平面解析幾何中代數運算的基本原則

重慶 秦文波 劉志成

平面解析幾何是通過平面直角坐標系運用代數的方法解決平面幾何問題的一門學問.平面解析幾何是方法論，其本真是幾何，核心是代數運算.我們在面對具體問題時，既要關注幾何本真，落實直觀想象核心素養；又要以代數運算為核心，落實邏輯推理和數學運算核心素養.大量實踐表明，由于在運算過程中不僅需要引入多個未知數、牽涉多個較復雜的方程，而且由條件到結論的路徑也不唯一，再加上人們對復雜運算的畏懼，使得代數運算成為了解析幾何最大的難點.因此，要教好解析幾何，必須要解決“代數運算”這個痛點.在經過大量的解題實踐和開展一系列主題教研活動后筆者發現，在面對具體問題時，只要我們遵循代數運算的五個基本原則，并在運算過程中一以貫之，是能很好地推進代數運算獲得理想結果的.筆者將它們整理出來，以期拋磚引玉.

1.借力幾何分析

解析幾何是研究幾何問題的方法論，解析是方法，幾何才是本真.面對一個具體的幾何問題，在代數運算之前，我們應該先畫出圖形，從幾何的角度直觀感知、理性分析，而后再選擇用幾何或者解析的方法解決問題.這不僅是解析幾何方法論的基本要求，也直接關系到接下來用“解析法”求解時的代數運算是否切實可行.

【案例1】設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

對于本題中的(1)，畫出圖形后，對幾何圖形適當分析，就可以由平行得到∠EBD=∠ACD相等，發現等腰三角形，基本不用代數運算就可獲得|EA|+|EB|=4，在此基礎上，借助橢圓定義就可求得點E的軌跡方程.如果我們不對其作基本的幾何分析，直接對這個幾何問題代數化，遇點設點、遇線設線，用代數的方法運算解決問題，不但難度很大，而且也不符合解析法基本要求.

事實上，除代數運算之前應該幾何分析以外，在代數運算的過程中，也要適當借力幾何分析，以形助數，這樣才能快速、精準獲得運算結果.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的下頂點作兩條斜率之和為2的直線l1，l2與橢圓C的另一交點分別為M，N兩點，求點A(-1,0)到直線MN距離的最大值.

對于本題(2)，在設直線MN的方程為y=kx+m(m≠±1)(斜率存在時)后，可以經過一系列的代數運算得到k+m=1.這時，如果我們將k+m=1代入y=kx+m(m≠±1)，再結合斜率不存在時的情形，不難發現直線MN經過定點T(1,1).如果此時我們能借助圖形進行適當幾何分析，很容易得到點A(-1,0)到直線MN距離的最大值就是線段AT的長度，則不需要后續再做消元、變形等復雜的代數運算.

一般地，無論是在用解析法進行代數運算之前還是在代數運算的過程中，借力幾何圖形進行適當的幾何分析，對我們減少運算量、快速獲得正確結果都是十分有益的.因此，借助幾何分析助力代數運算應該是、也一定是代數運算的基本原則.

2.注重系統分析

分析幾何問題是代數運算的前提，以系統觀為指導，對解析幾何問題進行系統分析是代數運算必須堅持的基本原則.將幾何問題看成一個運動系統，找到引發運動的源頭，從源頭出發厘清幾何關系，明確到達目標的路徑，是系統分析幾何問題的基本思路.根據幾何運動路徑設計運算方案，按照擬訂方案展開運算、獲得結果，是在系統觀指導下對代數運算的基本要求.

【案例3】見本文案例1(2)，案例2(2)

對于案例1(2)，在系統觀的指導下，可以按照如下方式分析幾何系統、設置運算方案：

①這是一個運動系統，它是由直線l繞著點B旋轉引起，當直線l運動時，由于直線MN⊥l，所以直線MN也會跟著運動，最終導致四邊形MPNQ的形狀發生改變，題目要求在這個運動過程中四邊形MPNQ面積的取值范圍.

②由于整個運動系統是由直線l的旋轉引起，因此可以考慮用直線l的斜率k來表達四邊形MPNQ的面積，將它表示為k的函數，通過研究該函數的值域獲得四邊形MPNQ面積的取值范圍，按照這種運算方案可以選擇“設線法”來求解此題.

