學選擇 會思考
——以不同解題出發點為例

江蘇 張朋舉

在平時的作業、單元測驗中，不少學生對于一些題目總缺乏探尋有效思路的路徑，導致在遇到問題時，解題思路方向不明確；解題時如何選擇？是學生必須思考和面對的問題；有研究表明，在數學解題學習中，學生的數學學習選擇能力是影響數學解題成敗的重要因素，二者有著較高的正相關，且相關性顯著；然而，學生的數學學習選擇能力的獲得需要教師的引導.那么，高三的解題教學中如何發展學生的選擇能力？筆者結合平時教學中的一些思考，以2021年高考試題為例，談談想法與同仁交流，如有不妥，還請斧正.

1.從已知條件出發，利用已有知識轉化問題

G.波利亞《怎樣解題》指出：尋求有用的思路，首先是應該知道從哪開始，然后能做什么，即尋找已知與過去所獲基本知識間的聯系；解題就是以“所有”去探尋“所無”.在“所有”之中，題目已知條件應是第一“所有”；將題目中的已知條件、潛在條件厘清，找出它們的來龍去脈，利用已有知識恰當轉化條件，探索出已知或可知與結論之間的橋梁，是解題的第一環節.通常情況下，一道題目會存在多個已知條件，而且表征形式也不唯一，所以解題時，應先選擇目標明確的已知條件入手，把它轉化到某個既定方向，再使用其他已知條件，將其轉化為離目標最接近的形式.

(1)求C的方程；

解：(1)省略；

評注：已知條件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”，是目標明確的已知條件，有多種表征方式；但不同的表征，繁簡程度又不同，需學生再度選擇；從對學生的訪談中得知，選擇方法1的大部分同學都因計算量大而無功而返；實際上，若學生平時能養成多角度思考問題，不受題面的影響，想到引入直線參數方程(方法2)或利用曲線系(方法3)，可以很好的回避煩瑣運算，而且利用曲線系方程，也很好的揭示了A，B，P，Q四點共圓這一隱藏背景.

2.從目標問題出發，將目標問題進行變更、轉化

解題正是在問題的初始狀態和目標狀態之間進行比較、分析、消除差異，最終找到達到目標的最佳路徑.有時題目已知條件信息較少，或僅有已知條件，抓不住解決問題的方向時，要善于從目標問題入手；基于目標意識解題，就是首先根據目標任務弄清“要什么”，清楚問題的特點，以此為起點逐步向后推，得到達到目標需要的條件，然后厘清“有什么” ，進而嘗試縮小“有什么”和“要什么”之間的距離．“目標意識”和“正難則反”的思想也是解題者應該具備的基本數學素養.教師應多關注、培養學生目標解題意識；當學生遇到復雜問題，由條件到結論的常規解題思路受阻時，要主動引導學生選擇從結論目標出發，進行變更、轉化目標問題.

(1)當a=2時，求f(x)的單調區間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

解:(1)省略；

若a∈(0，1),h(x)>0，此時h(x)不可能有兩個零點；

3.從思維方法聯想出發，探尋基本問題的基本方法

基于已有的認知結構進行思維方法聯想是尋求數學解題思路的有效策略之一. 正如數學家G.波利亞所說“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．”數學解題很多時候是在新情境下去尋求未知的東西.有些題目綜合性較強，梳理過已知條件和目標問題后，需要將新問題表征為自己所熟悉的老問題，聯想基本方法，獲得解決新問題的方法；不過，有時為了達到目的，不得不暫時擴大目標問題和初始狀態的差異，所以為了更準確的解決新問題，還要對聯想的方法進行比較、優化、選擇.

【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調性；

解：(1)省略；

即證21時，f(x)在(1，+∞)上單調遞減，則0

方法1：構造對稱函數，先證明2

設h(x)=f(x)-f(2-x)(00，

所以h(x)在(0，1)上單調遞增，所以h(x1)1，且2-x1>1，f(x)在(1，+∞)上單調遞減，所以x2>2-x1，即2

因為x2>1，且e-x1>1，f(x)在(1，+∞)上單調遞減，所以x2

又由f(x1)=f(x2)，即x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1,所以x1+x2

令h(x)=f(x)+x(00，所以h(x)在(0，e)上單調遞增，所以h(x2)

視角知識與方法優點缺點構造對稱函數構造函數h(x)=f(x)-f(-2x0-x),利用函數f(x)的單調性對稱消元,通性通法對稱化構造,思維量大比值換元利用x2x1=t,直接構造函數h(t)=ln(1+t)-tlntt-1,研究函數h(t)最值利用x2x1=t,構造函數m(x)=ln(x+1)-x(x>-1),研究m(x)的單調性,結合不等式基本性質齊次消元構造,易于入手,思維難度小計算煩瑣,難處理不等式變形要求高對數平均不等式利用對數平均不等式計算量小不等式證明要求高直接構造函數構造函數g(x)=lnx-12x-1x(),h(x)=lnx+1x,利用函數g(x),h(x)的單調性構造的函數簡單,減少了計算不易想到,技巧性強,思維難度大

4.結束語