基于隱形載體命制的立體幾何試題教學(xué)價值探索

浙江 施利強 謝小強

本文以一道2021年4月湖州、衢州、麗水三地市聯(lián)考的立體幾何模擬試題為例，探究基于隱形載體命制的立體幾何試題的特點和教學(xué)價值.與此同時，在該題命題方式的啟發(fā)下，筆者又進(jìn)一步挖掘了高考立體幾何試題中的隱形載體并改編得到幾個試題作為訓(xùn)練題，以期達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的目的.

一、試題呈現(xiàn)

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，△ABC是正三角形，四邊形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°，M是A1C1的中點，MB=MC.

(1)證明：AM⊥BC；

(2)求直線AM與平面BCC1B1所成角的正弦值.

本題立體模型的主要載體是三棱錐M-ABC.命題者在隱形載體M-ABC的基礎(chǔ)上，補形得到斜三棱柱ABC-A1B1C1.由于隱形載體三棱錐M-ABC的線面之間沒有特殊的平行垂直關(guān)系，補形的線面元素與隱形載體線面元素之間也沒有直接關(guān)聯(lián).問題二考查的又是隱形載體中直線AM與補形平面BCC1B1的線面角，所以對學(xué)生的空間想象能力有較高要求.筆者以該題為例，先多角度解決該問題，在解決該問題的同時，充分挖掘該試題帶來的教學(xué)價值.以下先從多角度呈現(xiàn)本題的解法.

二、解法探究

(1)證明：如圖，取BC中點為D，連接AD,MD.由MB=MC得MD⊥BC.由△ABC是正三角形得AD⊥BC.

又MD∩AD=D，故BC⊥平面AMD，所以AM⊥BC.

(2)不妨設(shè)AA1=AC=2.

解析一：垂面法

設(shè)AD中點為E，平面AME交B1C1于點N，連接NE.

所以DN為AM在平面BCC1B1內(nèi)的投影，所以∠END為AM與平面BCC1B1所成的角.

解析二：補形

解析三：等體積法

解析四：正交建系

解析五：基底法

評注：第2問學(xué)生感到困難主要在于補形的線面元素與隱形載體線面之間沒有較大的關(guān)聯(lián)，隱形載體中直線AM與補形平面BCC1B1又沒有給出交點，所以解析二補形的想法較為自然，但對學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)有較高要求；解析一垂面法求線面角，在隱形載體的基礎(chǔ)上，垂面隱藏于隱形載體與補形立體之間，因此，作垂面對學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)有更高的要求.但是問題一的證明給隱形垂面的顯現(xiàn)做了鋪墊，一線教師借助該解析可以進(jìn)一步強調(diào)有一組異面直線垂直是三垂線法作垂面的前提；此外，基于隱形載體的命制思路使得本題的等體積法和建系法都有一定的思維量和計算量，所以考查結(jié)果并不理想.

本題是在隱形載體的基礎(chǔ)上命制的好題，多角度的分析也給我們帶來了較大地教學(xué)價值，在注重學(xué)生計算能力的同時，更應(yīng)該注重學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng).平時教學(xué)過程中，我們應(yīng)該強調(diào)各類解法的適用條件和范圍.讓學(xué)生充分挖掘條件各幾何元素之間的關(guān)系，在不斷的訓(xùn)練過程中反思感悟總結(jié)，從而提升直觀想象的思維能力.

為了進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生解決該類問題的能力，在本題隱形載體的基礎(chǔ)上，筆者又進(jìn)一步挖掘得到第三問，以達(dá)到加強學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的思維能力培養(yǎng)的目的.

三、拓展延伸，變式訓(xùn)練

筆者在原題隱形載體的基礎(chǔ)上，給出問題三：求直線CM與平面ABB1A1所成角的正弦值.

本訓(xùn)練題也給我們帶來了教學(xué)啟示和命題方向，每一道質(zhì)量較高的試題都凝聚著出題者的智慧，因此我們需要充分挖掘每一道好題中的教學(xué)價值，從而能更有效地訓(xùn)練學(xué)生在解決立體幾何問題時的直觀想象核心素養(yǎng).

