受固定約束物體運(yùn)動(dòng)情境分析的策略

安徽 邵 永 侯朝陽(yáng)

受固定約束的運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于典型的受約束的運(yùn)動(dòng)，例如輕繩、輕桿約束下的圓周運(yùn)動(dòng)等是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，已經(jīng)有較為豐富的分析和總結(jié)，學(xué)生對(duì)此的理解也比較深刻，而對(duì)于一些非典型的受固定約束的物體運(yùn)動(dòng)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)往往不深刻、把握不準(zhǔn)確，分析問題、解決問題時(shí)較為困難。實(shí)際上無論是典型的還是非典型的受約束運(yùn)動(dòng)的分析都要抓住受約束這個(gè)特點(diǎn)。

一、對(duì)安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2021年秋季聯(lián)賽第13題的思考

圖1

圖2

如果甲、乙球與圓環(huán)間有作用力，兩小球的質(zhì)量是否還是相等的關(guān)系呢？由于圓環(huán)對(duì)小球的作用力屬于外力，如果還使用上述的這兩種分析方法都需要先分析支持力，由于受到圓軌道的約束，我們不妨根據(jù)受約束的特點(diǎn)，從切線方向用力的分解試試。

二、約束軌道固定不動(dòng)模型兩例

【例2】如圖3所示，一顆珠子穿在一個(gè)固定在豎直平面、半徑為R的圓環(huán)上，可以沿著圓環(huán)自由滑動(dòng)。現(xiàn)用一個(gè)輕質(zhì)橡皮筋連接圓環(huán)最高點(diǎn)和珠子，初始時(shí)刻珠子靜止于圓環(huán)最低點(diǎn)，此時(shí)圓環(huán)作用在珠子上的力為其重量的兩倍。輕輕撥動(dòng)珠子，珠子開始沿著圓環(huán)向上滑動(dòng)，當(dāng)它滑過三分之一圓周時(shí)動(dòng)能達(dá)到最大。試求完全放松后橡皮筋的長(zhǎng)度。

圖3

【例3】如圖4所示，一光滑絕緣斜面ABC，斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)(∠BAC=90°)，D為BC上的點(diǎn)，BC與AD垂直。A處固定一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的小球，另一同樣帶電小球自B點(diǎn)由靜止釋放，球能沿斜面從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到斜面底端C處，則小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中速度如何變化。

圖4

【解法一】數(shù)學(xué)不等式在極值問題中的應(yīng)用

【解法二】導(dǎo)數(shù)在極值問題中的應(yīng)用

【解法三】約束條件在分方向中的應(yīng)用

【點(diǎn)撥】臨界和極值問題是物理試題中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，常用的求極值方法有配方法、三角函數(shù)法、不等式法、Δ判別式法、求導(dǎo)法等等，由于在初始運(yùn)動(dòng)階段庫(kù)侖力變大，夾角的余弦值變小，庫(kù)侖力沿斜面的分力不易判斷，所以通過物理情境的分析，求出其解析式，通過數(shù)學(xué)方法討論其極值，這是符合理性思維的，這樣討論能解決問題，但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的要求太高，由于這是約束性的運(yùn)動(dòng)，所以一定要滿足約束性的條件，才能從約束條件入手，快速分析問題。

三、約束軌道運(yùn)動(dòng)模型兩例

(1)帶電小球從管底到飛出管口時(shí)所用的時(shí)間是多少；

(2)帶電小球離開磁場(chǎng)時(shí)的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是多少。

圖6

【點(diǎn)撥】由于小球隨玻璃管一起向右運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還沿管運(yùn)動(dòng)，所以其速度的大小和方向均是不斷變化的，小球所受洛倫茲力的大小和方向也是不斷變化的，因此小球的運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜的。如果把洛倫茲力分解為沿管方向的分力和沿x軸方向的分力，由于小球在x軸方向做的是勻速運(yùn)動(dòng)，所以洛倫茲力沿管的分力大小恒定不變，根據(jù)獨(dú)立性，可得小球沿管方向做勻加速運(yùn)動(dòng)；沿管的速度增大引起洛倫茲力向左的分力變大，通過逐漸增大的外力的作用保證管在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)。

【例5】如圖7所示，半徑R=0.3 m、質(zhì)量M=1 kg的半圓形滑槽，靜止放置在水平地面上，一質(zhì)量m=0.5 kg的小球從滑槽的右邊緣與圓心等高處由靜止滑下。不計(jì)一切摩擦，小球可看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小g=10 m/s2，求小球滑至最低點(diǎn)時(shí)滑槽對(duì)它的支持力？

圖7

【點(diǎn)撥】當(dāng)小球下滑至最低點(diǎn)時(shí)，由于圓形滑槽在運(yùn)動(dòng)，所以小球相對(duì)于地面不是做圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于滑槽才是圓周運(yùn)動(dòng)，支持力和重力的合力改變小球的方向，使之未做離心運(yùn)動(dòng)，所以在圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式中必須使用相對(duì)于滑槽的速度。

四、總結(jié)

受約束的運(yùn)動(dòng)是一種常見類型，它具有特殊性，從約束特點(diǎn)入手，利用分運(yùn)動(dòng)中力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系或兩個(gè)分方向間的聯(lián)系，往往可以使運(yùn)動(dòng)情境更清晰，問題的把握更準(zhǔn)確、問題的解決更簡(jiǎn)便，是一種因地制宜、行之有效的研究策略。