相鄰扶正器間抽油桿柱縱橫耦合振動特性仿真*

智勤功

(中國石化勝利油田分公司石油工程技術研究院)

0 引 言

抽油機舉升是油田最常見的采油方式[1]。受多種實際因素的影響，油井井眼軌道多為存在較大彎曲的空間曲線，即油井為定向井[2]。由于井眼軌道的影響，抽油桿柱在井下呈彎曲狀態。抽油機運行過程中，抽油桿柱在頂端周期性位移激勵和底端周期性載荷激勵的作用下產生軸向振動，軸向振動又導致了桿柱各截面軸向內力的波動。在軸向力與彎曲井眼的共同作用下，抽油桿柱在彎曲井眼軌道內產生橫向振動，即抽油桿柱的動力學行為是縱橫耦合振動。抽油桿柱縱橫耦合振動導致油井存在較大的桿管接觸力，進而導致油井產生桿管偏磨現象。油井實際運行情況表明，桿管偏磨導致的抽油桿柱與油管失效是油井檢泵作業的主要原因之一。在抽油桿上布置扶正器是最常用的桿管防偏磨措施，因此優化扶正器的配置方案一直是油田關注的重點。

以研究對象分類，目前關于扶正器優化配置的設計方案主要分為兩類：①以整體抽油桿柱為研究對象，通過靜力學或動力學仿真模型計算桿管接觸力，以桿管接觸力的仿真結果為依據優化扶正器的配置方案[3-7]；②以相鄰扶正器之間抽油桿柱為研究對象，將其簡化為考慮或不考慮初彎曲的簡支梁模型，以桿柱受壓不失穩或桿體、接箍不與油管接觸為約束條件，優化扶正器的布置間距[8-13]。相較于第一類設計方案，第二類設計方案以其模型簡單易于理解、計算便捷的優勢而被大眾所接受。目前第二類設計方案中僅考慮了抽油桿柱在最大壓力下的靜力變形，但對于實際問題來說，抽油桿柱在交變軸向載荷的作用下存在橫向振動，橫向振動將影響桿柱的橫向變形，進而影響扶正器的優化配置。因此有必要建立兩相鄰扶正器之間的抽油桿柱縱橫耦合振動仿真模型，并分析桿柱橫向振動對桿柱橫向變形的放大作用。

本文基于縱橫彎曲梁理論，建立了兩相鄰扶正器之間抽油桿柱在交變軸向載荷激勵下的縱橫耦合振動仿真的力學與數學模型。采用空間離散——時間連續與數值積分相結合的方法進行數值求解，實現了兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動的仿真計算。通過動力學仿真結果與靜力學仿真結果的比較，證明了優化扶正器配置時考慮抽油桿柱橫向振動的必要性。以上述研究為基礎，建立了扶正器配置間距優化模型，實現了扶正器配置間距的優化設計。

1 桿柱縱橫耦合振動力學與數學模型

抽油桿柱長度達上千米，為防止桿管偏磨，通常在抽油桿上布置扶正器[14]。在油井工作過程中，抽油桿柱在交變軸向載荷與自重的影響下產生縱橫耦合振動。為簡化研究，本文取兩相鄰扶正器間的抽油桿柱為研究對象，分析抽油桿柱的振動特性。

為便于研究，同時也為突出本文的研究重點，做如下簡化和假設：①抽油桿柱為均質彈性體；②桿柱各橫截面切應力始終處于桿柱軸線的法平面內；③將桿柱兩端扶正器簡化為鉸支約束；④僅考慮井斜角的變化，忽略方位角的變化。

1.1 抽油桿柱縱橫耦合振動方程

在上述假設條件下，建立相鄰扶正器間抽油桿柱縱橫耦合振動力學模型，如圖1所示。

圖1 抽油桿柱縱橫耦合振動力學模型Fig.1 Mechanical model of longitudinal and transverse coupling vibration of sucker rod string

