注重融會貫通 聚焦核心素養
——數列綜合問題分析

江蘇 楊 鑫 張啟兆

高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面、橫向的交互融合，也包括不同層面之間、縱向的融會貫通.

數列作為高中數學的重要內容，與高中數學的其他分支有著密切的聯系，如數列與函數、不等式、數列和概率等，總是能夠建立千絲萬縷的聯系.

從思想方法上來看，數列將計算、推理、猜想、歸納融于一體，具有很強的靈活性與綜合性，代數的美在數列中得到了淋漓盡致的體現.

從高考來看，數列作為高考的必考內容，能全面考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等數學核心素養.一些數列綜合問題則更為全面地考查學生數學推理能力和分析問題、解決問題的能力.本文以近幾年高考(或模考)中的典型問題為例，剖析數列綜合問題的熱點題型及求解策略.

1.數列與函數、方程交匯的綜合問題

數列是定義域為正整數集的特殊函數，這就意味著一些函數知識可以用于解答相關的數列問題，包括函數圖象、函數性質、導數相關知識等，都能用于分析數列綜合問題．為了更好地掌握該類題型的解題思路，應提高函數知識的應用意識，能靈活運用數列通項公式、前n項和等知識解題．另外，在進行推理時應時刻關注數列的自變量n，保證得出的結論有意義，必要情況下可進行分類討論．

【例1】2021年是充滿挑戰和機遇的一年.疫情再次反復，給世界帶來了巨大的沖擊與改變，也在客觀上使得人們更加重視科技的力量和潛能.某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產.假設該企業第一年年初有資金5 000萬元，并將其全部投入生產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金t(t≤2 500)萬元，并將剩余資金全部投入到下一年生產.設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元.

(Ⅰ)判斷{an-2t}是否為等比數列？并說明理由；

(Ⅱ)若企業每年年底上繳資金t=1 500萬元，第m(m∈N*)年年底企業的剩余資金超過21 000萬元，求m的最小值.(lg2≈0.301 0;lg3≈0.477 1)

所以m-2≥5，m≥7，

因此m的最小值為7.

m≥7，因此m的最小值為7.

教學啟示：在教學中，要引導學生認真審題，抓住關鍵詞，分析探究出關鍵點，培養學生在審題中認真觀察、分析、歸納、聯想的能力，形成頑強、積極、求異創新的人格.這對突破解題思維障礙，提高解題能力大有裨益.求解本題時還要引導學生認識到：

(1)數列是一類特殊的函數，它的圖象是一群孤立的點；

(2)轉化以函數為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；

(3)利用函數的方法研究數列中的相關問題時，應準確構造相應的函數，注意數列中相關限制條件的轉化.

(Ⅰ)證明：數列{bn}是等差數列;

(Ⅱ)求{an}的通項公式．

2.數列與不等式交匯的綜合問題

數列與不等式結合的綜合題通常與數列的前n項和結合設問，因此，求解時可靈活應用數列前n項和求解方法，包括公式法求和、分組求和、裂項求和、錯位相減法求和等.然后使用基本不等式、函數單調性或放縮法等找到與目標之間的聯系.同時，要記憶一些常見的放縮技巧并不斷地訓練，直至正確牢固地掌握.

【例2】(2021·天津卷·19)已知{an}是公差為2的等差數列，其前8項和為64．{bn}是公比大于0的等比數列，b1=4,b3-b2=48．

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；

【解析】(Ⅰ)因為數列{an}是公差為2的等差數列，其前8項和為64，

所以an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N*.

設等比數列{bn}的公比為q(q>0)，

所以b3-b2=b1q2-b1q=4(q2-q)=48，解得q=4或q=-3(舍)，

所以bn=b1qn-1=4n,n∈N*.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；

【解析】因為{an}是首項為1的等比數列且a1，3a2，9a3成等差數列，

所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，

教學啟示：解題后教師可引導學生對題進行變式拓展，讓學生經歷提出問題、分析問題、解決問題的再創造，這不僅僅是知識的再創造，也是問題的再創造，更是解題方法的再創造，而這樣的過程能使學生的學習達到觸類旁通的效果.如果學生解題后未進行反思、回顧和拓展，將會導致獲得的知識系統性減弱、結構性變差.因此解題后的反思是非常必要的，能使學生從更高的觀點、用更寬的視野、更理性的眼光去思考數學問題，領悟數學哲理.上述解法告訴我們，不等式問題的處理方式靈活多變，本題所用的作差法是證明不等式的通性通法，激發了學生學習數學的興趣.

