湍流熱對流調制及其機理的研究現狀和展望

趙超本，莊啟亮，王伯福，吳建釗，周 全

(上海大學 力學與工程科學學院，上海市應用數學和力學研究所，上海 200072)

0 引 言

在自然界與實際工程應用中，流體局部溫度的差異會產生一定的密度差，因密度差而產生的浮力會驅動流體產生熱對流現象。常見的熱對流現象包括熱水沸騰、大氣及海洋環流[1-4]、地球內部淺層地幔對流[5-6]、決定地磁場產生和變化的外地核對流[7-10]等；熱對流現象也應用于熱核反應堆冷卻[11]、晶體制作[12]、芯片散熱[13]等工業生產中。研究熱對流的經典模型是底部加熱、頂部冷卻的Rayleigh-Bénard（RB）系統。圖1展示了RB系統的示意圖。在浮力驅動作用下，熱流體上升而冷流體下降形成對流。對于充分發展的熱對流而言，在上下導板附近會形成很薄的溫度邊界[14-16]，冷熱羽流分別從上下邊界層中生成，并在浮力作用下自組織運動形成大尺度環流[17]。

圖1 Rayleigh-Bénard(RB)系統示意圖Fig. 1 Sketch of RB convection cells systems

RB湍流熱對流是一個復雜的非線性系統。在系統溫差不大的情況下可以通過Oberbeck-Boussinesq近似[18]簡化模型，得到RB系統的控制方程：

式中，u和T分別代表速度和溫度場，p為 壓強場，?z為豎直方向單位矢量，g為重力加速度，ρ、v、α和 κ分別是槽內流體的密度、運動黏性系數、熱膨脹系數和熱擴散系數。 δT=T?T0，T0是對流槽的平均溫度。以上方程將速度場、溫度場和壓力場聯系起來，分別描述了RB封閉系統中的動量守恒、質量守恒和能量守恒。上述方程組經過無量綱化后，得到RB系統的兩個重要控制參數Rayleigh數（Ra）和Prandtl數（Pr）：

其中，Ra代表無量綱化的溫差，Pr是流體本身的物理性質，代表動量擴散與熱擴散之間的比值。對流槽的幾何特征則通過寬高比 Γ=L/H來描述，L和H分別是對流槽的水平寬度和高度。RB系統中的兩個重要響應參數分別是Nusselt數（Nu）和Reynolds數（Re）：

式中，J是通過對流槽的實際熱通量，λ是流體的熱傳導系數， ΔT是上下板之間的溫差，U是流動的特征速度。Nu用于描述系統的傳熱效率，Re表征對流的強度。

在RB系統研究領域中，湍流傳熱規律一直是人們關心的問題。其中，Grossmann-Lohse (GL) 理論[19-20]是目前應用最為廣泛的理論基礎，該理論預測了Nu、Ra和Pr之間的標度律關系，定量地描述了湍流流動輸運熱量的內在機理。此外，在工程應用中，需要考慮如何通過被動或主動的方式控制熱傳輸過程。經典的GL理論和大量的實驗數值研究結果表明：在RB系統中，溫度邊界層特性與羽流結構的生成及演化過程關系密切，并決定了系統的熱輸運效率[19-20]。在過去十多年中，研究者們嘗試了許多控制對流傳熱以及流動結構演化的方法[21-25]，例如在下板壁面加入粗糙元實現對系統傳熱的調制作用[26]，通過側壁溫度控制實現對RB系統流動反轉的調制[27-28]，以及通過改變底板溫度時間和空間分布實現對系統傳熱以及流動的調制作用[29-30]。其背后的機理是通過改變邊界層特性激發或抑制羽流結構的生成及演化，實現對系統傳熱以及流動的調制。其中，改變邊界層特性主要有以下兩個途徑：一是改變上下板壁面的幾何形狀；二是改變壁面溫度邊界條件。本文將從以上兩個方面，介紹近年來的最新進展。

