一種分解運動的新方法

山西 景小娟

運動的合成與分解是高中物理重要的思想方法之一，是把疑難問題化繁為簡的主要途徑。《普通高中物理程標準(2017年版2020年修訂)》中明確提出要求：“會用運動的合成和分解的方法分析曲線運動。體會將復雜運動分解為簡單運動的物理思想?！倍\動的合成和分解體現了“等效替代”的物理思維，本身就具有抽象性和復雜性，學生理解和接受起來具有一定的難度。

在中學階段，一般都把曲線運動分解為兩個相互垂直方向上的直線運動來研究。比如把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動；把帶電粒子在磁場中的螺旋線運動分解為一個平面上的勻速圓周運動和垂直這個平面方向上的勻速直線運動。但是如果物體運動的軌跡更加復雜一些，不存在上述明顯的分解特征時，處理起來可能就較為棘手。那么，讓我們拓寬思路，把分解的思想拔高并融入具體題目，把速度、加速度、力這些矢量進行另類的等效分解，巧妙的重新組合，就會形成令人耳目一新的分運動形式，進而解出在常規的正交分解情況下無法解得或難以解得的題目。本文就幾道例題從不同的角度進行巧分解、妙解題。

【例1】如圖1所示，輕繩一端系于O點，另一端系一金屬小球，將小球拉至懸繩位于水平伸直狀態時，由靜止釋放小球，問：小球在擺向最低點的過程中，所受重力的瞬時功率何處最大？

圖1

【分析】本題的常規出題方式是讓學生確定重力的瞬時功率從位置A到位置B過程中怎么變化，根據A處速度為0，所以A處的重力的瞬時功率為0；B處重力的方向和速度的方向垂直，所以B處的重力瞬時功率也為0，所以重力的瞬時功率先增加后減少。

但是題目稍作變化，要求學生做定量分析，求出重力的瞬時功率何處最大，則難度倍增。普遍采用的方法是數學方法，即寫出重力瞬時功率的函數表達式，然后對t求導即可。

然而若是有了分解運動的思維，本題就可迎刃而解，且也沒有很大的數學運算量。

解：設小球質量為m，繩長為l，取A至B間任意位置，繩與水平方向夾角為θ，此時瞬時速度為v。

此時重力的瞬時功率為P=mgvcosθ

若把小球的運動按水平方向和豎直方向進行分解，在豎直方向上，當合力為0，即豎直分加速度為0時，豎直分速度vcosθ就有最大值，則此時P就最大。如圖2所示。

圖2

可得N=3mgsinθ

【點評】本題中對小球的運動做了兩次正交分解，一次是沿軌跡徑向和切向分解，另一次是沿水平和豎直方向分解，在自由切換中，明晰了物理情境，化繁為簡。后面依然會涉及在同一個物理情境中作兩次或兩次以上的不同方向上的分解的問題。

【例2】如圖3所示，空間存在一個范圍足夠大的垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，磁場中一質量為m、帶電量為q(q<0)的小球(小球可看作質點)，從高為h處以豎直向下的速度v0拋出，若小球恰好不會與地面相碰，且運動過程中的最大速度為vm，以下關系式正確的是

圖3

( )

【分析】當帶電粒子在正交的勻強磁場和勻強電場(或重力場)所形成的復合場中運動時，若所受的洛倫茲力與電場力(或重力)不平衡，電場力(或重力)會改變粒子的速度，而速度的變化又會使洛倫茲力不斷改變，使粒子做復雜的曲線運動，常規方法難以解決此類問題。針對這類問題，通常采用“配速法”即給帶電粒子配上一對等大反向的速度或者分解初速度，使其中一個速度對應的洛倫茲力與電場力(或重力)平衡，則該速度對應的分運動就是勻速直線運動；另一速度和對應的洛倫茲力構成另一分運動——勻速圓周運動，這樣就可將復雜的曲線運動分解為簡單的勻速直線運動和勻速圓周運動。

圖4

【例3】某位工人師傅用如圖5所示的裝置，將重物從地面沿豎直方向拉到樓上，在此過程中，工人師傅沿地面以速度v向右做勻速直線運動，當質量為m的重物上升高度為h時輕繩與水平方向成α角(重力加速度大小為g，滑輪的質量和摩擦均不計)，在此過程中，下列說法正確的是

圖5

( )

