精準復習萬有引力與航天的策略

浙江 成金德

隨著時代的進步，航天事業的蓬勃發展，作為發展高科技的一個重要領域，航天事業必將迎來高度關注、競爭激烈的新的發展態勢。

牛頓在研究天體運動時，應用牛頓運動定律并結合開普勒定律，建立了偉大的萬有引力定律，為探索宇宙奠定了堅實的基礎。近年來我國成功發射“天問一號”“嫦娥五號”和“空間站天和核心倉”等航天器，作為與航天有著直接聯系的“萬有引力與宇宙航行”的知識得到重視是眾望所歸。為了精準復習有關“萬有引力與宇宙航行”的知識，本文從復習的“四大策略”方面作些探討，供讀者參考。

策略1——建模型

本章的核心內容是一個物理模型，也就是將人造衛星或天體的運動抽象成勻速圓周運動，人造衛星或天體做圓周運動所需要的向心力由中心天體的萬有引力提供，即

其中r是人造衛星或天體與中心天體球心間的距離，R是人造衛星或天體做圓周運動的軌道半徑。

策略2——明要點

1.兩大定律

(1)萬有引力定律

萬有引力定律只適用于質點間引力大小的計算，也可應用于質量分布均勻的兩個球體間，其中r是兩個球體球心間的距離。當兩個物體不能看成質點時，可假想將物體分割成無數個質點，求出物體上每個質點與另一物體上所有質點的萬有引力，然后求合力。

(2)開普勒定律

①開普勒第一定律(也稱軌道定律)。所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

②開普勒第二定律(也稱面積定律)。對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。

2.三大運行參量

人造衛星繞地球做勻速圓周運動時，由地球對人造衛星的萬有引力提供向心力，可得線速度v、角速度ω和周期T與軌道半徑R的關系：

(1)線速度v與軌道半徑R的關系

(2)角速度ω與軌道半徑R的關系

(3)周期T與軌道半徑R的關系

3.三種運行軌道

(1)赤道軌道。如圖1所示，衛星的軌道與赤道在同一平面內，同步衛星的軌道就是赤道軌道的一種。

圖1

(2)極地軌道。如圖2所示，衛星的軌道經過地球的南北兩極，如極地氣象衛星的軌道就屬于極地軌道。

圖2

(3)其他軌道。除赤道軌道和極地軌道以外的衛星軌道，如圖3所示。

圖3

不管是何種軌道，其軌道的圓心必與地球的球心重合。

4.宇宙速度

(1)第一宇宙速度(環繞速度)。使人造衛星環繞地球表面附近作勻速圓周運動，在地面附近的最小發射速度，其大小為v1=7.9 km/s。第一宇宙速度的粗略計算方法：

(2)第二宇宙速度(脫離速度)。使物體掙脫地球的束縛，在地面附近的最小發射速度，其大小為v2=11.2 km/s。

(3)第三宇宙速度(逃逸速度)。使物體掙脫太陽引力的束縛，在地面附近的最小發射速度，其大小為v3=16.7 km/s。

宇宙速度均指發射速度，但第一宇宙速度與環繞地球運行的最大速度相等。

5.兩類運動

(1)穩定運動

(2)變軌運行

衛星在某一軌道上繞中心天體運動時，如果衛星由于某種原因，其速度v突然變化，則中心天體提供的萬有引力與衛星所需要的向心力不再相等，衛星將做變軌運動。

6.二種典型的星體

(1)同步衛星(靜止衛星)

跟地球自轉同步的衛星(相對地面靜止)叫做同步衛星。同步衛星的特點有：

①同步轉動。與地球同步轉動，角速度等于地球自轉的角速度，周期等于地球自轉的周期，即T=24 h。各種同步衛星的角速度相等、線速度的大小相等；

②同一軌道。同步衛星的軌道平面與赤道在同一平面上，所有地球同步衛星處在同一軌道上。同步衛星高度不變，其大小計算如下：

設地球表面處的物體質量為m′，其受到地球的萬有引力近似等于重力，即

取地球表面處的重力加速度g=9.8 m/s2，聯立解得

(2)雙星

如圖4所示，兩個相距為L、質量分別為m1、m2的星體，它們在萬有引力的作用下繞它們連線上的某一點O做勻速圓周運動，這樣的系統稱為雙星系統。

圖4

雙星系統顯著的特點是兩者的距離保持不變，向心力大小相等，角速度相等，周期相等。

策略3——善區別

1.區別軌道半徑和間距的關系

2.區別發射速度和環繞速度的關系

3.區別赤道上隨地球做圓周運動的物體與近地衛星的關系

地球赤道上的物體隨地球自轉做圓周運動的軌道圓心與近地衛星的軌道圓心都在地球的球心，它們做勻速圓周運動的半徑都可認為等于地球的半徑R，但是它們的線速度并不相等，雖然它們受到的萬有引力大小相等，但赤道上的物體只有一部分的萬有引力用來提供向心力，而近地衛星將全部的萬有引力都用來提供向心力。

4.區別萬有引力與重力的關系

如圖5所示，地球對地球表面上的物體的萬有引力產生兩個效果：其一是提供物體隨地球自轉所需要的向心力F向；其二是重力mg。

圖5

策略4——知熱點

1.求中心天體的質量

【例1】(2021年全國乙卷第18題)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置，如圖6所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為

圖6

( )