1 邊界粗糙元調制

1.1 邊界粗糙元對傳熱的影響

粗糙邊界作為一個調制傳熱的方法廣泛應用于湍流熱對流中。在過去的研究中，國內外學者曾采用不同粗糙元構型研究粗糙邊界是如何調制湍流傳熱的（見圖2）。 Shen等[26]以水為對流介質，在對流槽上下導板表面均勻地排布了金字塔狀的粗糙元，實驗發現當Ra超過某一臨界值時，系統的整體熱輸運效率有約20%的增強。Stringano等[31]通過數值模擬的方法，研究“V”形粗糙單元的對流槽對傳熱的影響，并與相關實驗結果[26]進行了對比。發現當平均熱邊界層厚度小于溝槽高度時，傳熱增加，這與實驗研究結果一致。Wagner 和 Shishkina[32-33]研究了具有扁平長方體粗糙元的三維矩形平行六面體對流槽，探究了規則壁面粗糙度對系統傳熱的影響，并觀察到不同Ra時粗糙元對系統傳熱存在兩種不同的調制效應：低Ra時，粗糙壁面與光滑壁面相比Nu-Ra的標度律指數增加；高Ra時，標度律指數趨于光滑壁面的標度律指數。Toppaladodddi等[34]通過直接數值模擬方法，對帶有正弦形狀粗糙元的RB系統進行研究，通過改變粗糙元波長，發現存在一個最優波長使得Nu和Ra滿足接近1/2的標度律指數。Zhu等[36]又采用多尺度粗糙元，成功實現了Ra在更廣的范圍內保持1/2的標度率，Xia[37]評價Zhu等[36]提出的多尺度粗糙元方法，為邊界粗糙元調制傳熱提供了一種新思路。Jiang等[38]在對流槽上下板做了相反的棘齒粗糙元結構，發現非對稱的粗糙元結構中，傳熱對大尺度環流的方向很敏感。

圖2 不同粗糙元幾何構型：(a) 棘齒粗糙元結構[38]；(b) 長方體粗糙元[32-33]；(c) 金字塔形粗糙元結構[35]；(d) “V”形粗糙元[31]；(e) 正弦形狀粗糙元[34]；(f) 多尺度粗糙元[36]Fig. 2 Sketch of the computational domain and the roughness elements: (a) ratchet surfaces[38] , (b) rectangular roughness elements[32-33] ;(c) square lattice of pyramids[35]; (d) V-shaped grooves[31], (e) sinusoidally roughness elements[34]; (f) multiscale roughness [36]

1.2 邊界粗糙元調制傳熱機理

在上述研究中，一個值得討論的問題是：對于不同幾何構型，是否存在統一的傳熱調制機理？Shen等[26]通過實驗研究發現，粗糙元的高度是一個重要的物理參數。當粗糙元高度小于熱邊界層厚度時（h＜δth），系統傳熱不受影響；當粗糙元高度h大于熱邊界層δth的厚度時（h＞δth），對于Nu=A(Pr,Γ)Raβ的前置因子A(Pr,Γ)增加了大約20%。后續研究表明，當h＞δth時，由于粗糙元尖端釋放了更多的熱羽流結構，導致了熱輸運的增強[39]（如圖3所示）。Du和Tong[40]通過增加粗糙元的高度h，發現前置因子A(Pr,Γ)快速增加。這是因為大尺度環流引發的強水平剪切流動與粗糙元相互作用使得相鄰粗糙元之間形成二次渦，促進了羽流的生成，從而極大地提高了系統的整體熱輸運效率（Nu增加了超過76%）。綜上所述，當粗糙元高度小于溫度邊界層時（h＜δth），粗糙邊界RB系統與光滑相比傳熱不會改變，此時稱之為粗糙元湍流對流的Ⅰ區；當粗糙元高度大于溫度邊界層時（h＞δth），此時湍流熱對流進入傳熱增強區，稱之為Ⅱ區（如圖4（a）所示）。

圖3 (a) 粗糙表面附近流場示意圖；(b) 冷粗糙表面附近的TLC條紋圖. 紅棕色代表冷流體，藍綠色顯示更溫暖的流體[39]Fig. 3 (a) Sketch of the flow field near the rough surface. (b)(color) A typical streak image of the TLC spheres taken near the cold rough surface. The cold eruptions are red-brown; green and blue regions are warmer[39]

