失效信息已知時r/n(G)表決系統的剩余壽命預測

劉鴻彬, 趙 騫, 賈 祥,*, 郭 波

(1. 國防科技大學系統工程學院, 湖南 長沙 410073;2. 國防科技大學信息通信學院, 陜西 西安 710106)

0 引 言

可靠性指產品在規定的條件下和規定的時間內,完成規定功能的能力,而剩余壽命作為可靠性評估中的重要指標之一,受到越來越多的學者關注。文獻[1]指出,產品剩余壽命是指產品未失效的情況下,從當前時刻到產品失效時刻之間的時間長度。可靠性工程中非常關心在當前未失效情況下,產品還能正常工作多久的問題,這可以指導產品的檢測、維修以及更換等活動,便于進行可靠性管理,因而對于產品進行剩余壽命的準確預測具有十分重大的意義。

作為典型系統結構,對表決系統壽命與剩余壽命的研究有著十分重要的意義,目前現有文獻對于這一問題也開展了相關研究。從函數性質出發,文獻[2]對表決系統平均剩余壽命函數性質進行了研究。而基于貝葉斯理論,文獻[3]在基于貝葉斯理論的衛星平臺剩余壽命預測方法研究中,假定部件服從不同壽命分布,推導中取的表決系統可靠度的封閉表達式;文獻[4]對(G)表決系統可靠性進行研究,給出了(G)表決系統的可靠度和平均壽命貝葉斯點估計表達式。在次序統計量相關研究中,文獻[5]在對有單個冷備部件的(G)表決系統平均壽命研究過程中,得到了3種不同的平均剩余壽命分布對應使用順序統計分布的函數;文獻[6]通過分析獨立同分布下的(G)表決系統的壽命與次序統計量及二項分布之間的關系,給出了(G)表決系統壽命和剩余壽命以及其系統停止工作的時間隨總工作元件數量和所需工作元件數量改變的隨機序關系;文獻[7]在系統層面研究了在當前時刻所有部件都能正常工作的條件下,表決系統平均剩余壽命與順序統計量之間的關系。文獻[8]和文獻[9]討論了表決系統平均剩余壽命的上限;文獻[10]和文獻[11]研究了部件不完全獨立時的相關性質。但不難發現,針對(G)表決系統中部件壽命服從指數分布和威布爾分布等較為常見的分布這類問題,研究已經較為成熟,而對部件壽命服從更一般的分布如指數-威布爾分布的研究較少,剩余壽命預測較為困難。

現有文獻中對于指數-威布爾分布下產品的可靠性也開展了研究。針對函數數學性質的研究,文獻[12]和文獻[13]對指數-威布爾的性質做了更詳細的討論;文獻[14]和文獻[15]討論了廣義指數分布的相關性質,指出了Gamma分布、威布爾分布和廣義指數分布之間的關系;文獻[16]和文獻[17]研究了指數-威布爾分布的階原點矩;文獻[18]對指數-威布爾分布函數進行了深入研究,通過解析和數值模擬得到了不同參數下指數-威布爾分布相關參數的逆矩陣估計、極大似然估計和Bayes估計。而對于指數-威布爾分布應用于可靠性模型的研究,文獻[19]通過串聯近似模型給出了指數-威布爾更新函數的近似計算方法;文獻[20]在研究組合統計模型的過程中,提出了截斷指數-威布爾-帕累托組合模型,模擬了左刪失數據的擬合過程,并指出如果在一個平行系統里的個部件的壽命都服從相互獨立的指數-威布爾分布,那么這個系統的壽命最終也服從指數-威布爾分布,表明了指數-威布爾分布有很好的物理意義;文獻[21]對基于指數-威布爾分布的復雜電子系統展開了討論,提出了能動態描述系統升級、單元替換、故障維修活動的可靠度模型;文獻[22]將指數威布爾分布的失效率函數與兩參數威布爾分布以及伽瑪分布下的失效率函數進行了對比;文獻[23]用指數威布爾分布來模擬真實的生命周期數據得到了應力強度模型的可靠性;文獻[24]從指數-威布爾壽命分布出發,研究了個記錄值的單階矩和積階矩的遞推關系和故障率分布的表征;文獻[25]研究了廣義指數-威布爾分布在實際應用中的通用性,并采用不同的方法對模型參數進行估計;文獻[26]推導了廣義指數-威布爾分布的統計性質,并用極大似然法估計了分布參數,并觀察了分布的漸近性。總體來說,現有的相關研究相對較少,不夠深入,特別是如何對部件壽命服從指數-威布爾分布時的表決系統進行剩余壽命預測,目前還未有相關研究。