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

【分析】把S2繞黑洞的運動看成是勻速圓周運動，由圖6中可以看到，S2繞黑洞運動的周期T為16年，地球的公轉周期T0為1年。由題意可知，S2繞黑洞做圓周運動的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關系是：r=1 000R

地球繞太陽做圓周運動的向心力由太陽對地球的萬有引力提供，即

S2繞黑洞作圓周運動的向心力由黑洞的萬有引力提供，即

代入數據解得M黑=3.90×106M。故選項B正確。

2.分析衛星的運行參量

【例2】(海南省2021年普通高中學業水平選擇性考試第4題)2021年4月29日，我國在海南文昌用長征五號B運載火箭成功將空間站天和核心艙送入預定軌道。核心艙運行軌道距地面的高度為400 km左右，地球同步衛星距地面的高度接近36 000 km。則該核心艙的

( )

A.角速度比地球同步衛星的小

B.周期比地球同步衛星的長

C.向心加速度比地球同步衛星的大

D.線速度比地球同步衛星的小

【分析】核心艙和地球同步衛星都因為受到地球的萬有引力而做勻速圓周運動，則

由于核心艙運行軌道距地面的高度為400 km左右，地球同步衛星距地面的高度接近36 000 km，即r艙

ω艙>ω同，T艙a同，v艙>v同

可見，選項C正確。

【點評】求解衛星繞中心天體做圓周運動的運行參量時，只要應用中心天體對衛星的萬有引力提供向心力建立方程，一般均可得到相應的結果。

3.考查變軌問題

【例3】(2021年天津市普通高中學業水平等級考試第5題)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下中國人的印跡。天問一號探測器成功發射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛星。經過軌道調整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖7所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器

圖7

( )

A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態

B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短

C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速

D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大

【分析】天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速橢圓運動，天問一號只受到火星對它的萬有引力作用，此時并非處于平衡狀態，選項A錯誤；天問一號軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，由開普勒第三定律可知，天問一號在軌道Ⅰ運行的周期比在軌道Ⅱ運行的周期長，選項B錯誤；天問一號探測器從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，是做軌道半徑減小的近心運動，需要的向心力要小于提供的向心力，因此，天問一號在P點必須實施點火減速，選項C錯誤；天問一號在軌道Ⅰ上向P飛近時，由于萬有引力做正功，動能增大，天問一號在向P飛近時速度將增大，故選項D正確。

【點評】衛星在變軌時，如果軌道半徑增大，即做離心運動，則衛星必須先加速；如果軌道半徑減小，即做近心運動，則衛星必須先減速。

4.涉及同步衛星

【例4】(江蘇省2021年普通高中學業水平選擇性考試第3題)我國航天人發揚“兩彈一星”精神砥礪前行，從“東方紅一號”到“北斗”不斷創造奇跡。“北斗”第49顆衛星的發射邁出組網的關鍵一步。該衛星繞地球做圓周運動，運動周期與地球自轉周期相同，軌道平面與地球赤道平面成一定夾角。該衛星

( )

A.運動速度大于第一宇宙速度

B.運動速度小于第一宇宙速度

C.軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛星

D.軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛星

【分析】第一宇宙速度在數值上等于繞地球表面做勻速圓周運動的衛星的線速度，此速度也是環繞地球做勻速圓周運動的所有衛星的最大線速度。由于“北斗”第49顆衛星做圓周運動的半徑遠大于地球的半徑，所以，它的環繞速度小于第一宇宙速度，選項A錯誤，選項B正確；

環繞地球做勻速圓周運動的衛星，受到的萬有引力提供向心力，即

從上式看到，只要繞地球做勻速圓周運動的衛星的周期相同，它們的軌道半徑就相同。由于“北斗”第49顆衛星的運動周期與“靜止”在赤道上空的同步衛星的周期相同，則“北斗”第49顆衛星的軌道半徑等于“靜止”在赤道上空的同步衛星的軌道半徑，可見，選項CD錯誤。

【點評】所有同步衛星具有相同軌道、相同線速度、相同運行周期、同方向繞行等特點。

5.綜合其他知識

【例5】(山東省2020年普通高中學業水平等級考試第7題)我國將在今年擇機執行“天問1號”火星探測任務。質量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質量約為地球的0.1，半徑約為地球的0.5，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為

( )

代入數據解得g火=0.4g地=0.4g

著陸器在火星表面附近做勻減速直線運動，由速度公式得0=v0-at0

著陸器在勻減速運動過程中，應用牛頓第二定律得

F-mg=ma

所以，著陸器受到的制動力大小為

可見，選項ACD錯誤，選項B正確。

【點評】本題中的著陸器在接近火星表面的運動過程中做勻減速運動，這樣，就將天體運動的問題與牛頓第二定律和運動學知識聯系在一起。綜合應用相關的知識可順利求出結果。

6.應用開普勒定律

【例6】(2021年全國甲卷第18題)2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為

( )

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

【分析】忽略火星自轉，在火星表面的物體受到萬有引力等于重力，即

設某衛星繞火星做圓周運動的周期也為1.8×105s，其半徑為r。由萬有引力提供向心力得

設近火點到火星中心的距離為R1=R+d1

設遠火點到火星中心的距離為R2=R+d2

解以上各式得d2≈6×107m，故選項C正確。

【點評】涉及橢圓軌道和周期等問題時，一般需要應用開普勒定律求解。

總結