”[3].

在高中數學教材中，北師大版和蘇教版都將其作為一個教學內容編排，人教版中選修1-1和2-1中第二章的章引言給出了相關的圖片及后面的探究與發現中“為什么截口是橢圓”引入了丹德林雙球模型，選修4-1《幾何證明選講》中第三講再次引入，但是筆者查閱資料卻發現相關的研究非常少，是一個被輕視的知識點，本文從球的定義及圓的定義出發，得到一個類似的模型“球體截面模型”，并以本題為最近發展區進行深度挖掘，

球體截面模型：有一平面截一個球體，則截面必為圓形，且球心與圓心連線垂直于平面，

證明如圖2，點O為球心，任一確定的平面a與球相交得一截面，過球心O作OA⊥a于點A，則|OA|為確定值d.設點B為截面與球交點軌跡上任一點，連接OB，BA，則△OAB為直角三角形，且BA2= OB2-OA2= R2-d2為定值，根據圓的定義，點B的軌跡為一個以點A為圓心，半徑為√R2—d2的圓.

3 試題的拓展探討

空間軌跡這類試題往往涵蓋的知識點多，知識跨度大，思維跳躍性強，筆者應用球體截面模型將例題一般化，旨在拋磚引玉探索題型規律，指示解題方法，提高數學核心素養，

參考文獻

[1]昌明.Dandelin雙球之問[J].數學通報，2018，57 （02）：21-24

[2]羅才忠.關于Dandelin定理的證明[J].數學通報，2004 （10）：6，1

[3]王海青，談Dandelin雙球模型的構建及其教學價值[J].數學通報，2020，59 （01）：10-13，18