由磁矩計算磁場強度的公式在航天器磁矩測量中的應用

張新邦，陳德祥，王東盛，馮強濤

（1. 北京控制工程研究所，北京 100190； 2. 中國科學院 光電技術研究所，成都 610207）

0 引言

磁學中關于磁場的生成和磁場強度的計算公式有多種論述：1）認為磁場由磁荷產生，應用磁庫侖定律計算磁荷產生的磁場強度。提出磁偶極子由一對等量異號的點磁荷±組成，兩個點磁荷之間距離為，偶極子的磁矩=。2）認為磁場由電流產生，應用畢奧-薩伐爾定律計算電流產生的磁場強度。提出電流環生成磁矩=，其中是通過的電流，是環的面積。這兩種論述中的磁矩模型完全不一樣：偶極子模型中沒有橫截面積，電流環模型中沒有長度。兩模型對近場的計算結果相差甚遠，但對遠場計算出的場強卻十分一致。于是以此為基礎將前兩種觀點結合延伸，整理得到由磁矩計算磁場強度的公式。在由磁矩的偶極子模型和電流環模型推導此公式時，文獻[3]的推導過程煩瑣低效，文獻[4]內有其簡潔漂亮的推導過程，但其推導目的只是為了說明兩個模型在遠距離處得到的磁場強度完全相同，沒有進一步的拓展論述。

航天器磁特性試驗研究中一個重要內容是通過測量磁場強度間接獲知航天器本體磁矩，現已形成有效的磁試驗規范。目前常用的方法有偶極子法、赤道作圖法和球面作圖法3 種。偶極子法是將衛星看作磁偶極子，此法簡單，適用于對準確度要求不高的場合。赤道作圖法采用多極子模型，應用單軸轉臺使衛星處于水平旋轉狀態，在衛星赤道平面上測量磁場強度，計算得到衛星磁矩。球面作圖法是在衛星球坐標系中，由磁位函數的球諧分析得到磁矩的基本方程，測量中應用二軸轉臺測量包圍衛星的某個球面上的磁場強度，計算得到衛星磁矩。赤道作圖法和球面作圖法可以得到較高測量精度（誤差＜4%）的數據，但數據處理過程比較復雜，需要專家參與。

為探索航天器內部多磁源情況下更為簡便的磁測量新方法，本文提出新球面作圖法，即將磁矩計算磁場強度的公式與球面作圖法相結合，根據測得的點磁場強度計算得到航天器磁矩，并進行仿真計算以驗證該方法的有效性。

1 由磁矩計算磁場強度的公式

圖1 由磁矩求磁場強度示意[3]Fig. 1 Schematic diagram of magnetic field intensity calculated by magnetic moment[3]

當物體（磁矩載體）的尺寸相對于物體到點的距離是小量（距離大于物體尺寸6 倍）時，則有

式中為距離，m。

式(1)內的磁場強度與距離的立方成反比下降，即符合立方反比定律，所以又簡稱其為反立方公式。

2 反立方公式的一般工程應用

對于滿足磁矩載體尺寸相對于載體到測點距離是小量的磁源稱之為點磁源，不滿足的稱為體磁源。反立方公式描述了點磁源與外部磁場強度的關系，因此當點磁源和測點的位置已知，則由磁矩可計算出測點磁場強度，也可由測點磁場強度計算出磁矩。

對于體磁源，處理方法是將其分割成許多尺寸足夠小的符合點磁源要求的單元，對每個小單元應用反立方公式，調用由點磁源磁矩求磁場強度的子程序，然后將全部小單元的結果相加得到測點的磁場強度。關鍵是需要磁源體內磁化強度分布規律（如均勻磁化或磁化強度以某曲線分布）已知，這樣才能計算出各小單元磁矩（一般情況下可近似認為是均勻磁化）。反之，已知測點磁場強度、體磁源磁化強度分布規律，在上面成果的基礎上，可以計算出體磁源的磁矩。理論上在磁化強度分布規律已知情況下，只需要一個測點的磁場強度數據就可以計算出體磁源磁矩。