對于相鄰扶正器間抽油桿柱來說，扶正器約束了桿柱的橫向位移，因此可以將桿柱兩端扶正器簡化為鉸支約束。由于桿柱存在縱向振動，所以其中一端為固定的鉸支約束，另一端為可滑動的鉸支約束，且受交變集中軸向載荷的作用。此外桿柱還受分布載荷的作用。圖1中：P(t)為t時刻作用于桿柱一端的軸向載荷，以拉力為正；q(s，t)為桿柱所受軸向分布載荷；qub(s，t)為桿柱所受橫向分布載荷。微元兩端的集中力Fe(s，t)可以分解到對應井眼軌道的切線方向與主法線方向。微元橫向所受外力可分解到對應井眼軌道的主法線方向。

基于微元受力可以得到以矢量表示的桿柱縱橫耦合振動的運動微分方程：

fe(s，t)ds

(1)

其中:

(2)

式中：ρ為抽油桿密度，kg/m3；A為抽油桿橫截面積，m2；e(s，t)為t時刻桿柱任意截面s處的節點在井眼切線方向上的位移，m；τA(s)為井眼軌道任意截面s處的切向量；u(s，t)為t時刻桿柱任意截面s處的節點在井眼主法線方向上的位移，m；nA(s)為井眼軌道任意截面s處的主法線向量；Feτ(s，t)為t時刻桿柱任意截面s在切向方向上的內力，N；Fen(s，t) 為t時刻抽油桿柱任意截面s在主法線方向上的內力，N；kA(s)為井眼軌道任意截面s處的斜率，m-1；feτ(s，t)為t時刻抽油桿柱任意截面s處切向所受外力，N/m；fen(s，t)為t時刻抽油桿柱任意截面s處主法線方向所受外力，N/m；(Feτ)s為Feτ對s求一階偏導，N/m；(Fen)s為Fen對s求一階偏導，N/m。

忽略方位角變化時，井眼軌道的斜率表達式為：

(3)

式中：α(s)為井眼軌道任意截面s處的井斜角，(°)。

對式(1)進行簡化，可以得到桿柱縱橫耦合振動的運動微分方程：

(4)

在小變形假設下，由彈性力學可知Feτ和(Feτ)s的表達式[15]：

(5)

式中：es為e對s求一階偏導；ess為e對s求二階偏導,m-1； (kA)s為kA對s求一階偏導，m-2；us為u對s求一階偏導。

通過微元受力分析列彎矩平衡方程，進而求解內力之間的關系，則有：

(6)

化簡得：

Ms+[Fen(1+es)-Feτus]bA=0

(7)

其中：

(8)

式中：E為抽油桿材料的彈性模量，Pa；I為抽油桿的抗彎慣性矩，m4；usss為u對s求三階偏導，m-2。

將式(8)帶入式(7)進行計算，求得Fen的表達式：

(9)

式(9)對s求偏微分可得如下公式：

(10)

式中：uss為u對s求二階偏導，m-1；ussss為u對s求四階偏導，m-3；(kA)ss為kA對s求二階偏導，m-2。

桿柱所受分布外力可表示為：

(11)

式中：μ為阻尼系數，Pa·s。

1.2 邊界條件

桿柱兩端的邊界條件可表示為：

(12)

對于實際抽油機井，桿柱底端集中軸向載荷受抽油泵工作狀態的影響。為簡化模型，本文基于正弦曲線構造與其形態類似的軸向載荷，其表達式為：

(13)

其中：

(14)

式中：T為激勵周期，s；Tt為載荷最大值所持續的時間，s；Tb為載荷最小值所持續的時間，s；n為抽油機沖次，min-1。

1.3 初始條件

假設抽油桿柱初始狀態時，桿柱軸線與井眼軸線重合。初始條件可表示為：

(15)

2 縱橫耦合振動仿真方法

抽油桿柱縱橫耦合振動的仿真模型為變系數的偏微分方程，無法求得方程的解析解。本文首先采用空間離散——時間連續與數值積分相結合的方法將偏微分方程的求解問題轉化為常微分方程的求解問題，然后采用四階龍格庫塔法進行求解。其求解形式如下：

(16)