A.人的速度比重物的速度小

B.輕繩對重物的拉力小于重物的重力

C.重物的加速度不斷增大

C選項的判斷相對麻煩些，可以用下面幾種方法。例如趨于極限法，當人在勻速向右運動過程中，α是不斷減小的，當α趨近于0時，vG無限接近于v，速度增加的越來越慢，所以加速度減小，則C錯誤；也可以利用數學微分的方法，將vG對時間t求導，即可解出重物加速度的表達式，得出結果，此處不再詳細解答。

圖6

【點評】本題巧妙利用運動的分解輕松地算出重物的加速度，避免了數學微分法繁復的計算過程，不失為一種捷徑。

【例4】如圖7所示，勁度系數為100 N/m的輕彈簧下端固定于傾角θ=53°的光滑斜面底端，上端連接物塊Q，Q同時與平行于斜面的輕繩相連，輕繩跨過定滑輪O與套在光滑豎直桿的物塊P連接，圖中O、B兩點等高，間距d=0.3 m。初始時在外力作用下，P在A點靜止不動，A、B間距離h=0.4 m，此時輕繩中張力大小為50 N。已知P質量為0.8 kg，Q質量為5 kg?，F將P由靜止釋放(不計滑輪大小及摩擦，取g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)，下列說法正確的是

圖7

( )

A.P上升至B點時，彈簧的壓縮量為0.2 m

B.P由靜止釋放的瞬間，繩的拉力為50 N；P上升至B點時，繩的拉力為30 N

C.P上升至B點的過程中，Q的加速度先增大后減小

D.P上升至B點的過程中，輕繩拉力對其所做的功為8 J

【解析】本題中AD選項是比較容易判斷的。由題意知，初始狀態時，彈簧處于拉伸狀態，由平衡條件可得彈簧拉力為T=kx0+mgsinθ，T=50 N，則x0=0.1 m；當P上升至B點到達末狀態時，因為繩子不可伸縮，Q下降Δx=0.2 m，所以此時彈簧是壓縮狀態，壓縮量為x=0.1 m，A錯誤。

僅對B、C做出正誤判斷還是比較簡單的，通過邏輯推理和定性分析就可以。由題意可知，Q初末狀態速度都是0，所以Q沿斜面方向先做向下的加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動，所以Q的加速度先減小后增大，C錯。P物塊釋放瞬間和到達B點瞬間，沿繩方向上的加速度都不可能是0，而B選項中的數據即繩的拉力 50 N 和30 N很顯然都是按照Q處于平衡狀態計算出來的，所以一定是錯誤的，B錯誤。

但是如果想要更加準確的計算出運動過程中繩的拉力及兩物塊的加速度，就需要對P物塊的運動做更加巧妙的分解。首先對物塊P在運動過程中的任意一個時刻進行受力分析及運動狀態分析。

物塊P從A到B的運動過程中，P始終沿桿做豎直向上的直線運動，所以P受到向下的重力，沿繩方向的拉力，水平向左的桿的彈力，這三個力的合力始終沿桿方向，先向上后向下，取合外力向上的一個時刻為例來分析(合外力向下時，把所有力反向即可)。如圖8所示，首先把物塊P沿桿向上的速度v分解為沿繩方向上的分速度v1和垂直于繩方向上的分速度v2，再把物塊P受到的合外力F分解為沿繩方向上的F1和垂直于繩方向上的F2，再進一步把F1等效分解為沿繩方向指向O點的向心力F向和沿繩方向上的另一個力F線，F線有可能指向O點，也有可能背向O點，如圖9所示。

圖9

圖10

圖11

由上面計算可知B選項是錯誤的。Q在撤去外力時的加速度為沿斜面向下的加速度aQ0=6.4 m/s2，到達B點時的加速度是沿斜面向上的加速度aQ=40 m/s2，整個過程是漸變的過程，所以Q的加速度先減小后反向增大，C錯。綜上所述，本題答案為D。

通過以上四個例題的解析，我們可以看到，當遇到較為復雜的曲線運動或某些涉及牽連物體的直線運動問題時，可以采用另類運動的合成和分解方法，巧妙地把不熟悉的運動轉化為熟悉的運動來處理，就可以達到化繁為簡的目的，解決常規方法解決不了的問題。不但能夠幫助學生解決問題，也可以促進學生思維訓練，提升學習興趣。