針對以上問題,本文對部件壽命服從指數-威布爾分布時表決系統的剩余壽命預測方法展開研究。考慮到在實際情況下,若能清楚地得知系統內部件的失效情況,可以大大提升剩余壽命的預測準確度,因而本文具體地探討了部件失效信息已知時的系統剩余壽命預測方法,并進行了仿真實驗和示例驗證。

1 r/n(G)表決系統和指數-威布爾分布

(G)表決系統是可靠性研究中較為重要的系統之一,與串聯、并聯等簡單典型系統相比,其結構和工作特性也相對復雜。(G)表決系統由個部件組成,至少有個部件正常工作才可以保證系統正常運行,可靠性框圖如圖1所示。當個部件獨立同分布時,設其可靠度為(),且各部件之間互相獨立,則(G)表決系統的可靠度()可以表示為

(1)

圖1 r/n(G)表決系統可靠性框圖Fig.1 r-out-of-n: G systems reliability block diagram

指數-威布爾分布是威布爾分布的推廣形式,其形式相對其他分布比較復雜,包含4個參數。設隨機變量服從指數-威布爾分布,其相應的累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)如下:

(2)

式中:為位置參數；為第一個形狀參數；為第二個形狀參數；為尺度參數,相應的概率密度函數為

(3)

失效率函數為

(4)

當位置參數=0時,該分布簡化為三參數指數-威布爾分布。相比起指數分布和威布爾分布一般只能對失效率為常數或單調的情況進行建模來說,其優勢在于可以對失效率不單調的情況進行建模,即能對單峰、浴盆或反浴盆等情況進行建模。圖2展示了分布參數不同取值下的失效率函數曲線。

圖2 失效率函數曲線Fig.2 Failure rate function curve

文獻[27]將指數-威布爾分布下的失效率函數曲線的特征總結如下:

(1) 當==1,失效率函數值為常數;

(2) 當>1且<1,曲線為浴盆形狀;

(3) 當<1且>1,曲線為反浴盆、單峰形狀;

(4)≥1且≥1(≤1且≤1),曲線為單調函數。

2 模型假設

相比于復雜的四參數指數-威布爾分布,三參數指數-威布爾分布的實際應用層面更廣。本文進一步假定部件壽命服從三參數指數-威布爾壽命分布,相應的失效分布函數如下：

(5)

概率密度函數為

(6)

假設為部件工作時間,()為部件失效分布函數。部件失效分布函數可表示為

引入廣義二項展開式:

式中：()()=(+1)…(+-1)為上升階乘冪,()=1,可得

證畢

特別地,當≥1且為整數時,上式可以寫為

(7)

假設為部件工作時間,()為部件失效分布函數。記為(G)表決系統中失效部件個數,則為時的概率為

由二項展開得

證畢

結合定理1,進一步可得

(8)

定理1給出了部件失效分布函數的另一種數學形式,便于后續的積分運算;定理2給出了失效信息已知時,失效若干部件的條件概率,便于后續計算(G)表決系統的可靠度函數()。

3 失效信息已知時表決系統的剩余壽命預測

本節假定部件壽命服從式(5)形式的指數-威布爾分布,對表決系統的剩余壽命進行預測。

文獻[28]在研究可靠度與剩余壽命的關系中,給出了如下定理：

(9)

另外在實際工程中,常常可以獲得系統的失效信息,如當前時刻表決系統中失效部件的個數。從信息論的角度,為了對剩余壽命進行準確預測,需要充分利用這些信息,如果對失效信息忽視,往往造成剩余壽命預測結果不夠準確。但目前面臨的一個困難是,在已經知道失效信息的前提下,如何利用這些信息對系統進行剩余壽命的準確預測。

3.1 失效信息已知時r/n(G)表決系統的剩余壽命

先考慮部件失效信息已知時的表決系統剩余壽命。根據式(9)可知,若要通過解析推導得到失效信息已知情況下(G)表決系統剩余壽命點估計和區間估計解析表達式,首先需求得失效信息已知時的(G)表決系統可靠度()。