式中：y(4i-3)為第i個節點的軸向位移，m；y(4i-2)為第i個節點的軸向速度，m/s；y(4i-1)為第i個節點的橫向位移，m；y(4i)為第i個節點的橫向速度，m/s；Feτ，i為第i個節點處的軸向內力，N；Feτds，i為Feτ，i對s偏導數的差分形式，N/m；Fen，i為第i個節點處的切向內力，N；Fends，i為Fen，i對s偏導數的差分形式，N/m；kA，i為第i個節點所對應的井眼斜率，m-1；feτ，i為第i個節點處的軸向分布力，N/m；fen，i為第i個節點處的橫向分布力，N/m。

以差分公式為基礎，式(16)中Feτ，i、Feτds，i、Fen，i、Fends，i、feτ，i和fen，i的數值可分別依據式(10)、式(14)、式(15)和式(16)求得。

式(16)的初始條件為：

y=0

(17)

對式(16)進行求解，即可得到抽油桿柱的縱橫耦合振動仿真結果。圖2為桿柱縱橫耦合振動仿真計算流程圖。

圖2 計算流程圖Fig.2 Calculation process

3 扶正器配置間距優化模型

在抽油桿上配置扶正器的目的是防止發生油井的桿管偏磨現象，其實現方法就是防止桿柱與油管接觸，在這種思路下建立了扶正器配置間距的優化模型。優化模型的設計變量就是兩相鄰扶正器之間的配置間距。優化目標是在滿足桿管不接觸的約束條件下，兩相鄰扶正器之間的配置間距最大，可表示為：

Lop=max(L)

(18)

式中：Lop為在滿足桿管不接觸的約束條件下兩相鄰扶正器之間的最大配置間距，m；L為兩相鄰扶正器之間的配置間距，m。

優化模型的約束條件為抽油桿柱與油管不接觸，即桿柱最大橫向變形量小于桿管間隙，即有：

max(u)<δrt

(19)

式中：δrt為桿管間隙，m。

4 仿真實例與仿真分析

分別采用本文建立的桿柱縱橫耦合振動仿真模型與桿柱靜力學仿真模型(去除公式(4)中的動力學項與公式(11)中的阻尼項即可得到靜力學模型)對桿柱的橫向變形進行仿真，通過仿真結果對比說明在優化扶正器配置時考慮桿柱振動的必要性。為了進行對比，首先對動力放大系數進行定義：

(20)

式中：u0為靜力學模型所得桿柱橫向位移，m。

4.1 基本參數

表1為抽油桿柱縱橫耦合振動仿真的基本參數。圖3為桿柱一端軸向集中載荷的變化規律。

表1 仿真參數Table1 Simulation Parameters

圖3 軸向集中載荷Fig.3 Axial concentrated load

4.2 仿真結果分析

以表1中參數為基礎，采用靜力學模型進行仿真，得到抽油桿柱受600 N壓力時，桿柱的靜力學仿真變形結果，如圖4a所示；采用動力學模型進行仿真，得到一個周期內抽油桿柱橫向位移的仿真結果，如圖4b所示。

圖4 桿柱橫向變形仿真結果Fig.4 Simulation results of lateral deformation of rod

由圖4可以看出：靜力學模型仿真結果抽油桿柱最大橫向變形量為17.96 mm；動力學模型仿真結果抽油桿柱最大橫向變形量為26.10 mm；相對靜力學模型仿真結果來說，動力學模型仿真結果的抽油桿柱橫向變形更大，因此在進行扶正器布點設計時，采用動力學仿真模型分析桿柱變形更為合理，所得結果更為可靠。

4.3 敏感度分析

桿柱振動受多方面的因素影響。本節分別從沖次(激勵周期)、最小激勵載荷、最大激勵載荷、最小載荷持續時間與井斜角5個方面分析影響桿柱橫向振動的敏感因素。

4.3.1 軸向激勵對桿柱振動的影響

通過調整沖次，計算得到不同沖次下桿柱最大橫向變形。桿柱橫向變形動力放大系數隨沖次的變化曲線如圖5所示。

圖5 動力放大系數隨沖次的變化曲線Fig.5 Variation of dynamic amplification coefficient with stroke