③對于案例2(2)，在系統觀的指導下，也可以按照相同的方式分析幾何系統、設置運算方案，選擇“設線法”來求解此題.

實踐表明，在用解析法解決幾何問題的過程中，不管是分析幾何問題還是設計代數運算方案，都應該在系統觀的指導下進行前后聯動地系統分析，這是代數運算得以順利開展、獲得正確結果的重要保證.

3.重視比較優化

一般地，面對同一個幾何問題，分析的視角是多樣的，每一種視角至少對應著一種分析、刻畫幾何問題的方式，每一種方式都可以設計一個或者多個運算方案.在眾多運算方案面前，比較、分析、選擇一種適合解題者的最優方案是代數運算最重要的事情.筆者發現，許多解題者不重視多角度分析，不重視比較優化，獲得一種思路后就盲目運算，或者在多種思路面前隨意選擇一種展開運算，這都是有違解析法基本要求的.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

對于本題中(2)，站在不同的角度分析可以獲得至少如下3種運算方案：

①把整個運動系統看作是由點P的運動引起的，用點P的坐標來表達直線CD的方程，最后通過對直線CD方程的研究來證明結論，用“設點法”來設計運算方案求解此題.

②把整個運動系統看作是由直線PA的運動引起的，用直線PA的斜率來表達直線CD的方程，選擇“設線法”來設計運算方案求解此題.

③把整個運動系統看作是由直線CD的運動引起，用“既設點又設線法”來設計運算方案求解該問題.

面對這至少三種方案，解題者應該結合自己的知識結構進行比較，選擇一種最優方案實施，也就是要在具體運算之前做好前置思考.

值得注意的是，如果限于解題者自己的能力水平，對于某個問題只有一種分析方式，即只能設計一種運算方案，此時也需要對該方案做優化處理，待反復考量后再實施運算.

簡言之，面對一個具體的解析幾何問題，解題者應從多角度思考、展開分析，在獲得多個運算方案后要進行比較優化，這是代數運算得以順利實施的重要基礎.

4.扎根方程思想

所謂方程思想，就是從分析問題的數量關系入手，通過引入未知數，把問題中的已知量與未知量的數量關系轉化為方程或方程組，然后利用方程的理論或方法解決問題的數學思想.其中“構造方程，溝通已知與未知的聯系”是核心；“列n個獨立方程,解n個未知數”是最基本的觀點.

方程思想是代數運算非常重要的思想，在幾何關系代數化、設計運算方案和實施代數運算等整個過程中必須扎根滲透、一以貫之.例如，在幾何關系代數化時，要以“列n個獨立方程,解n個未知數”這個基本觀點為指導，恰當引入未知數、構建方程(組)，在未知數個數和方程個數問題上多加思考；在設計運算方案時，要以“好解方程、易消元”為出發點，設計運算路徑；在實施代數運算時，要以“n個獨立方程消n個未知數”為指引，尋找消元策略，構建運算思路等.

【案例5】見本文案例1(2)

在方程思想指導下，可以像下面這樣分析、解決問題：

解析幾何的核心思想告訴我們，在代數運算時，要以“好解方程、易消元”為出發點，以“n個獨立方程消n個未知數”為引導，在方程思想的指導下，恰當引入未知數、構建方程，只有這樣，才能尋找到合適的“消元”方案、設計出高效的運算路徑，獲得準確的結論.

5.保證等價轉化

幾何關系代數化是代數運算得以正確開展的前提.在代數化時一定要保證代數化后得到的坐標關系式與原幾何關系是等價關系，也就是在代數化的過程中務必做到等價轉化.比如，將幾何條件“兩直線垂直”代數化為“兩直線斜率之積為-1”就有可能不是等價轉化，因為這里或許忽略了直線斜率不存在的情況；將其代數化為“兩直線的方向向量數量積為0”則是等價轉化.

值得注意的是，驗證代數運算的結果是對整個過程是否等價轉化的檢驗，這關系到用代數方法獲得的結論是否與原幾何問題的結論等價、是否可信.在很多情況下，由于運算方案的復雜性或解題者自身的原因會使得運算結果失真，如果我們不對結果進行驗證，就會得到錯誤的結論，所以對運算結果進行驗證是非常重要且必須要做的事情.