已知失效個部件時,(G)表決系統的可靠度函數需要通過條件概率計算。這里設失效部件數量為,系統已工作時間為,此時可靠度()可表示為

()=(>|=)=

(10)

已知失效個部件時,系統工作時間為,將式(10)代入式(9)可以推導得時刻(G)表決系統剩余壽命點估計表達式為

(11)

對式(11)進行簡化可得

(12)

式中:

假設置信水平100(1-)%下剩余壽命的置信區間為[,],則有

(13)

其中,表決系統剩余壽命失效分布函數為

(14)

(15)

3.2 部件壽命服從威布爾分布情況下的剩余壽命估計

威布爾分布作為指數-威布爾分布的特殊形式,此處再考慮部件壽命服從威布爾分布下的剩余壽命。若部件壽命服從威布爾分布,已知失效個部件時,系統已工作時間為,可以得到(G)表決系統可靠度為

(16)

其剩余壽命點估計表達式為

(17)

(18)

相關計算方法參見第21節。

3.3 部件失效信息未知時的剩余壽命估計

當部件失效信息未知時,(G)表決系統的可靠性函數()可表示為

(19)

系統已工作時間為,部件壽命服從指數-威布爾分布時,(G)表決系統剩余壽命點估計表達式為

(20)

同樣給定100(1-)%置信水平下剩余壽命的置信區間為[,]滿足式(13)，此時(G)表決系統剩余壽命失效分布函數為

(21)

相關計算方法參見第21節。

4 方法驗證

本節通過蒙特卡羅仿真實驗來驗證本文提出的失效信息已知情況下部件壽命服從指數-威布爾分布時(G)表決系統的剩余壽命預測方法的準確性和有效性。

4.1 試驗過程

為了驗證推導,首先給出表決系統壽命的仿真方法。假設(=1,2,…，)表示為(G)表決系統中部件(=1,2,…,)的壽命,且各之間相互獨立互不影響,表示(G)表決系統壽命。通過對部件的壽命進行升序排列,得到一組數據≤≤…≤,則根據(G)表決系統的結構特性,可以定義其壽命為=-+1。在此基礎上,進一步分析表決系統剩余壽命的仿真方法。基于上述討論,給出仿真實驗的步驟,驗證所提方法的有效性。實驗過程如圖3所示,具體步驟如下。

給定系統的失效部件數,系統已經工作的時間;設(G)表決系統剩余壽命樣本的抽樣次數為,部件總數為,在工作的部件數為,令=1,=0;

從=1開始,根據(G)表決系統中部件給定的指數-威布爾參數(,,),采用逆函數法在0～1之間隨機取均勻的若干個概率值,隨機生成部件的壽命樣本。當=時停止;

將壽命樣本升序排列,則系統的壽命()=-+1;

從=1開始,判斷是否滿足()<,滿足,則=+1;

若滿足()>,則令剩余壽命RL()=()-,否則返回步驟3;

判斷(G)表決系統在工作時間后是否損壞且僅損壞個部件,如果不是則返回步驟2;

判斷是否滿足<,滿足,則令=+1,返回(2);不滿足,輸出(G)表決系統壽命的樣本RL(1),RL(2)，…,RL();

根據RL樣本,完成剩余壽命預測。

圖3 剩余壽命仿真實驗流程圖Fig.3 Flow chart of residual life simulation experiment

表1給出了4組不同參數下剩余壽命點估計仿真方法和數值計算結果對比,表2給出了與表1同樣參數的4組剩余壽命80%置信度下的區間估計數值計算和仿真方法結果對比。

表1 剩余壽命點估計數值計算和仿真方法對比

續表1

表2 剩余壽命區間估計數值計算和仿真方法對比

此時在給定參數下仿真方法得到樣本的剩余壽命CDF圖像如圖4所示。

圖4 仿真方法得到的剩余壽命CDF函數圖像Fig.4 Residual life CDF function image obtained by simulation