四、回顧歷年，尋找“蘑菇”

充分挖掘了模擬試題的教學(xué)價值之后，筆者意猶未盡.波利亞曾經(jīng)把“數(shù)學(xué)題”比作“蘑菇”，好問題如同某些蘑菇，它們都成堆地生長，找到一個以后，應(yīng)當(dāng)在周圍再找找，很可能在附近就有好幾個.筆者回顧了近幾年的浙江省高考題中的立體幾何大題，也驚喜地發(fā)現(xiàn)了隱形載體.

其中，2019年的三棱柱的隱形載體是三棱錐A1-ABC，三棱錐A1-ABC中正△A1AC垂直于Rt△ABC，在隱形載體的基礎(chǔ)上補形得到三棱柱ABC-A1B1C1.同時，隱形垂面△A1BC隱藏在了隱形載體與補形立體之間，很大程度上落實了直觀想象核心素養(yǎng).

2020年的三棱臺DEF-ABC的隱形載體是三棱錐D-ABC.隱形載體三棱錐D-ABC中邊長不固定，但在該載體中包含了三個固定的角∠DCA,∠DCB,∠ACB.這為垂面的構(gòu)造提供條件的同時也將隱形垂面隱藏在了隱形載體內(nèi).

近兩年的高考題的立體圖形都是在隱形載體基礎(chǔ)上構(gòu)建得到的，并將垂面以隱形垂面的形式隱藏在了隱形載體與補形立體之中，問題的設(shè)置為隱形載體元素與補形元素之間的探究.隱形載體與補形立體之間的線面聯(lián)系需要進(jìn)一步挖掘，對學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)也提出了較高的要求.因此，這兩個在隱形載體基礎(chǔ)上命制的高考題也起到了較好的選拔作用.

在模擬試題和高考真題的命題啟發(fā)下，筆者發(fā)現(xiàn)，基于隱形載體并通過一定方式補形得到的立體圖形可以較好地考查學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).因此，筆者在兩個高考試題隱形載體的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步進(jìn)行了改編，得到了以下兩個改編題.并將其作為學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)提升的訓(xùn)練題.

五、模擬題再編制

改編試題1：2019年浙江省高考試題改編題

(1)證明：BC⊥EF.

(2)求直線EF與平面BCC1B1所成角的正弦值.

(2)解析一：垂面法

解析二：等體積法

評注：筆者在2019年的高考題的隱形載體的基礎(chǔ)上改編得到了本試題.題干中隱形載體是三棱錐A1-ABC，它和補形立體線面之間沒有緊密聯(lián)系，這為隱形垂面的挖掘增加了難度，但第一問的設(shè)置為隱形垂面的顯現(xiàn)提供了條件和思路.因此，本題可以作為訓(xùn)練學(xué)生直觀想象的分析能力.與此同時，筆者進(jìn)一步將該改編題運用到了教學(xué)實踐，得到了較好的訓(xùn)練效果.

改編試題2：2020年浙江省高考試題改編題

(1)證明：BC⊥BD；(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

(2)解析一：垂面法

解析二：等體積法

評注：本題在2020年高考題隱形載體的基礎(chǔ)上，去掉了原題隱形載體中面面垂直的條件，改變了載體給出的條件，增加了難度，對學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)和分析問題的能力提出了更高的要求.其中，問題一的設(shè)置為問題二垂面的作出提供了條件.問題二由于各邊長不確定，等體積法具有一定的靈活性，但本問的設(shè)置進(jìn)一步達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)和分析問題的能力的目的.

六、總結(jié)

以隱形載體為命題出發(fā)點的立體幾何試題往往對學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)有較高的要求.從本文探究的立體幾何大題命題的啟發(fā)下，筆者又進(jìn)行了進(jìn)一步的教學(xué)反思感悟，總結(jié)得到了基于隱形載體命制的立體幾何試題帶給我們的教學(xué)價值.

教學(xué)價值一：立體幾何的教學(xué)過程中，我們應(yīng)該加強學(xué)生傳統(tǒng)方法的訓(xùn)練，以利于學(xué)生直觀想象的思維訓(xùn)練和分析解決問題的能力的培養(yǎng).因此，平時應(yīng)該讓學(xué)生多角度地分析問題.

教學(xué)價值二：我們平時應(yīng)該注重學(xué)生計算能力的培養(yǎng)，在隱形載體基礎(chǔ)上命制的立體幾何試題，對學(xué)生的計算能力提出了較高的要求.