由圓錐曲線的對稱性例談高考復習

章海輝

近年來全國高考數學試題注重落實了立德樹人根本任務，貫徹“德智體美勞”的全面發展教育方針，堅持素養導向、能力為重的命題原則，體現了高考數學的科學選拔和育人導向作用，本文以2012年福建省理科19題和2020年全國I卷理科第20題為例闡述高考試題的美育功能，當學生具備了一定的審美能力之后，又能幫助學生自己解決問題，相輔相成.

1 感曲線之美

圓錐曲線圖形本身就具備了對稱美和簡潔美，如橢圓和雙曲線就是關于坐標軸和原點對稱，拋物線是關于對稱軸對稱，這是我們都能直觀感受到它的對稱美和簡潔美，當我們深入研究直線和圓錐曲線的位置關系或者是直線過定點問題時，我們更加深入體驗到了圓錐曲線對稱美的內涵，下面以一道2012年福建省理科19題為例來說明：

（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標;若不存在，說明理由，

此題若進行常規的計算，會出現較大的思維量和運算量，不易得出正確結論，在充分利用圓錐曲線對稱性后，我們能高效和準確地得出正確結論，進一步感受圓錐曲線的對稱美.

2 悟解題之道

在解答2012年福建理科19題時，若沒有利用橢圓的對稱性，則需要進行極其復雜的運算，耗時且容易錯;但借助于圓錐曲線的對稱性，就能有效地簡化運算并能迅速解出此題，這就為我們面對類似的題目時，提供了解題思路，下面以2020年全國I卷理科20題為例：

備注本題的解法包含但不限于以上兩種解法，但以上兩種解法均從圓錐曲線的對稱美的角度切入，簡化運算，求得結論，解法1是設點P（6，m），然后所有涉及的相關點和直線均以含n的表達式表示，最后利用對稱性來求解;解法2是設直線PA的斜率k，其所有涉及的相關點和直線均以含k的表達式來表示，最后也是利用對稱性來求解，二者有異曲同工之效.

3 品數學之味

細細的品味著2020年全國I卷理科20題時，我們有如下思考：

首先，若直線x=6改為直線x=t（t>3或t< -3）時，我們發現此題的結論：直線CD過定點仍然成立，所以題目可改編為：右頂點，G為E的上頂點，AG.GB：8，P為直線x=t上的動點，PA與E的另一交點為C，P與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點，

在解答此改編題時，我們仍然可利用圓錐曲線的對稱性來進行求解，

其次，經過上面的思考過程之后，既然直線都可以改，那么橢圓的方程能不能改？利用對稱性這一特點，經過一番演算之后，我們發現它仍然經過一定點，故題目改編如下：

（1）求橢圓C的方程.

（2）以橢圓長軸為直徑的圓叫做橢圓的“外切圓”，記橢圓C的外切圓為E.

（ i）求圓E的方程.

（ ii）在平面內是否存在定點Q，使得以PQ為直徑的圓始終與圓E相切，若存在，求出定點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）設橢圓的右焦點為F，定點P（2，0），過點F且斜率不為零的直線，與橢圓交于A，B兩點，以線段AP為直徑的圓與直線x=2的另一個交點為Q，證明：直線BQ恒過一定點，并求出該定點的坐標.

（1）求r的方程;

（2）連接NS并延長交r于異于M的一點P，求證：直線MP過定點.

5幾點思考

①平時在教學和學習過程中，我們留意收集類似的題目，從中得出一種通用的解法，然后利用該通法去解類似的題目，經過長時間的積累和沉淀之后，教學能力和解題能力必然有長足的提高，

②本文中涉及的從高考題感受到圓錐曲線的內在對稱美，然后悟出解這種類型的方法，最后在應用此種方法去解類似的高考題，相輔相成;而且在這一過程中，學生的審美功能也能得到一定程度的提高，較好地落實數學教育的美育功能，期待有更多的教師在此方面有更多的研究成果，

③文中提到的2020年高考全國I卷·理20，我們還有很多思考需要展開，比如

（i）題目中的直線x=6能否改成任意一條直線Ax+ By+C=0，其結論是否仍然成立？

（ii）該題從涉及的各條直線斜率之間的關系作為切入點，是否也能正確求解？

此處不再展開，請各位讀者自行研究