隨著研究的深入，研究者們發現粗糙元對系統傳熱調制規律不僅取決于粗糙元高度與溫度邊界層厚度的相對大小，而且與粗糙元與速度邊界層的比值也有著緊密關系。Xie和Xia[41]在實驗中使用一系列不同粗糙度的粗糙邊界，引入不同程度的邊界層擾動，并通過粒子圖像測速（PIV）技術獲得了邊界層附近流場并計算出速度邊界層厚度。根據粗糙元高度與邊界層厚度（溫度邊界層厚度δth、速度邊界層厚度δu）之間的關系，在兩個分區域（圖4（a））的基礎上，進一步將流動區域劃分為三個區域（圖4（b））：區域Ⅰ（h ＜ δth＜ δu），此區域粗糙元邊界不改變系統整體傳熱；區域Ⅱ（δth＜ h ＜ δu），隨著粗糙元相對高度的增加，粗糙元開始對系統傳熱產生影響轉向Ⅱ區域；區域Ⅲ（δth＜ δu ＜ h），當粗糙元高度大于速度邊界層厚度（Pr＞ 1,δth＜ δu）流動進入區域Ⅲ，區域Ⅲ中Nu與Ra的標度律明顯大于區域Ⅱ中的標度律（如圖4（b））。需注意的是上述區域劃分是在Pr＞ 1即δth＜ δu的情況下進行的。隨著Pr的減小，速度邊界層與溫度邊界層的相對大小發生變化，傳熱規律也會發生變化，圖4（b）中可以發現，在區域Ⅱ中隨著Pr的減小，Nu增強有減小的趨勢。Stringano 和 Shishkina等[31,33]也觀察到當粗糙元的高度較小時，它會降低系統傳熱效率。Zhang等[35]數值計算了Pr= 0.7下粗糙元對系統傳熱的影響，解釋了這種傳熱效率下降的機理。當粗糙元的高度較小時，流體黏性起主導作用，致使溫度邊界層變厚，熱量被限制在粗糙元間的腔體之內，無法有效傳進湍流體區間，導致傳熱效率下降（如圖5所示）。

圖4 (a) Nu隨Ra的變化，實心三角形是光滑界面[26]，空心圓形是粗糙界面；(b) 系統傳熱隨粗糙度λ的變化[41]Fig. 4 (a) The measured Nusselt number Nu as a function of Ra in the smooth cells (solid triangles) and in the rough cells (open circles)[26]; (b) The heat transport enhancements in Regime Ⅱ (open symbols) and Regime Ⅲ (solid symbols) as a function of λ[41]

圖5 (a) 帶粗糙元邊界RB對流系統示意圖；(b) 系統傳熱Nu(h)/Nu(0)隨無量高粗糙元高度h /的變化，其中h是粗糙元的高度， 是溫度邊界層厚度(=1/[2Nu(0)])[35]Fig. 5 (a) Sketch of the convection cell with roughness elements.(b) The ratio Nu(h)/Nu(0) as a function of the normalized roughness height h / . Here, is the thermal BL thickness obtained in the smooth cell using =1/[2Nu(0)] [35]

此外，研究人員也討論了粗糙邊界是否引起對流進入到“終極區間”。Toppaladoddi[34]通過直接數值模擬，發現Nu～Ra的標度律指數約為1/2，與Kraichnan提出的“終極區間”指數相符合。Zhu[24,36]在Toppaladoddi的研究基礎上，采用相同的粗糙元并將Ra提高到Ra =1012。他們發現Nu與Ra標度律由1/2重回1/3。這說明Toppaladoddi等觀察到Nu～Ra1/2不是完全湍流狀態的“終極區間”。

2 邊界溫度調制

在經典RB熱對流系統中，上下導板之間在時間上和空間上都保持著恒定的溫度差，即其上下導板的溫度是定常且均勻的。然而，非定常非均勻溫度邊界條件下的湍流熱對流現象比比皆是。例如，地表溫度由于太陽輻射不均勻、陸地和海洋比熱差異等使得地球表面溫度分布不均勻[42-44]。此外，局部受熱不均引起的非均勻加熱加也是非恒溫的典型例子。在熱湍流系統中，溫度作為主動標量對速度場有反饋作用，因此當溫度邊界在時空分布上發生變化時，系統流動結構以及熱輸運效率均會受到邊界條件調制作用的影響。

2.1 邊界溫度時間調制

溫度時間調制是指控制邊界溫度隨時間進行周期性的變化。早期的研究主要集中在流動對邊界溫度變化的響應。Lohse[45-46]基于衰減湍流的平均場理論，建立了周期脈沖流動的平均場理論，通過該理論描述實驗液氦流中能量的衰減，進而從理論上理解不同的流動狀態，探索間歇性調制對這些流動狀態的影響。研究發現對于足夠大振幅A和頻率f，雷諾數呈指數增長，然后達到飽和Resat。Resat可以通過衰減平均場理論解析獲得，當雷諾數足夠大時，滿足Resat～Af的關系。Niemela等[47]，在對流槽下導板施加擾動，以產生正弦變化的下導板溫度邊界條件, 他們發現當Ra較低時，正弦變化的溫度擾動將會以指數的形式向對流槽中央區域衰減，這一衰減方式類似于Stokes 流動；而當Ra達到 1013以上時, 擾動將會無衰減地傳遞到對流槽的中央區域，他們認為這是因為對流槽中央區域形成了所謂的“超導”核心。Jin和 Xia[48]通過實驗在RB系統中的下導板施加周期脈動溫度調制，發現周期脈動溫度邊界條件與恒溫邊界條件下的振蕩頻率f0（大尺度環流周期TLSC= 1/f0）相等（圖6（a）所示），并通過f0定義了大尺度環流的雷諾數（Ref= 4H2f0/v），發現恒定溫度和脈動溫度邊界條件的Ref彼此吻合（圖6（b）所示），說明了周期脈動溫度不會破壞大尺度環流的結構。

