解決一道三角函數求值習題的發散思維過程探究

廣東 嚴子堯

一題多解是多角度看問題的一種數學眼光，是數學發散思維的一種表現.在教學中學生經常會問：這么多的解法是如何想到的？為什么我就想不到呢？看似眼花繚亂，其實有跡可循.數學知識的產生、發展、應用的過程就像一條奔流不息的河流，在學習的過程中我們常常要佇立在一些關鍵點處順流而下，或逆流而上，養成多個角度地、動態地、發展地思考同一個問題的思維習慣；同時，多學習某一個問題的多種解法，多反思與總結每一種解法的由來和依據.這樣堅持下去，再附加一定程度的實戰練習，一題多解的發散思維就能得到一定程度的提升.現結合一道教材上的習題，具體講一講如何從知識產生、發展、應用的過程中有序地、有條理地、有邏輯地捕捉到“一題多解”的靈感.

這是一道簡單的三角函數求值習題，題設簡潔，但是方法靈活多樣.學生經常會問：多樣的方法是如何想到的呢？多樣的方法來自于多角度地看待一個問題，也來自于對與之相關的知識脈絡的熟練掌握，更需要不斷地反思與總結.

數學教學是一個環環相扣的過程，在教學中要注重知識的產生、發展、應用過程.在三角函數教學過程中要注重從定義出發，推出一系列公式，掌握公式變形的一些常見方法，得到三角函數的圖象與性質，最后到實際應用.整個過程，只有環環相扣，才能步步為營，落地生根，進而從每個環節、每個知識點、每種方法中去捕捉“一題多解”的靈感.現結合這道習題，具體講一講如何從整個過程中逐步捕捉“一題多解”的靈感.

數學是玩概念的，從概念出發，因此從定義開始探索，是解題的基本思路，從底層思維去解決問題，一般情況下問題都是可以得到解決的.

方法一：定義法

點評：回歸定義是解決問題的基本思路，但是本題運算量較大，在時間緊張的考場中不宜使用.

從定義出發往往得到一些相關的數學公式、定理、性質、運算法則、結論等，這是我們解題需要重點參考的依據,而三角函數公式多，變形多樣，這就為多樣運算提供可能.在教學中，需要老師引導學生按照知識產生的順序梳理相關公式，首先由定義得到同角的基本關系，然后得到和差角公式，進一步特殊化得到二倍角公式，進一步得到半角公式，二倍角公式與同角的基本關系聯合得到重要恒等式，由二倍角公式經過齊次化得到萬能公式，最后有一個“二化一”的輔助角公式.定義法之后，就得到了同角的基本關系.題設中的條件正好就是同角的正余弦關系，如果把sinα，cosα看做兩個變量，想要解出這兩個變量，只需再找一個相關的方程即可，自然想到平方和等于1的關系.

方法二：方程思想

點評：關注到條件中的同角，聯想同角的基本關系，從方程的角度去求解正弦值，最后依次展開問題得到二倍角，由一倍角求二倍角自然想到二倍角公式，思路清晰簡潔，運算量適中，不失為一種好方法.

沿著上述知識產生的脈絡，應考慮二倍角公式.但是條件中給的是一倍角，求的確是二倍角，自然想到能夠溝通起兩者的重要恒等式.

方法三：重要恒等式

點評：(sinα±cosα)2=1±sin2α這個重要恒等式本質是建立了sinα-cosα，sinα+cosα，sin2α三者間的等量關系，這三個變量是已知其中一個可以求出另外兩個.而這個恒等式正好將題目中的條件與問題建立聯系，但是在求cos2α時需要根據角度的象限確定符號，運算過程稍顯復雜，但仍能接受.

既然sinα-cosα，sinα+cosα，sin2α這三個變量是已知其中一個可以求出另外兩個，那么自然可由條件中的sinα-cosα求出sin2α，也可求出sinα+cosα，所以就產生對偶式的想法.

方法四：構造對偶式

又0≤α≤π，故舍去；

點評：對偶式是基于對重要恒等式的深刻理解，而這首先需要用方程思想去看待公式的聯立，整個運算過程較簡潔.

順游而下，到了萬能公式，這里需要深刻理解萬能公式的推導方法——齊次化.題目中的條件是關于弦，問題也是關于弦，如果能弦化切，就能先求出正切.求出正切再聯想與正切相關的公式有哪些，很自然地想到同角的基本關系.

方法五：弦化切

點評：弦化切是齊次化的一種具體表現而已，我們應回到齊次化這種重要方法上，后續在解三角形、函數、解析幾何中也經常使用.整個運算稍顯反復，需要兩次弦化切，但不失為一種好方法.

走到最后，還可以應用輔助角公式，定睛一看條件，正好符合輔助角公式的特征，使用之后得到的仍然是一倍角，求的卻是二倍角.

方法六：輔助角公式

點評：每個公式都有一些結構上的特征，就像每個人都有各自鮮明的個性.在教學中，除了推導公式，抓住公式的典型特征是聯想公式的重要線索.除此之外，還需要掌握拼湊角的技巧和縮小角的取值范圍的技巧.

走到這里，似乎路已經走到了盡頭.的確，當我們從整個過程中的每個環節去思考方法時，總能找到解決問題的不同方法.但是，數學是沒有盡頭的，當我們跳出高中三角函數的范圍去重新審視這道三角函數問題時，我們不要忘記初中的方法.題目中無非是角度的變化和三角函數名稱的變化罷了，我們不妨先作出這幾個角度，再找它們的三角函數，自然就想到了作圖.

方法七：構造圖形

點評：三角函數集數形于一身，在代數上有一系列公式可以使用，在幾何上我們可以考慮作圖處理，這種作圖法巧妙構思，需多費心思.