由圖5可以看出，隨著沖次的增大，桿柱橫向振動的動力放大系數逐漸增大，即沖次越高對桿柱橫向振動的影響越明顯。

保證激勵最大載荷不變，調整激勵的最小載荷進行仿真計算，得到動力放大系數隨激勵最小載荷的變化曲線，如圖6所示。

圖6 動力放大系數隨最小激勵載荷的變化曲線Fig.6 Variation of dynamic amplification coefficient with minimum excitation load

由圖6可以看出，動力放大系數隨最小載荷的增大而減小。這是由于最小激勵載荷增大后，激勵幅值降低，桿柱振動減弱。

保證最小激勵載荷不變，通過調整最大激勵載荷進行仿真計算，得到動力放大系數隨最大激勵載荷的變化曲線，如圖7所示。

圖7 動力放大系數隨最大激勵載荷的變化曲線Fig.7 Variation of dynamic amplification coefficient with maximum excitation load

由圖7可以看出，動力放大系數隨著最大激勵載荷的增大而增大。相較于最大激勵載荷，桿柱最大橫向變形對最小激勵載荷的變化更敏感。

保證最大、最小激勵載荷與激勵幅值不變，通過調整最小激勵載荷所持續的時間，計算得到不同激勵形態下桿柱最大橫向變形，進而得到動力放大系數隨最小激勵載荷持續時間Tb的變化曲線，如圖8所示。

圖8 動力放大系數隨Tb的變化曲線Fig.8 Variation of dynamic amplification coefficient with Tb

由圖8可以看出，動力放大系數隨著最小激勵載荷持續時間的延長而增大。這是由于最小激勵載荷持續時間的延長，導致集中載荷由最大值變為最小值的速度加快，進而導致桿柱振動加劇。

4.3.2 井眼軌道對桿柱振動的影響

通過調整井斜角，計算得到不同井斜角下桿柱的最大橫向變形，進而得到動力放大系數隨井斜角的變化曲線，如圖9所示。

圖9 動力放大系數隨井斜角的變化曲線Fig.9 Variation of dynamic amplification coefficient with deviation angle

由圖9可以看出，隨著井斜角的增大，動力放大系數逐漸增大。但相較與其他參數來說，井斜角變化對動力放大系數的影響并不明顯。

4.4 扶正器配置間距優化實例

由材料力學可知，桿柱的最大受壓載荷(即軸向最小集中載荷)是影響桿柱橫向變形的主要因素。為此，本小節以表1中的基本參數為例，分別調整P0與P1的數值以達到保證軸向最大集中載荷不變、最小集中載荷改變的目的，進而通過優化計算，得到在同一軸向最大集中載荷下，扶正器最優配置間距隨軸向最小集中載荷的變化曲線，結果如圖10所示。

圖10 扶正器最優配置間距隨軸向最小集中載荷的變化曲線Fig.10 Variation of optimal spacing of centralizers with minimum axial concentrated load

由圖10可以發現，扶正器最優配置間距隨軸向最小集中載荷的減小而縮短。這說明本文建立的優化模型可以實現對扶正器最優配置間距的優化設計。結合抽油桿柱實際受力可以知道，桿柱的受壓段為桿管偏磨的危險點，在配置扶正器時，在桿柱底端應適當加密扶正器的布置。

5 結 論

(1)考慮交變軸向載荷激勵，基于縱橫彎曲梁理論，建立了彎曲井眼軌道內兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動仿真的力學與數學模型。采用數值方法實現了定向井兩扶正器之間桿柱縱橫耦合振動的仿真計算。

(2)仿真計算結果表明，相對于靜力學模型仿真結果，動力學模型仿真結果的桿柱橫向變形更大。因此在進行扶正器布點設計時，采用動力學仿真模型更加合理，所得結果更為可靠。

(3)桿柱的軸向載荷激勵與桿柱的初彎曲是影響桿柱橫向位移動力放大系數的主要原因。

(4)建立了扶正器配置間距優化模型，實現了兩扶正器間最優配置間距的優化設計。研究結果為油井防偏磨設計提供思路，對降低原油開采成本具有實際意義。