4.2 試驗結果分析

從表1和表2中的結果分析易知,與仿真結果相比,利用本文提出方法所得的剩余壽命點估計和區間估計,其誤差都在合理范圍內。因而,本文所提出方法是準確的、有效的。

表1和表2中的結果也表明,當表決系統中存在失效部件,但忽略這些失效信息開展剩余壽命預測所得的結果,與真實情況相比偏差很大。例如，當3/4(G)表決系統工作時間為τ=30時,且存在一個失效部件時,如果按照式(20)中忽略失效信息的方法求得的系統剩余壽命預測結果為19.608,但按照式(11)中利用失效信息的方法所得的結果為14.360 8。顯然,存在失效信息但在預測系統剩余壽命時未對其進行充分利用,對預測結果將會產生顯著影響。這也說明了本文研究的必要性。

5 示 例

本節通過兩組不同示例來說明本文所提出剩余壽命預測方法的具體應用,證明該方法在工程實踐中的有效性。

5.1 示例1

本示例采用文獻[29]給出的公開數據來說明本文所提出的方法的具體應用。表3給出了50臺設備的失效時間數據。總失效時間圖像顯示其失效率曲線為浴盆形狀。文獻[12]在對該數據研究中表明指數模型和威布爾模型是不成立的,然后采用三參數指數-威布爾分布對數據進行擬合。

表3 50臺設備的失效時間Table 3 Lifetime of 50 devices d

文獻[25]對表3給出的數據集進行分析,采用二參數指數-威布爾分布去擬合數據并通過改進后的貝葉斯估計方法計算得到參數的估計值為=635,=022,=1,此時的壽命分布相當于是兩參數指數-威布爾分布。

進一步,對于該類設備構成的3/4(G)表決系統,根據設備壽命的分布參數估計值,利用本文所提出的預測方法,若已知該系統失效1個部件,即=1,由式(10)可計算得到在系統已工作時間=50 d,可靠度估計值為()=0.467 9;由式(11)可計算得到該表決系統的剩余壽命點估計值為72.497 7 d;由式(12)～式(14)可計算得到剩余壽命60%置信區間為[10.028 9 d, 101.876 3 d]。此時在給定參數下所得的剩余壽命CDF如圖5所示。

圖5 示例1中設備剩余壽命的CDF函數圖像Fig.5 CDF function image of device’s residual life in example 1

5.2 示例2

本示例以動量輪為例,說明本文所提出方法的具體應用。動量輪是衛星的關鍵部件,其可靠性對衛星的可靠性至關重要。

文獻[30]對融合兩類數據對動量輪的可靠度估計方法進行了研究,給出了現階段3顆某型號衛星(共有15個具有相同失效機理的動量輪, 截至目前均無失效)在軌運行時間統計如表4所示。

表4 動量輪在軌運行時間

文獻[25]給出了衛星動量輪壽命分布的參數估計值為=1,=1670 1,=601276此時壽命分布為威布爾分布, 且在=24月時可靠度估計值為()=0955 4。

進一步,對于衛星動量輪構成的4/5(G)表決系統,此時暫不知道失效信息,根據動量輪壽命的分布參數估計值,利用本文所提出的預測方法,由式(15)可計算得到在系統已工作時間=24月時,該表決系統可靠度估計值為()=0998 1;由式(16)可計算得到該表決系統的剩余壽命點估計值為327.457 9月。由式(17)和式(18)可計算得到剩余壽命50%置信區間為[215.848 1,421.277 5]。此時在給定參數下所得的剩余壽命CDF圖像如圖6所示。

圖6 示例2中動量輪剩余壽命的CDF函數圖像Fig.6 CDF function image of momentum wheel’s residual life in example 2

6 結 論

在實際可靠性工程中,對部件的壽命以及剩余壽命進行估計尤為重要。現有研究通常假定(G)表決系統中部件壽命服從簡單的指數分布或威布爾分布,應用相對有限。本文考慮部件壽命服從指數-威布爾分布這一種通用分布,結合表決系統結構相關特性和規律,在部件失效信息已知時,提出了表決系統的剩余壽命預測方法,并給出了剩余壽命點估計和區間估計的解析式。經過仿真實驗的分析,發現所提出的計算方法是高效的、準確的,且表明忽略部件失效信息對系統的剩余壽命進行預測,所得結果偏差很大。最后用兩個算例說明了所提出方法的具體應用,證明了該方法在工程實踐中的有效性。