圖6 (a) 對流槽中間高度邊壁附近溫度時間序列功率譜圖；(b)大尺度環流雷諾數Ref (Re = 4H2f0/v)隨Ra的變化[48]，三角形代表脈沖溫度，圓形代表恒定溫度加熱，實線是指數擬合曲線Fig. 6 (a) Power spectra of temperature time series measured near the sidewall at mid-height; (b) Reynolds number Ref (Re =4H2f0/v) as a function of Ra for pulsed (triangles) and constant(circles) heating cases. The solid lines represent power-law fitting function[48]

在傳熱方面，由于在底板施加隨時間變化的溫度脈動，底板附近溫度邊界層受時間調制的影響而對系統傳熱產生影響。Jin 和 Xia[48]在實驗（下導板施加周期溫度脈動）中發現在這種周期溫度脈動調制熱湍流中，與恒定的能量輸入相比，傳熱效率（Nu）提高了約7%。一個重要因素是能量輸入的反沖周期與湍流內在時間尺度同步。當輸入能量脈沖的周期等于大尺度環流周期時間的一半時，系統產生了共振現象，導致了明顯的傳熱增強。另一個重要的因素是脈沖信號的形狀，尖峰脈沖比相同能量的平脈沖更有利于傳熱。近期，Yang等[29]采用直接數值模擬方法對溫度時間調制進行了研究。他們對RB系統的下導板施加正弦調制，調制頻率跨越五個數量級。其研究發現傳熱顯著增強（～25%），并通過Stokes熱邊界層的概念，將系統流動對調制頻率f的響應分成了三個區域（如圖7所示）：區域Ⅰ（δstokes＜δth＜δu），在區域Ⅰ內周期調制下Stokes邊界層在溫度邊界層以內，此時由于調制頻率較高，系統感受不到邊界溫的時間變化；區域Ⅱ（δth＜ δstokes＜δu），在區域Ⅱ中系統傳熱對周期調制開始響應；區域Ⅲ（δth＜δu＜δstokes），在區域Ⅲ中調制頻率進一步減小，系統中心溫度開始受到不同時間相位差調制的影響。通過三個流動區域的劃分，解釋了Nu增強的開始頻率和最大Nu的最佳頻率，以及它們如何依賴于瑞利數Ra和普朗特數Pr。綜上所述，在固定振幅的情況下，邊界溫度時間調制對系統傳熱的影響取決于調制頻率。相較于低頻的溫度周期變化，高頻調制衰減迅速，對系統流動調制作用有限。

圖7 (a) 邊界時間調制示意圖；(b) 一個調制周期中不同相位的流場圖；(c) 三個流動區域中時間周期調制深度δ stokes 與 邊界層(δ th 、δ u分別指溫度邊界層和速度邊界層)之間的關系示意圖；(d) 中心溫度θ c(相位平均)隨調制頻率f的變化圖. 紅、藍色曲線分別對應下板周期變化溫度的最高和最低相位[29]Fig. 7 (a) Sketches of convection cells with the associated coordinate systems; (b) Instantaneous temperature fields at different phases in one modulation period; (c) Sketch of the relations between the three BLs (Stokes thermal BL(δ stokes ) , thermal BL (δ th ), momentum BL (δu))for the three regimes; (d) Phase-averaged center temperature. The red, blue curve represents the phase when the bottom temperature is maximal and minimal, respectively[29]