3.新定義型數列的綜合問題

數列新定義題是各級各類考試的熱點之一，解題的關鍵在于深入理解新定義，充分挖掘隱含條件，靈活運用所學數列知識.在解題過程中要靈活運用題干已知條件，把握本質，實現數列各項關系的靈活推導與轉化.

【例3】(2021·北京卷·21)定義Rp數列{an}：對p∈R，滿足：①a1+p≥0，a2+p=0；②?n∈N*,a4n-1

(Ⅰ)對前4項2，-2，0，1的數列，可以是R2數列嗎？說明理由；

(Ⅱ)若{an}是R0數列，求a5的值；

(Ⅲ)是否存在p∈R，使得存在Rp數列{an}，對任意n∈N*,Sn≥S10？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由．

提示：(Ⅰ)由題意考慮a3的值即可說明數列不是R2數列；

(Ⅱ)由題意首先確定數列的前4項，然后討論計算即可確定a5的值；

(Ⅲ)構造數列bn=an+p，易知數列{bn}是R0的，結合(Ⅱ)中的結論求解不等式即可確定滿足題意的實數p的值.

【解析】(Ⅰ)由性質③結合題意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，

矛盾，故前4項2,-2,0,1的數列，不可能是R2數列.

(Ⅱ)性質①a1≥0,a2=0，

由性質③am+2∈{am,am+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，

若a4=0，由性質②可知a3

若a4=1,a3=a1+1，由a3

因此只能是a4=1,a3=a1.

不滿足a2=0，舍去.

當a1=0，則{an}前四項為0，0，0，1.

下面用數學歸納法證明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：

(ⅰ)當n=0時，經驗證命題成立；

(ⅱ)假設當n≤k(k≥0)時命題成立，當n=k+1時,

若i=1，則a4(k+1)+1=a4k+5=aj+(4k+5-j)，利用性質③,

{aj+a4k+5-j∣j∈N*,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此時可得a4k+5=k+1；

否則，若a4k+5=k，取k=0可得a5=0，

而由性質②可得a5=a1+a4∈{1,2}，與a5=0矛盾.

同理可得

{aj+a4k+6-j∣j∈N*,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；

{aj+a4k+8-j∣j∈N*,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；

{aj+a4k+7-j∣j∈N*,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因為a4k+7

即當n=k+1時命題成立，證畢.

綜上可得a5=a4×1+1=1.

(Ⅲ)令bn=an+p，由性質③可知，

?m,n∈N*,bm+n=am+n+p∈{am+p+an+p,am+p+an+p+1}={bm+bn,bm+bn+1}，

由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n-1=a4n-1+p

因此數列{bn}為R0數列.

由(Ⅱ)可知,

若?n∈N*,a4n+i=n-p(i=1,2,3),a4n+4=n+1-p；

S11-S10=a11=a4×2+3=2-p≥0，S9-S10=-a10=-a4×2+2=-(2-p)≥0，

因此p=2，此時a1,a2,…,a10≤0，aj≥0(j≥11)，滿足題意.

教學啟示：新定義型數列綜合題以數列為載體，主要考查學生對新概念的理解，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力.培養“四能”即發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，因此必須注重過程，這里的“過程”不是指授課時要講解，或者讓學生經歷知識產生的過程，甚至不是指知識的呈現方式，而是學生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、反思的過程等等.

【變式3】定義：對于數列{xn}，如果存在常數p，使對任意正整數n，總有(xn+1-p)(xn-p)<0成立，那么我們稱數列{xn}為“p-擺動數列”.

(Ⅰ)若an=2n-1，bn=qn(-1

提示：(Ⅰ)假設數列{an}是“p-擺動數列”，即存在常數p，總有2n-1

則(cn+2-p)(cn-p)>0，

所以c1>p，c3>p，…，c2n-1>p，

同理c2

教學啟示：求解此類問題時，先研究好新定義數列的特征，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新定義，這樣有助于對新定義的透徹理解,透過現象看本質，就會發現它們考查的還是數學基礎知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好“四基”“四能”，以不變應萬變才是制勝法寶.

4.結束語