因此，體磁源內磁化強度分布規律是關鍵。由均勻介質組成的球形體是均勻磁化；細長圓柱體不是均勻磁化，但在圓柱體的長度與直徑之比不大時，可近似為均勻磁化。下面討論圓柱體長度與直徑之比較大時的情況。

先假設細長圓柱體（簡稱為“磁棒”）均勻磁化，應用基于反立方公式的體磁源求外部磁場強度方法，得到外部磁場強度分布數據。再將磁棒相等于同樣長度的偶極子，應用磁庫侖定律計算得到外部的場強分布數據。若這兩個結果完全一樣，則說明偶極子模型中的磁棒是均勻磁化。

但近距離測量證明偶極子模型不正確，即磁棒不是均勻磁化，尤其在圓柱體長度與直徑的比值較大情況下更是如此，因此需要研究其磁化強度曲線。張新邦等對此進行了研究：以某磁力矩器為例，坡莫合金（各向同性）為磁介質的圓柱體長0.8 m，直徑0.02 m，磁化率10 000，線圈產生磁場強度為300 A/m（軸向）；將圓柱體橫切成80 等分，得到81 個截面，計算得到各截面的磁化強度（見圖2），進而得出總磁矩為24 A·m。

圖2 細長圓柱體磁化強度曲線[8]Fig. 2 Magnetization curve of slender cylinder[8]

工程上可將圖2 中曲線近似為余弦曲線，將實際磁化強度分成2 部分：一部分是直線（均勻磁化部分），其高度為；另一部分是余弦曲線（非均勻磁化部分），余弦曲線的幅值為。當比值=/很小，表示非均勻磁化程度高，值大說明非均勻磁化程度低。如值已知，應用反立方公式求其磁矩時只需要1 個外部測點數據。

3 反立方公式在航天器磁測量中的應用

進行航天器磁測量時，如能遠距離得到其磁場強度的準確測量值，則可將其視為點磁源，直接根據測量值反演計算得到磁矩值；如果是近距離測量且被測部件磁特性已知（如磁力矩器），則不用轉臺，由測量值可計算出磁矩；如是近距離測量且航天器磁特性未知，則需要二軸轉臺，應用基于反立方公式的球面作圖法（或稱為新球面作圖法）得到磁矩值。以下以衛星為例具體說明，將其視為非均勻磁化的球體。

3.1 多磁源情況

對多磁源的分析可分2 種情況。若清楚衛星內部結構，包括各磁源的坐標及大小形狀等，可在衛星周邊安裝多個磁強計，磁強計數目大于或等于磁源數目。設各磁源的磁矩為未知數，根據每個磁強計實際測量值等于接收的各個磁源信息的總和，以此建立方程組并求解即可。注意得到的可能是病態方程組，應采用較多的磁強計和應用最小二乘法以減小誤差。若不清楚衛星內部結構，則應用新球面作圖法解決。

3.2 新球面作圖法

新球面作圖法是指，在數據采集過程應用球面作圖法思路，數據處理過程應用反立方公式的對點磁源求磁矩方法，數據處理簡單方便，易于推廣應用。如圖3 所示，坐標系內半徑為的大球是測量球面，半徑為的小球是衛星本體；衛星本身是黑盒子，不知其內部結構。

圖3 新球面作圖法示意Fig. 3 Schematic diagram of the new spherical mapping method

設衛星總磁矩為。在大球面上均勻布置個磁場強度測量點，各點測量值為B(=1, 2, …,)。計算衛星磁矩時假設衛星為點磁矩，位置在坐標原點，于是根據測量值B可計算出相應的衛星磁矩m，個測量點對應有個m值。當測量點數目

其中積分曲面為測量球面，為測量球面的面積。

下面通過仿真算例作進一步說明，并對誤差進行分析。

先假設衛星內部只在點處有點磁矩m（見圖4）。

圖4 新球面作圖法應用示意圖Fig. 4 Schematic diagram of application of the new spherical mapping method