2.2 邊界溫度空間調制

溫度空間調制是指在導熱板施加特定的溫度分布。與響應時間調制單一維度不同的是，RB對空間調制的響應是多維度的，并存在著較寬范圍的共振波數[49-52]。這使得可以通過改變調制波數來實現對系統的不同調制模式[53]。Kelly和Pal[54]發現當Ra接近臨界值時，小振幅且波長為系統失穩的臨界波長的空間調制作用將會被放大。Curado等[55]在調制波長與經典RB系統失穩的臨界波長不相等時發現了對流具有準周期性。Walton[56]研究了在下導板施加非均勻溫度調制的對流系統。發現擾動主要局限于下導板溫度最高點（“熱點”）附近；同時采用局部分析預測了非均勻溫度調制對臨界瑞利數的影響。Schmitz 等[57]研究了上下導板均施加周期性溫度邊界調制的二維熱對流。導板間溫差的非均勻性破壞了對流槽水平方向上的平移不變性；兩種溫度調制之間的相位差會使對流在水平方向發生移動。Mullarney等[58]對下導板一半進行加熱和另一半進行冷卻，考慮大寬高比的對流槽，發現高Ra下，在冷板上方溫度穩定分層，在熱板上失穩產生羽流，在冷熱板間非均勻溫度產生的浮力作用下，系統形成大尺度環流，促進冷熱板間的水平輸運。Hossain等[50]研究了下板施加一個正弦函數變化的溫度調制，同時保證兩壁面之間的平均溫度相等的對流問題（如圖8所示）。研究發現非均勻加熱產生的對流強度隨著調制波數的增加而減小（如圖9所示）。除了采用單純的溫度空間調制，Reiter等[59]在二維和三維對流系統中，在下導板施加行波溫度邊界條件，使得下導板同時受到空間和時間調制作用。結果表明行波可以引起系統的水平流動。Zhang等[27-28]在RB對流統中提出側壁溫度控制的方法，通過改變溫度控制區域的位置以及面積實現對大尺度環流反轉的調制。

圖8 平行板間周期加熱示意圖[50]Fig. 8 Parallel plates subject to periodic heating [50]

圖9 不同Ra下環流強度（Ψ max）和環流中心高度yc隨波數α的變化. 實線、虛線和點劃線分別對應Pr = 0.01，0.71和10[50]Fig. 9 Variations of the roll strength and of the location of the roll center identified by its coordinate yc as a function of the heating wave number α for selected values of the Ra.Dash, continuous and dash-dot lines correspond to the Pr = 0.01,0.71 and 10, respectively[50]

在傳熱方面，由于邊界溫度空間分布不均勻，局部高溫會促進羽流的生成，進而影響傳熱。詹靖華、周全[30,60]通過實驗研究了空間線性非均勻加熱對RB湍流熱對流系統傳熱效率的影響。實驗采用長方形對流槽并以水為流體介質，通過調節下導板加熱片的輸入功率，使得下導板溫度呈線性分布，改變系統注入能量的空間分布。通過對比非均加熱與均勻加熱傳熱效率（Nu），發現在非均勻加熱條件下對流強度和湍流傳熱效率都明顯增強，如圖10所示。吳磊等[61]在文獻[30、60]的基礎上，通過實驗研究了寬高比分別為0.99和0.25，以水為對流介質的矩形RB湍流熱對流系統，通過改變下導板加熱片輸入功率的空間分布，使空間非均勻加熱線性分布強度δ等于0、1/6、1/4和1/3，研究了空間非均勻加熱對湍流流動結構 的 影 響。實 驗 中Ra從1.8×109變 化 到9.1×109，Pr固定為5.4。研究結果表明：非均勻加熱提高了流體流動速度，并使羽流向邊壁附近聚集，從而增強了系統的整體熱輸運效率。

圖10 Nu 隨 Ra 的變化[60]Fig. 10 Nusselt number Nu as a function of Ra [60]

3 結論與展望

本文介紹了近年來通過改變邊界幾何形狀或溫度邊界條件對RB熱對流系統進行調制的相關研究成果。研究結果表明：邊界條件的改變對RB系統邊界層的作用存在一個特征尺度——調制深度，系統傳熱對邊界調制的響應規律則取決于該調制深度與溫度和速度邊界層厚度之間的幾何關系。對于邊界幾何調制，調制深度與粗糙元的形狀和幾何尺寸有關。對于溫度邊界時間調制，調制深度取決于頻率的大小，可通過斯托克斯邊界層厚度δstokes來定量描述。與邊界溫度時間調制類似，調制深度與空間波數的息息相關，但調制深度與空間波數間的具體關系有待進一步研究。

盡管目前有關湍流熱對流的邊界調制及其機理的相關研究成果較為豐富，但仍有很多問題有待進一步深入的研究：

1）目前提出的邊界調制機理是否具有普適性？如該調制機理在不同Pr下是否仍然成立？是否可以應用于其他典型的湍流系統？

2）不同的邊界調制方式相結合，其調制結果能否產生疊加的效果？其調制機理是否發生變化？

3）如何利用現有的邊界調制機理，提出相應的流動控制策略，以及通過機器學習方法實現對湍流熱對流的控制？