將測量球面分成面積大小基本相等的個小塊，其中某塊內有測點，此塊面積為d。

根據反立方公式可以：

1）由m計算出點的磁場強度B；

2）由B計算出衛星磁矩m（m與m有很大的差別）；

3）根據式(3)在測量球面對m求均值得到衛星磁矩。

以上的運算過程都是線性關系。因為m的位置和點位置都已知，則有=Cm，其中為3 階方陣，里面元素都是常數，即m和是線性關系，同樣m和也是線性關系，于是m和是線性關系。

定義磁矩計算的相對誤差

設測量球面半徑=1 m，衛星半徑= 0.5 m；點p(=,,)位于距坐標原點最遠處，分別為、、軸與衛星球面的3 個交點。

對測量球面分割成塊，m(=,,)的值分別取3 個單位矢量，于是應用式(4)得到9 個磁矩計算值的相對誤差，取其中最大值w。當m取其他值，則是3 個單位矢量的疊加，應用式(3)得到的相對誤差由于疊加原理也小于w。衛星體內其他任意點與原點的距離都不大于，所以其他點的計算誤差也小于w。

再假設衛星體內有眾多的點磁矩m，由于各m與其對應的計算均值同樣是線性關系，應用疊加原理，所有點磁矩組合后的計算誤差也小于w，即應用新球面作圖法的計算誤差小于w（忽略了敏感器測量誤差等其他因素）。

在衛星實體和測量球面確定后，計算誤差w主要與測點數有關，按照上面條件進行計算，結果如表1 所示?？梢姡弘S著測點數的增大，誤差越來越??；當趨于無窮大則誤差趨于0。

表1 測點數與相對誤差Table 1 Number of measuring points vs. relative error

按照上述方法，對衛星內部有3 個點磁矩的情況進行仿真計算。其中，磁矩的單位為A·m，位置的單位為m。設3 個點磁矩值分別為m=[10,0, 0]，m=[0, 15, 0]，m=[0, 0, 20]；位置分別為=[0.5, 0, 0]，=[ 0, 0.5, 0]，=[ 0, 0, 0.5]；衛星實際總磁矩=[10, 15, 20]。應用新球面作圖法，測點數取60，計算得到衛星磁矩=[9.98, 14.91,20.41]；計算誤差w=1.6%。

3.3 新球面作圖法小結

1）新球面作圖法需要測量包圍衛星的某個球面上磁場強度。設半徑為大球是測量球面，半徑為小球是衛星實體；=/，一般要求≥2，因為越大計算誤差越小。但的增大會使測點信號減弱，所以需要有一個合適的值。

2）測量中需要測點是均勻分布，由于無法在球面布置完全均勻的測量點，所以將測量球面分成許多（個）面積相等或相近的小塊，設某小塊的面積d，小塊上有一個測量點，其測量計算得到磁矩為，對與d的積求和，再除以測量球面積即為衛星磁矩。

3）在和確定后，計算誤差w隨著測點數的增加而減小，若趨于無窮大則w趨于0。

4 結束語

由磁矩計算磁場強度的反立方公式直接描述了磁場強度與磁矩間的關系，與球面作圖法結合，為航天器磁試驗中的本體磁矩測量等工作提供了一種易于推廣的新方法。

1）反立方公式描述了點磁源與外部磁場強度的關系。對于體磁源可將其分割成許多小單元，然后對每個小單元按點磁源處理。關鍵是需要磁源體內磁化強度分布規律，一般情況下可近似認為體磁源是均勻磁化。

2）細長圓柱體（如磁力矩器）是一類特殊的體磁源，當圓柱體長度與直徑之比較大時，其體內非均勻磁化現象明顯，工程上可將其非均勻磁化部分的磁化強度曲線近似為余弦曲線。

3）測量衛星磁矩時，若清楚衛星內部結構（包括內部各磁源坐標及大小形狀等），可在衛星周邊安裝多個磁強計，建立磁強計測量值與衛星內部各磁源信息的方程組并求解即可。

4）若不清楚衛星內部結構，可應用新球面作圖法，即在采集數據時應用球面作圖法的思路，在數據處理時應用基于反立方公式的由場強計算點磁矩方法，計算出本體磁矩。在測量點數≥30 時，相對誤差≤4%。